Appunti di Fondamenti di costruzione macchine

B).

Per il medesimo ragionamento del carico simmetrico, ed dovranno annullarsi in corrispondenza

dell’asse di simmetria.

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Geometria delle masse e delle aree

Baricentro di un sistema di masse

Consideriamo un sistema di unti nel piano, nei quali si presentano concentrate delle masse , …;

, ,

non faremo nessuna ipotesi sulla loro natura, diremo solo che sono omogenee tra loro.

Se immaginiamo di applicare in tali punti e nel piano un sistema di forze parallele,

misurate dagli stessi numeri che misurano le masse e facendo ruotare tali forze

intorno ai punti di applicazione (sempre mantenendole parallele), anche la risultante

ruoterà attorno ad un punto G del piano che prende il nome di cento delle forze

parallele. Questo stesso punto è il baricentro del sistema di masse.

Nel semplice caso di due sole masse il baricentro si verrà a trovare sulla retta congiungente, ad una

distanza inversamente proporzionale alle masse stesse (più vicino alla massa maggiore).

Momento statico (o momento del primo ordine)

Prendiamo una retta nel piano delle masse e misuriamo le distanze

, … di queste dalla retta, secondo una direzione prefissata.

, ,

Prende il nome di momento statico (o del primo ordine) la somma dei

prodotti delle masse per le rispettive distanze:

=

Esso ovviamente dipenderà dalla direzione di e potrà essere

positivo, negativo o anche nullo (anche se le masse sono tutte positive

i segni sono dati dalle distanze). Il momento statico di un sistema di

masse si misura in ⋅ .

Proprietà del baricentro

Il momento statico del sistema di masse rispetto ad una retta è uguale al momento del sistema di forze

sostituite alle masse e parallele ad ed è quindi uguale al momento della risultante.

,

Dato che la risultante passa per il baricentro G, il momento statico del sistema risulta uguale alla somma

delle forze (ossia delle masse) moltiplicata per la distanza del baricentro dalla retta

:

= ⋅

Possiamo quindi affermare che il momento statico di un sistema di masse rispetto ad una retta non cambia

se si concentra la massa totale nel baricentro. Per calcolare il momento statico sono quindi necessari

solamente la massa totale ed il baricentro, non è necessario conoscere la distribuzione delle masse.

Se l’asse è baricentrico (ossia passa per il baricentro G) allora il momento statico rispetto a questo asse

sarà nullo. Vale ovviamente anche il viceversa, se il momento statico rispetto ad un asse è nullo allora l’asse

è baricentrico (escludendo che le masse siano tutte nulle).

Il baricentro può quindi essere definito come quel punto tale che il momento statico sarà nullo rispetto a

tutte le rette che vi passano. 24

Coordinate del baricentro

La distanza dal baricentro può essere ricavata dalla formula precedente:

∑

= =

∑ ∑

Se si assumono due assi coordinati ed (anche non ortogonali), la coordinata può essere calcolata allo

stesso modo: ∑

= ∑

Risulta evidente che se alle masse vi se ne sostituisce altre in modo proporzionale il baricentro non cambia.

Sistemi continui

Possiamo pensare ad un’area (o ad una linea come ad un insieme di aree infinitesime (o di

)

segmenti infinitesimi ottenendo quindi che il baricentro dell’area (o della linea) ed il relativo momento

),

statico si possono calcolare come:

∫ ∫

= = =

Le dimensioni risultano quindi essere (per la linea ).

Per determinare più facilmente il baricentro di un’area (o una linea) è sufficiente decomporla in parti aventi

baricentri noti, nei quali pensare concentrate le aree (o le lunghezze) delle parti stesse.

Se un’area (o una linea) ha un’asse di simmetria retta il baricentro sarà sull’asse, se ne ha due sarà nel

punto di incontro degli assi.

Se un’area (non una linea) ha un’asse di simmetria obliqua (come la mediana di un triangolo) il baricentro è

su quest’asse (se ve n’è più di uno sarà il loro punto d’incontro).

Momenti del second’ordine: momento d’inerzia assiale

Si chiama momento d’inerzia (assiale), di un sistema di masse nel piano rispetto ad una retta del piano, la

somma dei prodotti delle masse per i quadrati delle rispettive distanze dalla retta (misurate rispetto ad una

direzione prefissata).

=

Il momento d’inerzia è sempre positivo (nullo solo per masse allineate sulla retta e le sue dimensioni

)

sono [ ].

