Appunti di Geometria

MATRICI

Le matrici sono delle tabelle di numeri reali di m righe e di n colonne:

A=

Questa matrice appartiene ad un insieme di matrici, che si chiama e un elemento della

matrice A si chiama Dove i sta ad indicare la riga in cui l’elemento è collocato e j indica la

colonna in cui è collocato. La forma compatta per scrivere la matrice è , la riga i-

esima si scrive Indica la colonna j-esima.

Ecco un esempio:

Se capita una matrice con m=n questa matrice si chiama quadrata di ordine n e si scrivono

.

Tra le matrici si possono fare varie operazioni. Queste sono:

Somma tra matrici

Ecco un esempio:

Un’accortezza che bisogna usare è quella di avere entrambe le matrici dello stesso ordine per

far si che esse si possano sommare.

Moltiplicazione per uno scalare

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Ecco un esempio:

Ecco le proprietà delle operazioni tra matrici:

• A+B=B+A (proprietà commutativa dell’addizione)

• (A+B)+C=A+(B+C) (proprietà associativa dell’addizione)

• Con O si definisce la matrice 0, dello stesso ordine di una matrice A ma che contiene

solo 0 (elemento neutro della somma)

•

•

•

•

• 1A =A (elemento neutro della moltiplicazione)

COMBINAZIONI LINEARI

Le combinazioni lineari sono la somma di un numero n di matrici moltiplicate ognuna per un

coefficiente proprio, non per forza uguale:

Ecco un esempio:

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C è una combinazione lineare tra A e B e in coefficienti sono entrambi numeri naturali.

La combinazione lineare ci permette di dividere tutte le matrici in due gruppi:

• Matrici linearmente dipendenti: se la loro combinazione lineare può risultare nulla

anche se i coefficienti sono tutti diversi da 0

• Matrici lineari indipendenti: se l’unico modo in cui la loro combinazione lineare è

nulla è se i loro coefficienti siano tutti nulli

Adesso vediamo un teorema riguardo le matrici linearmente dipendenti:

Sono linearmente dipendenti se hanno almeno una matrice che è

combinazione lineare delle altre.

Dimostriamo questo teorema:

Ecco un altro teorema:

Due matrici sono linearmente dipendenti se e solo se una è multipla dell’altra

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TRASPOSIZIONE

Adesso vediamo un’altra operazione fondamentale nelle matrici che è quella della

trasposizione. Questo permette di invertire il numero di righe con quello di colonne:

Ecco un esempio:

La trasposizione è un’involuzione: se trasponiamo una matrice già trasposta

precedentemente torna la matrice originaria.

•

Possiamo dividere le matrici in due gruppi:

• Simmetriche: una volta trasposte rimangono uguali

• Antisimmetriche: una volta trasposte diventano l’opposta di A. Una matrice

antisimmetrica sulla diagonale deve avere solo 0.

MATRICI QUADRATE

Prima di tutto definiamo diagonale. In una matrice quadrata la diagonale è quella che va dal

primo elemento in alto a sinistra a quello in basso a destra. Le matrici quadrate si dividono in:

• Triangolare superiore: se tutti i numeri sotto la diagonale sono 0,

La sua trasposta è una matrice triangolare inferiore

o

• Triangolare inferiore: se tutti i numeri sopra la diagonale sono 0,

La sua trasposta è una matrice triangolare superiore

o

• Matrici diagonali: tutti i numeri fuori dalla diagonale sono 0

La matrice identità è quella che ha 0 fuori dalla diagonale e 1 nella

o diagonale

o La sua trasposta rimane uguale

o

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PRODOTTO RIGA PER COLONNA

Definiamo un’altra operazione caratteristica tra le matrici che da vita ad una nuova matrice.

Tra due matrici in generale ogni riga della prima matrice va moltiplicata per ogni colonna della

seconda matrice, ma per farlo bisogna che il numero di righe della prima matrice sia uguale al

numero di colonne della seconda matrice. A questo punto considerate le matrici

:

Il prodotto riga per colonna non è transitivo, quindi se facciamo AB≠BA. In realtà con alcune

matrici quadrate questa proprietà funziona, e bisogna che moltiplichiamo una matrice

quadrata per I o per un multiplo di I. Se facciamo AI=A, se facciamo

Quindi di quali proprietà gode questa operazione? Ecco una lista:

Prese le matrici A, B, C per cui sono definiti i prodotti riga per colonna; O e I; :

•

•

•

•

•

Adesso analizziamo invece i casi in cui lavoriamo con le trasposte delle matrici.

