Appunti di Fondamenti di teoria dei circuiti

FUNZIONE GRADINO

() < 0 > 0.

è una funzione gradino che vale zero per e uno per Allora

< 0 > 0.

zero per e per Esistono altri due casi:

( − ): < >

1. vale zero per e uno per ;

0 0 0

( + ): < − > −

2. vale zero per e uno per .

0 0 0

Può anche essere indicato come un interruttore. In questo caso bisognerà studiare il circuito nei due

momenti: prima e dopo del transitorio.

CIRCUITI DEL PRIMO ORDINE (RISPOSTA COMPLETA)

, :

Per trovare la risposta completa di un circuito bisogna scrivere l’equazione sul nodo degenere

()

−

+ = 0 → + =0→ + =0→∫ = −∫

− −

0

0

() − ()−

− − −

⁄

ln ⁄ ⁄ ⁄

−

→ ln =− → = → () = + (1 − )

0 0

−

0

⁄ ⁄

− −

(1 − )

Osserviamo che è la risposta naturale, mentre è quella forzata. In

0

questo caso il transitorio non tende a zero, ma a perché, se faccio l’equazione alla

= 0 − + + = 0 → =

maglia, a regime avrò che e quindi: .

LUCA CRISPINO A.A. 2022/2023

⁄

−

() = + ( − )

La risposta completa sarà: .

∞ 0 ∞

Per trovare la risposta completa di un circuito bisogna scrivere l’equazione alla maglia:

1 1

− + = 0 → − + = 0 → + ( − ) = 0

() −

()

t

→ + = 0 → ∫ = − ∫ → ln =−

⁄ ⁄

− − −

0

0

0

⁄

()−

ln ⁄

⁄ ⁄ ⁄ ⁄

− − − −

→ = → () = + ( − )

0 0 0

− −

⁄ ⁄

( − )

Dove è la risposta naturale e è quella forzata. L’equazione della risposta completa si

0 0

⁄

−

() = + ( − ) .

può scrivere come: ∞ 0 ∞ (), (2) (), (2).

Per disegnare l’esponenziale posso usare i punti e

Nella risposta forzata ci può essere sia carica che scarica. Inoltre, se non c’è il resistore o abbiamo solo

generatore di corrente e induttore, non c’è transitorio. In particolare, nel caso in cui abbiamo solo il

generatore di tensione e induttore, c’è un transitorio, ma non è un esponenziale (è una rampa):

()

1 1 1

= → = → = → = → ∫ = ∫

1

0 0

1

→ () = − ( − )

0 0

Stessa cosa se abbiamo un generatore di corrente e un condensatore:

()

1 1 1 1

= → = → = → ∫ = ∫ → () = + ( − )

0 0

0 0

CIRCUITI DEL SECONDO ORDINE

Questi circuiti presentano due bipoli reattivi.

Per trovare la risposta naturale del circuito serie, bisogna scrivere l’equazione

alla maglia: 1

+ + ∫ = 0

0

1

(0) = (0) = =

⁄

Le condizioni iniziali sono: e . È necessario trovare un’altra condizione

∫

0 0

−∞

iniziale per risolvere l’equazione differenziale:

0

(0) 1 (0) (0) 1

(0) + + ∫ → + + = 0 → = − ( + )

0 0 0 0

−∞ ,

Se deriviamo l’equazione alla maglia e dividiamo per otteniamo:

2

+ + =0

2

=

Per risolvere l’equazione differenziale, poniamo e sostituiamo:

2

( )

1

2 2

+ + = 0 → + + = 0 → ( + + ) = 0

2

= 0,

Siccome non possiamo porre perché sempre positivo, allora poniamo l’argomento della parentesi

uguale a zero: 2

1 1

√(

2

+ + = 0 → = − ± ) −

2 2

1

= =

⁄

Definiamo e rispettivamente frequenza naturale e frequenza non smorzata. Tale

⁄

0

2 √ 02

2

− ± √ −

equazione avrà due soluzioni: . Si possono presentare tre casi:

LUCA CRISPINO A.A. 2022/2023

02

2

> = − ± √ −

1. : si parla di circuito sovrasmorzato, dove . La soluzione dell’equazione

1

0 ⁄

2

() ()

() = + = +

differenziale di secondo grado sarà del tipo: .

1 2

1 2 1 2

=

2. : si parla di smorzamento critico, in cui le soluzioni dell’equazione di secondo grado saranno:

0

= = − e inoltre:

1 2 2

1 1 4

= → = →=

2 2

2 4

√

− − −

() = + = = ⁄

La soluzione dell’equazione differenziale sarà: . Se :

1 2 3 2

2 2

2 2

+ 2 + = 0 → + + + = 0 → ( + ) + ( + ) = 0

2 2

ln − −

Se = + → + = 0 → ∫ = ∫ → ln = − → = → =

1

−

(

→ = + → = + → = ) → ∫ = → + =

1 1 1 1 1 2

−

→ () = ( + )

1 2

<

3. : si parla di circuito sottosmorzato, in cui:

0 2

1 1 4

< → < →<

2 2

2 4

√

2 02

2 2

= √ − = = − ± √−( − ) = − ±

Inoltre, se e avremo: . Quindi:

√−1, 1

0 ⁄

2

−(−− ) −(−+ ) − − −

() = + = + = +

1 2

1 2 1 2 1 2

±

= cos ± sin :

Applichiamo la regola di Eulero:

− (cos (cos

→ () = [ + sin ) + − sin )]

1 2

− −

[( [

) )

→ () = + cos + ( + sin ] = cos + sin ]

1 2 1 2 1 2

= 0

Se non ci fosse smorzamento, la e si dice che si trova in risonanza: la sua risposta continuerebbe ad

oscillare.

Per trovare la risposta naturale del circuito parallelo bisogna fare la legge al nodo:

0

1

+ ∫ + =0

−∞

0

1

(0) = ⁄ = =

La condizione iniziale è: . Pongo , e operiamo come nel serie:

∫

0

−∞

2 2

1 1 1

2

+ + =0→ + + = 0 → + + =0

2 2

2

1 1 1 1 1 1 1

√(

2 2

( + + ) = 0 → + + = 0 → = − ± ) −

1

⁄

2 2

2

1 1 2

2

= = = − ± √ −

⁄

Definiamo e . Quindi, le soluzioni saranno: .

⁄ 1

0

2 0

⁄

√ 2

Anche nel circuito parallelo ci sono tre casi:

>

1. , in cui abbiamo:

0 1 1 1 1 2 2

> → > → > 4

2 2

2 4

√

() ()

() = + = +

La soluzione dell’equazione differenziale sarà: 1 2

1 2 1 2