Appunti di Meccanica dei fluidi

Ordine di calcolo: individuo sempre prima la Linea di sponda (O) che mi indica l’origine dell’asse

x, poi il baricentro, sempre a metà della figura ed infine il centro di spinta C, posto sopra o sotto

il baricentro in base alla posizione reciproca fra G ed O. Nel caso in cui C sia sopra G, si hanno

x negative, con valori di affondamento negativi.

= + , < 0

Misuratori di pressione:

I misuratori piezometrici ci permettono di visualizzare l’altezza dei piani di carico relativi. Non

necessitano calibrazione e sono utilizzabili solo se il carico piezometrico non è troppo alto.

8 Si vedono anche i PCIR dei serbatoi in pressione, aventi piani più in alto del pelo libero.

I manometri vengono utilizzati per carichi piezometrici più elevati, e come i piezometri non necessitano di calibrazioni.

Essendo misurazioni eseguite con due fluidi differenti, si può avere miscelazione di fluidi. Applicando la legge di

Stevino si può calcolare il valore dei carico piezometrico:

= ℎ; = 0. = + ∗Δ

= → ℎ = Δ → ℎ = Δ

Si cerca di avere così che e posso calcolare molto grandi con piccoli.

> 1 Δ < ℎ ℎ Δ

Esistono anche i manometri differenziali, che mi permettono di calcolare una differenza di carico piezometrico, per

esempio fra due serbatoi. I due serbatoi possono contenere lo stesso fluido o fluidi diversi, ma è complesso il calcolo di

h per serbatoi contenenti fluidi diversi. Se i due hanno lo stesso carico piezometrico, avrei Il serbatoio con

∆ℎ = 0.

carico piezometrico maggiore è quello che spinge il fluido del manometro più in basso. Il manometro differenziale non

mi permette di conoscere la posizione esatta dei due carichi piezometrici, ma solo la differenza di altezza fra i due Δℎ.

(Δℎ

= ∗ + + Δ) = ∗ = + Δ

−

(Δℎ

= → ∗ + + Δ) = + Δ → Δh = Δ

In base al valore della differenza di carichi piezometrici, si usano diversi tipi di

manometro differenziali. Il manometro rovescio mi permette di calcolare il come

Δℎ

−

Δh = Δ

Lezione del 14/10: Manometro Bourdon (o metallico): è un manometro analogico con all’interno un tubo

dalla sezione particolare. Il tubo si distende o si restringe in base alla pressione del

fluido che riempie il tubo. Questo manometro, come i successivi necessitano di una

taratura preliminare.

Esiste anche il manometro a membrana, che viene utilizzato nei casi in cui non si

voglia avere contatto fra il fluido e la parte meccanica. Il fluido è a contatto solo con la membrana, che si deforma e

muove l’indicatore.

I trasduttori di pressione servono invece per la conversione della pressione in segnale elettrico. Il funzionamento è legato

ad un sensore piezoelettrico posto sul fondo del trasduttore che genera una ddp se sottoposto ad una forza (in questo

caso quindi alla pressione del fluido). I trasduttori son molto comodi per quanto concerne la memorizzazione e la

trascrizione dei valori misurati, con conseguente possibilità di automatizzazione del sistema.

Calcolo delle spinte su superfici generiche:

Considero una superficie curva generica e il relativo dA. dS è sempre ma il versore normale non è costante. Non

⃗,

⃗

è possibile risolvere analiticamente l’integrale per il calcolo di . Si applica quindi l’equazione globale di equilibrio:

⃗ ⃗

+ = 0

G riguarda le forze di massa, nel nostro caso solo la forza peso; Fc riguarda le forze di superficie. L’equazione viene

applicata sul volume di controllo VC. Delimito un volume che contenga: la superficie che mi interessa e

sole altre superfici piane, per comodità di calcolo. Nel VC (volume interno alle superfici appena

delimitate) agiscono le forze rappresentate. La forza è incognita e tutte le forze di superficie sono

⃗

entranti per convenzione nel volume di controllo delimitato. è la forza che la parete curva trasmette al

⃗ 9

fluido e quindi la reazione vincolare della parete alla spinta s. A noi interessa calcolare ⃗ = − ⃗.

⃗ ⃗

+ ⃗ + ⃗ = 0 → − ⃗ = ⃗ = + ⃗

è calcolabile essendo una spinta su una superficie piana.

⃗ Nel caso di superfici convesse, posso chiudere il volume anche esternamente al serbatoio, dove il fluido

non è presente ma è teorizzabile la sua presenza. In questo caso per come ho orientato le forze.

=

L’equazione globale non si modifica.

L’applicazione riguarda il calcolo dello spessore di una condotta che debba contenere fluido in pressione.