Consideriamo Dimostriamo questa uguaglianza

MATRICI INVERTIBILI

Innanzitutto partiamo col dire che sono invertibili solo le matrici quadrate. Quindi

consideriamo una matrice quadrata . Questa è invertibile se

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Esempio:

L’inversa di una matrice è unica, quindi:

Se

Vediamo alcune caratteristiche riguardo la matrice inversa di A che chiameremo

:

• La matrice I è

• Se È invertibile allora l’inversa di

• Se Allora È invertibile e

•

Queste proprietà danno una struttura di gruppo algebrico alle matrici inverse e questo gruppo

si definisce gruppo lineare.

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DETERMINANTE DI UNA MATRICE QUADRATA

Il determinante è una funzione caratteristica delle matrici che associa ad ogni matrice un

numero reale. Il determinante esiste solo per le matrici quadrate:

Prima di vedere come si calcola il determinante di una matrice vediamo come si trova la

sottomatrice A’ di A. Questa matrice A’ si può anche chiamare la complementare di .

Se la matrice A è di ordine n la matrice A’ sarà di ordine (n-1), e la matrice È la matrice A a

cui vengono tolte la riga a e la colonna j. Ecco un esempio:

Abbiamo praticamente preso la matrice A e gli abbiamo tolto la riga i (la riga 3 scritta come

primo pedice) e la colonna j (la colonna 3 scritta come secondo pedice). Siccome È

complementare dell’elemento della matrice originaria, in questo caso la matrice A3 3

è complementare di -1.

Una volta visto questo procedimento possiamo procedere con il visionare come si calcola il

determinante nei vari casi:

• Matrice con un solo elemento:

Ovvero coincide con l’unico termine che c’è

o

• Matrice con più di un elemento

o Interpretiamo questa formula:

o Il segno da mettere davanti ad ogni termine si altera (una volta + una

▪ volta -) e si decide da cosa partire in base al fattore :

• Se n+1 pari=ci va il +

• Se n+1 dispari=ci va il –

• N indica il numero della riga che abbiamo preso in

considerazione, per i primi esempi varrà n=1

Il termine a1 1 indica gli elementi della matrice originaria: se prendiamo

▪ in considerazione la prima riga della matrice l’elemento a1 1 è quello

che sta nella prima posizione della prima riga, l’elemento a1 2 è

l’elemento che sta nella seconda posizione della prima riga, l’elemento

a1 n è l’elemento che sta nella posizione n-esima della prima riga

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L’ultimo termine, det A1 1, indica il determinante della sottomatrice

▪ ottenuta togliendo alla matrice A originaria la prima riga e la prima

colonna, det A1 2 indica il determinante della sottomatrice ottenuta

togliendo dalla matrice A originaria la prima riga e la seconda colonna,

det A1 n indica la sottomatrice ottenuta togliendo dalla matrice A

originaria la prima riga e l’n-esima colonna

• In particolare, adesso osserviamo il caso di matrici 2x2 e 3x3:

Matrici 2x2

o ▪ In questi casi di matrici 2x2 indica la misura dell’area

▪ del parallelepipedo che ha come vertici (0;0), (b;d), (a;c), (a+b;c+d)

Matrici 3x3

o ▪ •

•

•

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REGOLA DI SARRUS (PER MATRICI 3X3)

▪ •

• Per calcolare il determinante di questa matrice bisogna riscrivere

le prime due colonne della matrice a destra di tutto e sommare le

tre diagonali in discesa e sottrargli le diagonali in salita

• (a x e x i) + (b x f x g) + (c x d x h) – (b x d x i) – (a x f x h) – (c x e x g)

• Con questa formula possiamo trovare il determinante della

matrice A

Anche il valore assoluto del determinante della matrice 3x3 è

▪ interpretato a livello geometrico come il volume del parallelepipedo.

