Appunti di Meccanica razionale 2

Momento della quantità di moto

(E)R = 0= 0 =⇒ Q̇Dato che parliamo di vettori possiamo anche avere che la quantità di moto è costante solo in una determinata direzione.

Identifichiamo il momento della quantità di moto rispetto a un polo O per un punto materiale di massa m e velocità v come: − ∧Γ := (P O) m vO

Per un sistema di N punti materiali P di massa m e velocità v il momento delle quantità di moto del i-esimo sistema rispetto a un polo O è: NN XX − ∧= (P O) m vΓ := Γ i iO O ii i=1i=1

Vale la legge del trasporto: ′− ∧Γ = Γ + (O O ) Q̇O O

Dimostrazione N NXX ′− ∧ − − ∧Γ = (P O) m v = [(P O) + (O O )] m v =i i i i′O i ii=1 i=1

N NX X ′ ′− − ∧ − ∧ − ∧= (P i O) m v + (O O ) m v = Γ + (O O ) Qi ii i Oi=1 i=1

Meccanica razionale 2 234. Dinamica 4.1. Quantità fondamentali4.1.6 Seconda equazione cardinale

la componente uno dell’equazione sopra:2 2 2 2 2 − − −x + y + z ω (x ω + y ω + z ω ) x = y + z ω x y ω x z ω1 i 1 i 2 i 3 i 1 i i 2 i i 3i i i i i

Quindi: NNN XXX 2 2 −− m x z ω = I ω + I ω + I ω = I ωm x y ωm y + z ωII = i i i 3 x 1 xy 2 xz 3 Oi i i 2i 11 bi i i=1i=1i=1

Analogamente si procede per le altre componenti. Quindi concludiamo che:− ∧Γ = M (G O) v + I ωObO OCasi particolari:≡1. O G =⇒ Γ = I ωGbG − ∧= M (G O) v2. Atto di moto traslatorio ω = 0 =⇒ Γ O O⇐⇒ ·3. Atto di moto rotatorio I = ω v = 0. Polo O su r =⇒ v = 0 =⇒ Γ = I ωI ObP O O4. Siano e , e , e i versori di assi principali centrali, Γ = I ω e + I ω e + I ω eG 1 G 2 G 31 2 3 G 1 2 31 2 3G G G G G G∥ ⇐⇒ω ω è lungo alla stessa direzione di

Un asse principale d'inerzia è un asse intorno al quale un corpo rigido ruota senza subire alcuna variazione nella sua energia cinetica.

Dimostrazione:

Vale |ω| = |ω|

Vale I ω = λ ω dove λ è uno scalare.

Definiamo e = ω/|ω| =⇒ ω = e.

Quindi I ω = I e = |ω|eλ e banalmente I e = λ e, allora e è principale d'inerzia.

Nel caso del corpo rigido piano i casi particolari si riducono a:

1. π≡1. O G =⇒ Γ = I ωGbG z − ∧
2. Atto di moto traslatorio Γ = M (G O) vO O
3. Atto di moto rotatorio Γ = I ω, dove C è il centro di istantanea rotazioneCC z

Meccanica razionale 2 254.

Dinamica 4.1. Quantità fondamentali

4.1.9 Energia cinetica si definisce energia cinetica la grandezza:

Per un punto materiale di massa m e velocità v: T := m v^2

Per un sistema di N punti materiali di massa m e velocità v , l'energia cinetica del sistema è:

T := Σ(m v^2) = Σ(Ti)

Primo teorema di Köning: Per un sistema di N punti materiali vale:

a (b c) = b (c a) e dunque:

N N1 1 1X X· {(P − ∧ ∧ − · {(P − ∧ ∧ − ·III = m ω O) [ω (P O)]} = ω m O) [ω (P O)]} = ω I ωi i i i i i Ob2 2 2i=1 i=1B

In definitiva per vale: 1 12 · ∧ − ·T = M v + M v [ω (G O)] + ω I ωObO O2 2

Casi particolari:

12 122≡ ·1. O G T = M v + ω I ωObO 12 122 22. Atto di moto traslatorio T = M v = M vO G

Meccanica razionale 2 264. Dinamica 4.1. Quantità fondamentali12 ·ω3. Atto di moto rotatorio T = I ωOb1 1 22 2 24. Assi centrali principali T = M v I ω+ + I ω + I ωG G G1 2 3O2 2 1 2 3B

Nel caso di corpo rigido piano :π121 2 2≡ +M v I ω1. O G T = GG2 z 1 22. Atto di moto traslatorio T = M v O212 23. Atto di moto rotatorio T = I ωCIRz4.1.11 Potenza di una forzaSi definisce potenza di una forza F applicata in P la quantità:·π = F v P, P ) vale:Equivalentemente,

per un sistema di N forze (F_ii)
ΣF_i = vF_ii = vF_i + vF_i + ... + vF_i (i=1,N)

Nel caso del corpo rigido abbiamo:
ΣF_i = vF_i + ωX_i = vF_i + ωX_i + ... + ωX_i (i=1,N)

(E)
ΣΣF_i = R + (ΣX_iF_i)
v_i + ωMv_O

Analiziamo la dinamica del seguente sistema.
Esempio Figura 4.1: "Motorino"
Abbiamo due dischi di massa m e raggio R di centro A e B, in cui vi sono cerniere semplici. Nel punto H si ha puro rotolamento. Introduciamo l'angolo