Ipotizzo pressioni elevate, quindi così che la variazione di pressione all’interno della

ℎ ≫ ,

condotta è trascurabile. Come per i gas,

Δ = ∗ , = ∗ ℎ = ≫ Δ → = .

⃗

l’effetto della gravità è trascurabile = 0

Considero una sezione del tubo, con diametro interno D, spessore s e lunghezza L.

⃗ + ⃗ = 0 ⃗ = − ⃗ = ⃗

agisce su una sezione rettangolare e posso scrivere che

⃗ ⃗ = ∗ = ∗ .

⃗

⃗

Questa forza genera uno sforzo di trazione ai capi del tubo che bilancia = =

⃗.

Nel materiale ho una tensione massima ammissibile Nel caso limite, Unendo le due equazioni

. = = ∗ .

ricavo lo spessore s e definisco la formula di Mariotte:

= → =

2 2

Applicazione 2: spinta di Archimede. Spinta che un fluido imprime ad un corpo immerso o parzialmente immerso.

Considero un corpo immerso in un fluido. Sulla sua superficie di contorno sono presenti varie

forze di pressione infinitesime normali alla superficie del corpo. La risultante delle spinte

infinitesime mi dà la spinta di Archimede. Scelgo come volume di controllo il volume V del

solido e suppongo di sostituire il corpo solido con lo stesso volume di fluido, avente lo stesso

peso specifico del fluido che circonda il corpo e applico l’equazione di equilibrio:

−⃗

⃗

⃗ = = = ∗

Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta verso l’alto pari al peso del fluido spostato. La spinta agisce nel

baricentro geometrico del corpo, mentre la forza peso agisce sul baricentro di massa. Se il corpo affonda,

>

altrimenti si ha galleggiamento.

Lezione del 16/10:

Equilibrio relativo: Fluido fermo rispetto ad un sistema di riferimento mobile, il quale ha accelerazione Consideriamo

⃗.

sempre il fluido incomprimibile esso è soggetto a forze di massa (forze specifiche in massa):

( = );

⃗ ⃗ ⃗, ⃗

= + = −⃗

⃗ ⃗

è la forza di gravità, pari a è la forza d' inerzia e può essere calcolata come

−∇; −∇ ( = ).

⃗

L’equazione indefinita della statica diventa: = ∇ → −∇ = −∇ = ∇

1 1

∇ + ∇ + ∇ = 0 → ∇ + + =0

Un altro modo di esprimere l’equazione è + + = .

Esempio: centrifuga (vista in sezione): utilizzata per la separazione di due liquidi o di un solido e un liquido.

Accelerazione centripeta: ⃗ = − = ∇ =

10 1

= − +

2

− + =

2

Il campo di pressione è quindi in funzione di r oltre che di z. Nel punto A, grazie a come abbiamo deciso il sistema di

riferimento, = = = 0 → = 0.

Sulla superficie libera, l’equazione è quindi quella di un paraboloide. Una particolarità

= 0 → =

dell’equazione è che la quota media si trova esattamente a metà del delta fra i picchi e che il volume di fluido presente

nella metà superiore coincide con il volume nella metà inferiore.

Sulla superficie libera, quando . Questo valore indica l’innalzamento della superficie libera.

= , Δ = =

È importante notare come la forza d’inerzia spesso possa essere molto maggiore della forza di gravità. Aumentando la

velocità angolare ed il raggio, posso quindi avere una forza di massa che tende a fare lo stesso lavoro della forza di

gravità:

⃗

= + = + = 1+ >

Questo effetto viene utilizzato per la separazione di due fluidi o di un fluido ed un solido in maniera più rapida, senza

aspettare che uno dei due componente si depositi per effetto della gravità.

Cinematica dei fluidi:

Ci sono due approcci di descrizione del moto: Lagrangiano ed Euleriano. = ( , , , )

1) Lagrangiano: Scelta una particella, ne descrivo matematicamente la traiettoria: = ( , , , )

= ( , , , )

= = ( , , , )

⎧

⎪

2) Euleriano: scelto un punto e descrivo la velocità delle particelle passanti in quel punto. = = ( , , , )

⎨

⎪ = = ( , , , )

⎩

Accelerazione: considerando l’assissa curvilinea s(t):

⃗ ⃗

⃗ = + ⃗ = +

L’accelerazione convettiva non è lineare. Considerando l’accelerazione in un sistema cartesiano, avrei:

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

⃗ = + + + = +

Classificazione del moto di un fluido:

 Moto vario: la velocità varia nello spazio e nel tempo

⃗ = ⃗(, , , ):

 Moto permanente: la velocità varia nello spazio ma non nel tempo. (moto stazionario)

⃗ = ⃗(, , ):

 Moto uniforme: non si hanno variazioni spaziali o temporali. In pratica considero il caso

⃗ =