Appunti di Knowledge Engineering

Formattazione del testo

I ⊆ ∈∆A A N C, Adel dominio di tutte le interpretazioni.

per ovvero l’interpretazione del ruolo è un sottoinsiemeI I I⊆ × ∈∆ ∆r r N R, rdel prodotto cartesiano del dominio delle interpretazioni (poiché un ruolo associadue elementi del dominio).

ovvero le interpretazioni dell’insieme coincidono con il dominio ditopI I> = ∆tutte le interpretazioni.

ovvero le interpretazioni dell’insieme coincidono con l’insiemebottomI⊥ ∅,=vuoto.

ovvero l’interpretazione del complemento (o negazione) di unI I I\(¬C) = ∆ (C)concetto corrisponde al dominio delle interpretazioni meno l’interpretazione delCconcetto C.

ovvero l’interpretazione dell’intersezione di eI I Iu ∩(C = (C) (D)D) C Dcorrisponde all’intersezione dell’interpretazione di e dell’interpretazione diC D.

ovvero l’interpretazione dell’unione di e

corrispondeI I It ∪(C = (C) (D)D) C Dall’unione dell’interpretazione di e dell’interpretazione diC D..• se ovvero l’interpretazioneI I I I I{x ∈ | ∀ ∈ ∈ ⇒ ∈ },(∀ = ∆ ∆ (x,r C) y y) r y Cdella quantificazione universale di un ruolo corrisponde all’insieme degli elemen-rti appartenenti al dominio delle interpretazioni, tali che per ogni elementox ydel dominio delle interpretazioni, per il quale la coppia rappresenta un’in-(x, y)terpretazione di un ruolo, allora rappresenta un’interpretazione di un concettoyC. .• se ovvero l’interpreta-I I I I I{x ∈ | ∃ ∈ ∈ ∧ ∈ },(∃ = ∆ ∆ (x,r C) y y) r y Czione della quantificazione esistenziale di un ruolo corrisponde all’insieme deglirelementi appartenenti al dominio delle interpretazioni, tali che per ogni elemen-xto del dominio delle interpretazioni, per la quale la coppia rappresenta(x,y

• dove e sono dei concetti ALC (relazione di sussunzione).vC D, C D
• .I Iv ⇐⇒ ⊆(C (C) (D)D)
• e (relazione di equivalenza).≡ ⇐⇒ ⊆ ⊆C D C D D C

• Un oggetto appartiene ad un e si scrive come InALC-concept expression :x x C.
• particolare se .I I I∈(x : (C)C) x
• Due oggetti ed sono legati da un ruolo e si scrive come In partico-hx, :x y r yi r.lare se .I II I∈(hx, : (x ) (r)yi r), yAd esempio (ovvero rappresenta un oggetto del concetto oppure:b1 Bird b1 Bird),(ovvero gli oggetti sono legati dal ruolojohn, hjohn,:janei married janei married).
  
  Una ALC KB Knowledge BaseUna (ALC è costituita da un T-Box, che stabilisce le relazioni tra i concetti (che tipicamente formano una gerarchia di concetti), e da un A-Box, che contiene gli assiomi.
  
  Un’espressione ALC può essere facilmente tradotta in un’espressione FOL in modo induttivo:
  
  • [A] = A(x)x
  • u ∧[C =D] C(x) D(x)x
  • t ∨[C =D] C(x) D(x)x
  • ¬C(x)[¬C] =x.
  • ∀ | ⇒[∀ =r C] y r(x, y) C(y)x.
  • ∃ | ∧[∃ =r C] y r(x, y) C(y)x
  • >[>] =x
  • ⊥[⊥] =x
  • v ∀ | ⇒[C =D] x C(x) D(x)
  • ≡ ∀ | ⇐⇒[C =D] x C(x) D(x)
  • [a : =C] C(a)
  • [ha, : =bi r] r(a, b)
  
  ES:Consideriamo la seguente espressione ALC:
  .hasChild Human Human∃ vVediamo come

  può essere trasformata in un'espressione FOL:

  ∀x (Human(x) → ∃y (Human(y) ∧ hasChild(x, y)))

  ∀x (Human(x) → ∃y (Human(y) ∧ hasChild(x, y) ∧ ∀z (Human(z) → hasChild(y, z))))

  CAPITOLO 3. ONTOLOGIA

  36.N.B: hasChild è uguale a scrivere hasChild

  Perciò avremo:

  ∃x ∃y (hasChild(x, y) ∧ ∃z (hasChild(y, z) → hasChild(x, z)))

  ALC rappresenta il linguaggio base per una Description Logic. Però possiamo definire altre Description Logic (DL), derivate da ALC, a cui vengono aggiunte altre caratteristiche per rendere il linguaggio più espressivo. In particolare:

  • aggiunge ruoli transitivi ad ALC (ovvero ruoli che godono della proprietà S:transitiva).
  • aggiunge ruoli gerarchici ad ALC (ovvero ruoli che sono sottoinsiemi di altri H:ruoli, ad esempio hasDaughter).