Vediamo adesso alcuni teoremi e alcune proprietà riguardanti il calcolo del determinante

delle matrici:

• Sviluppo di Laplace

o Questo vuol dire che per calcolare il determinante di una matrice non

o dobbiamo obbligatoriamente scegliere la prima riga per fare i calcoli ma

possiamo scegliere la riga che preferiamo o quella che ci conviene

o Questo vuol dire che non dobbiamo scegliere obbligatoriamente le righe per

o calcolare il determinante ma possiamo scegliere anche le colonne e in

o particolare la colonna che ci conviene di più usare.

In particolare, tenendo conto dello sviluppo di Laplace, dato che possiamo

o scegliere righe e colonne a piacimento, ci conviene scegliere sempre righe o

colonne dove compaiono più zeri in modo tale da fare meno calcoli.

• Se A è triangolare il determinante si calcola moltiplicando tra essi tutti gli elementi

della diagonale

• Se I è la matrice identità, det I=1

•

• Se A ha una riga o una colonna completamente nulla, det A = 0

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• A’ ha una riga o una colonna con multipli di uno stesso numero possiamo scrivere che

o

• Il determinante è additivo rispetto alle righe

o Funziona anche per le colonne

o

• Il determinante non cambia se ad una riga j sommiamo un multiplo di un’altra riga i

Funziona anche per le colonne

o

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PROPRIETÀ DEL DETERMINANTE

Vediamo un po’ di proprietà del determinante:

• Se una matrice ha due righe o due colonne uguali il determinante è nullo

• Se una riga o una colonna è combinazione lineare di altre righe o colonne il

determinante è nullo

• Se scambiamo due righe o due colonne il determinante cambia segno:

Dimostrazione:

o ▪ Tutte le righe sono uguali tranne Ai e Aj, quindi dato che le due matrici

▪ sono legate da un segno + possiamo scrivere

▪ Dato che ci sono due righe uguali, per la proprietà appena vista, il

▪ determinante della matrice è nullo

Lo stesso vale per le colonne

▪

Adesso vediamo alcune operazioni che si possono fare tra matrici quadrate che permettono

di modificare la matrice di partenza e renderla una triangolare superiore per cui, ricordiamo, è

molto semplice calcolare il determinante in quanto basta moltiplicare i numeri sulla

diagonale

• Somma tra righe o colonne in una matrice

• Somma tra una riga e un multiplo di un’altra riga o tra una colonna e un multiplo di

un’altra colonna in una matrice

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• Scambio tra righe o colonne (come visto prima ciò comporta che il determinante finale

cambia segno, ogni volta che si scambiano righe tra loro bisogna cambiare segno al

determinante, per cui se inverto una volta metto -, se inverto due volte metto + e così

via)

Adesso vediamo un teorema che ci aiuta a calcolare il determinante di matrici.

TEOREMA DI BINET

Con questo teorema possiamo caratterizzare le matrici invertibili:

• Dimostrazione:

o ▪

▪

▪ •

Ecco un altro teorema:

Allora vediamo questa formula per trovare l’inversa di una matrice. È un processo un po’

macchinoso ma rigoroso:

RANGO DI MATRICI mxn

Adesso introduciamo un nuovo concetto per quanto riguarda le matrici. Prima di parlare di

rango però dobbiamo parlare di minore di una matrice. Un minore di A di ordine k è una

sottomatrice quadrata di A ottenuta intersecando k righe e k colonne di A.

È un minore di A di ordine k

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Le righe e le colonne scelte sono arbitrarie.

Quindi definiamo il rango di una matrice:

•

•

Enunciamo alcune proprietà del rango di una matrice:

• Il rango di una matrice A è nullo se la matrice è una matrice nulla

• Se A≠0 allora il rango è compreso tra 1 e il minimo tra m e n

o

• Il rango di A è uguale al rango della trasposta di A perché i minori della trasposta di A

sono uguali a quelli di A e se M è un minore di A il determinante della trasposta di M è

uguale al determinante di M

o ▪

▪

Se esiste il rango di una matrice allora il suo determinante è diverso da 0.

Adesso definiamo un'altra sottomatrice di A, e la chiamiamo orlato. Questa serve per vedere

se il minore M di A è il minore più grande degli altri minori oppure se ce ne sono anche altri di

più grandi in modo da determinare il rango con più facilità.