⋅

Se riscriviamo la sommatoria come ci si accorge che il momento d’inerzia è il momento statico

∑( )

dei momenti statici pensati come nuove masse. Poniamo ora:

∑

= =ρ

∑ ∑

ha quindi dimensioni di una lunghezza e si chiama raggio d’inerzia (o giratore) rispetto all’asse Esso

ρ .

rappresenta la distanza da alla quale bisognerebbe concentrare la massa per ottenere lo stesso

∑

momento d’inerzia , infatti:

=ρ ⋅

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Momenti del second’ordine: momento d’inerzia polare

Si chiama momento d’inerzia polare del sistema di masse rispetto ad un punto del piano la somma dei

prodotti delle masse per il quadrato delle rispettive distanze dal punto:

=

Anche questo momento è sempre positivo e la sua dimensione è

[ ].

⋅

Tracciamo ora due assi orientati ( ed passanti per il punto

) ,

misurando normalmente le distanze dei punti si ha e

= +

quindi:

= = + = + = +

Questo ci permette di calcolare quando si conoscono e ma non viceversa; il momento polare è

infatti uguale alla somma dei momenti d’inerzia riferiti a due rette ortogonali qualsiasi e passanti per

(valutati con distanze normali).

Nel caso particolare in cui i momenti d’inerzia siano uguali si ha che = = /2.

Momenti del second’ordine: momento centrifugo

Si chiama momento centrifugo del sistema di masse rispetto a due

rette ed del piano la somma dei prodotti delle masse per le

rispettive distanze dalle due rette (valutate secondo direzioni

prestabilite): =

Anche in questo caso le dimensioni sono ma il momento

[ ],

⋅

centrifugo può risultare anche nullo o negativo poiché i segni di

ciascun termine dipendono dai segni delle distanze, cioè dalla regione

di piano in cui si trova la massa.

Sistemi continui

Per quanto riguarda i sistemi continui si applica lo stesso procedimento già visto per i momenti statici; si

considera un’area da suddividere in aree infinitesime (oppure una linea da suddividere in segmenti

così da ottenere le seguenti relazioni:

), = = =

Anche il raggio d’inerzia può essere calcolato in queste ipotesi:

ρ = =

∫ 26

Può essere utile notare che gli elementi infinitesimi non devono sempre essere infinitesimi in ogni

direzione:

 per è sufficiente che siano infinitesimi nella direzione per cui potrebbero essere delle strisce di

,

spessore infinitesimo, ma di lunghezza qualsiasi;

 per la dimensione importante è per cui le aree possono essere corone circolari di spessore

,

infinitesimo;

 per invece è importante che le aree siano infinitesime in entrambe le direzioni.

Assi principali d’inerzia

Per ogni punto del piano è possibile determinare un sistema di assi di riferimento ortogonali, tali che i

momenti d’inerzia risultino uno massimo ed uno minimo, mentre il momento centrifugo risulta nullo. Tali

assi si chiamano assi principali d’inerzia per il punto ed i due momenti rispetto a tali assi sono i momenti

principali d’inerzia.

Nelle applicazioni risultano di particolare importanza gli assi principali baricentrici, cioè aventi ≡ .

Se un sistema di masse o un sistema continuo ha un’asse di simmetria retta allora questo è un asse

principale d’inerzia baricentrico. Se ne ha due allora questi saranno gli assi principali d’inerzia baricentrica.

Teorema di trasposizione per il momento d’inerzia assiale

Sia la retta baricentrica, una retta a lei parallela, la distanza di della retta secondo la direzione

Per ogni massa si ha quindi che e quindi:

. = +

,

= = + = + 2 +

, ,

,

Sappiamo inoltre che quindi:

∑ = 0,

, = +

,

Questa equazione esprime il teorema della trasposizione: il momento d’inerzia rispetto ad un’asse è

uguale a quello rispetto all’asse baricentrico e parallelo più la massa totale moltiplicata per il quadrato

della distanza tra i due assi.

Si noti inoltre come, dato che l’aggiunta è sempre positiva, la retta baricentrica è quella ad avere il

momento d’inerzia minimo rispetto a tutte quelle parallele.

Trazione

Esistono organi di macchine e componenti di strutture caratterizzati dalla presenza della sola forza assiale

(bulloni, bielle, tiranti…), che possono quindi essere schematizzati con travi (solidi ad asse rettilineo,

spesso a sezione costante e con una dimensione prevalente sulle altre due).

Prendiamo ora come schematizzazione un solido a cui è

applicata solo una forza normale e lo suddividiamo in due

tronchi: perché questi possano rimanere in equilibrio è

necessario che si trasmetta tra i due tronchi una forza pari ad

Questo avviene con la collaborazione di tutti i punti del

.

piano, sui quali agisce una forza per unità di area che è

σ

uguale in ogni punto ed ortogonale alla superficie.

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La risultante di questa distribuzione uniforme sarà proprio :

σ =

Essendo costante si ottiene:

σ = σ ⋅ .

Alla base della costanza di vi è la conservazione delle sezioni piane: sezioni rette inizialmente piane

σ

rimangono tali anche dopo l’appl