  hasChild).v• aggiunge ruoli funzionali ad ALC.F:• definisce i concetti come enumerazioni degli elementi che ne fanno parte (cioèO:{a }., ..., a n1• : aggiunge restrizioni sulla cardinalità (ad esempio un ruolo che associa al mas-Nsimo elementi, ovvero ≤2 2hasChild).• aggiunge restrizioni sulla cardinalità qualificata (ad esempio un ruolo cheQ: .associa almeno elementi di un certo tipo, ovvero Female).≤2 2hasChild• aggiunge ruoli inversi (ad esempio isChildOf hasChild−).I: ≡Ogni DL è caratterizzata dall’uso di particolari operatori logici, ognuno dei quali con-tribuisce alla complessità del ragionamento.Analizziamo in dettaglio le componenti dell’ontologia.concetti, termini classi,I detti anche o rappresentano un insieme di oggetti e posso-no essere:Atomici,• spesso indicati con le lettere e Ad esempio WOMAN che rappre-A B.senta l’insieme delle “donne”.Complessi,•

  spesso indicati con le lettere e Ad esempio PERSON FEMALE, uC D.che possiamo leggere come “PERSON and FEMALE” (oppure “PERSON inter-section FEMALE”) e rappresenta l’insieme delle “persone di genere femminile”.L’equivalenza esprime l’uguaglianza tra due concetti (può essere letta come≡C D“C è uguale a D”).Ad esempio WOMAN PERSON FEMALE indica che “una donna è una persona ed≡ uè una femmina”.sussunzioneLa esprime un concetto è sottoinsieme di un concetto (puòvC D C Dessere letto come “ogni elemento di è descritto anche inC D”).CAPITOLO 3. ONTOLOGIA 37Ad esempio GIRL WOMAN, che possiamo leggere come “GIRL è sussunto da WO-vMAN” (oppure “WOMAN sussume GIRL”), esprime che “una ragazza è una donna”.N.B: è equivalente a scrivere e≡ v vC D C D D C.Gli operatori e derivano

  dall'algebra booleana, perciò valgono le stesse ∧, ∨, ¬, →, ⊥ proprietà. Quindi:
  a) è equivalente a ∧ ed è equivalente a ¬→ ⊥ ¬¬ C C.
  b) è equivalente a ¬(C ∨ ¬C ∪ ¬D.D).
  c) è equivalente a ¬(C ∧ ¬C ∩ ¬D.D)

  quantificatore esistenziale
  Il "∃" indica la validità di un'affermazione per almeno un caso.
  Ad esempio MOTHER hasChild, che possiamo leggere come "MOTHER è sussunto ∃ dall'insieme degli individui che hanno almeno un figlio", esprime che "ogni madre ha come figlio almeno un individuo".
  N.B: possiamo tradurre il quantificatore di esistenza in FOL come: hasChild(x,v ∃ → ∃ ∀x[MOTHER = (MOTHER(x) y y)).

  quantificatore esistenziale qualificato
  Il viene espresso con " ∈ " e permette di specificare l'appartenenza di un elemento..
  Ad esempio hasChild FEMALE

  rappresenta “l’insieme degli individui che hanno∃almeno una figlia femmina”.

  N.B: possiamo tradurre il quantificatore esistenziale qualificato in FOL come: hasChild FEMALE] FEMALE(y))∃

  Il “∀” indica la validità di un’affermazione per ogni caso.

  Ad esempio hasChild FEMALE rappresenta “l’insieme degli individui che hanno∀solamente figlie femmine”.

  N.B: possiamo tradurre il quantificatore universale in FOL come: hasChild FEMALE] FEMALE(y))∀

  ⇒[∀ = (hasChild(x,y y)x

  Il ruolo inverso viene espresso con “−”. Ad esempio sonOf hasChild−, indica che il≡ruolo “essere figlio di” è l’inverso del ruolo “avere un figlio”.

  Ad esempio hasChild− FEMALE] FEMALE(y)).∃

  ∧[∃ = (hasChild(y,y x). x

  Oppure hasChild− FEMALE] FEMALE(y)).∀

  ⇒[∀ =

  (hasChild(y,y x)xN.B: in generale, dato una relazione ed una relazione allora:R R(x, y) R− R(y, x),. ∃ ∧[∃R− = (R(y,C] y x) C(y))x. ∀ ⇒[∀R− = (R(y,C] y x) C(y))xCAPITOLO 3. ONTOLOGIA 38ruoli,I in generale, hanno senso solo per alcuni sottoinsiemi dell’universo. Ad esempiohasChild si riferisce a due persone, mentre non ha senso per altri oggetti inanimati.dominio ran-In generale possiamo associare ad un ruolo due insiemi, chiamati eRge del ruolo, che rappresentano gli insiemi di individui