Ecco un esempio:

Consideriamo il minore

Per definire gli orlati di M dobbiamo completare la riga di -1 con un elemento che proviene

dalla sua stessa riga dalla matrice A e poi aggiungere un’altra riga scegliendo i termini

corrispondenti dalla riga di sopra

Se questi orlati hanno determinante nullo allora il minore con determinante non nullo è M=(-1)

e la matrice ha rango 1. Da qui discende il teorema degli orlati:

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MATRICI A SCALA

Le matrici a scala sono una particolare serie di matrici che possono essere definite come una

generalizzazione delle matrici triangolari superiori. In generale:

• Se sotto una riga nulla ci sono solo altre righe nulle

• Se sotto il primo elemento non nullo di una riga ci sono solo e zeri e se sotto gli zeri che

vengono prima dell’elemento non nullo ci sono solo zeri.

Facciamo un esempio: Questa è una matrice a scala, perché come vediamo:

• Nella prima riga il primo elemento non nullo è 1, e sotto l’uno ci sono solo zeri

• Nella seconda riga il primo elemento non nullo è 7 e

Sotto al 7 ci sono solo 0

o Sotto gli 0 prima del 7 (sulla stessa riga del 7) ci sono solo 0

o

• Nella terza riga il primo elemento non nullo è 1 e

Sotto 1 ci sono solo 0

o Sotto gli 0 prima dell’1 (sulla stessa riga dell’1) ci sono solo 0

o

• La quinta riga è nulla

La sesta riga (quella sotto la quinta) è nulla

o

• Non è necessario che ci siano righe nulle, possono anche non esserci

I primi numeri non nulli delle 3 righe (1, 7, 1) si chiamano pivot, e sono molto utili quando

vogliamo trovare il rango di una matrice a scala: basta contare il numero di pivot, a quel punto

il rango di questa matrice è proprio quel numero. Ad esempio, il rango della matrice di sopra è

3 perché ha 3 pivot.

Questo è visibile grazie al teorema degli orlati: infatti se come minore della matrice di sopra

consideriamo il minore che si ottiene intersecando le righe e le colonne dei pivot vediamo che

questo minore è il minore più grande ad avere determinante diverso da 0.

Usando le operazioni di riga (scambio, moltiplicare una riga o una colonna per una costante

non nulla, sommare ad una riga un multiplo di un’altra riga) si possono trasformare tutte le

matrici esistenti in matrici a scala. Per questo procedimento esiste un vero e proprio

algoritmo, che può essere sviluppato anche da computer, ma che noi esseri umani possiamo

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anche non seguire alla lettera nel caso trovassimo vie alternative più convenienti per

trasformare una matrice generica in una a scala. Questo algoritmo si chiama metodo di

eliminazione di Gauss.

A’ è una riduzione a scala di A, allora il rango di A’ è uguale al rango di A perché:

• Le operazioni di riga influenzano anche i minori possibili che si possono creare

• Il determinante cambia solo se tutta la matrice viene moltiplicata per un numero

diverso da 0

Adesso diamo un’altra definizione:

• È una matrice A a cui viene aggiunta una riga R

• (Si legge A affiancato B) è una matrice A a cui viene aggiunta una colonna B

Non vediamo la dimostrazione, ma vediamo alcune idee di dimostrazione:

•

• Per avere lo stesso rango R deve essere ridotta a scala, ma se è combinazione lineare

delle altre righe può essere annullata

• Se è possibile annullare R allora questa riga è possibile scriverla come combinazione

lineare delle altre righe

• Lo stesso ragionamento vale per le colonne

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SISTEMA LINEARE

Prima di parlare di sistemi lineari dobbiamo parlare di equazioni lineare. Le equazioni lineari

coinvolgono un polinomio a più incognite, tutte di primo grado.

2x + y = 0

Una soluzione di un’equazione lineare è una coppia di numeri (1, -2) che, se inseriti

nell’equazione lineare, soddisfano l’uguaglianza. L’insieme di tutte le soluzioni è:

L’interpretazione geometrica di un’equazione lineare è una retta.

Un’insieme di equazioni lineare si chiama sistema lineare e il nostro obbiettivo è trovare le

equazioni comuni a tutte e due le equazioni:

1. I. S = (-1, -2)

2. a.

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