Appunti di Fisica tecnica - Parte 1

L

3 Somma di tutti i lavori scambiati con l’esterno.

& 4 Questa è una trasformazione ciclica (non reversibile).

6 5 v

Un sistema aperto non dipende fondamentalmente dal tempo.

Un sistema chiuso dipende dal tempo. i (Qi - A Li) = 0

iQi -

iQi = A i Li A Li= 0 a

&

P δQ (δQ - AδL) = 0

S Integrale chiuso di una certa quantità ridà sempre zero.

S dE = 0

δL E = E (P,v,T)

E = E (T,P)

v

P δE = E2 - E1

92

2 S

a 9

.

c δQ - A δL = 0

δQ - A δL +

a .

b ga

dΕ = E2 - E1 = 0

c b S 1

δQ - A δL + δQ - A δL = 0

c

1 . .

1

- v

g a.

δQ - A δL = E2 - E1 du = energia interna del sistema.

Differenziale esatto dE

Senza il pallino sarà: δQ - A δL = du per unità di massa.

A

Se partiamo da questa δQ - A δL = du e la dividiamo tutta per A otterrò dQ - dL = du ovvero

D

il 1° principio della termodinamica.

Trasformazione adiabatica:

Ritorniamo a parlare di gas perfetti, ci mettiamo nel solito sistema chiuso (cilindro con stantuffo)

e trasformazione ideale. Visto che che parliamo di gas perfetto riportiamo come lo descriviamo:

P v = R T (1ª firma).

u = u (T); u è in funzione del tempo (2ª firma).

du = (du/dT) dT Dire che u = u (T) è uguale a dire che du = cv (T) dT.

&

Per fare i conti imponiamo che questa quantità sia uguale a cv ( calore specifico a volume costante).

Possiamo scrivere il 1º principio per il gas perfetto in modo diverso. Partiamo da δQ - δL = du per i

sistemi chiusi, poi applichiamo l’ipotesi di gas perfetto e diventa δQ - δL = cv dT, poi aggiungiamo

l’ipotesi di trasformazione ideale e otteniamo δQ - P dv = cv dT.

u u + P v = h entalpia.

h = u + R T

dh = du + R1 T = cv dT + R1 T = (cv+R1) dT = cp dT.

& * D

*

Anche h è in funzione soltanto della T.

Verifichiamo la trasformazione in un altro modo partendo da δQ - P dv = cv dT con l’equazione di

stato P v = R1 T P dv + v dP = R1 dT P dv = - v dP + R1 dT e avremo alla fine (sostituendolo

&

·

- a D

⑤

&

I

dal principio): 1) δQ + v dP = cp dT δQ = cp dT - v dP.

g

A

δQ + v dP - R1 dT = Cv dT

8

D 2) δQ - P dv = cv dT δQ = cv dT + P dv.

R1 = Cp - Cv > 0

K = cp/cv > 1

Per una trasformazione adiabatica (δQ = 0)

cp dT = v dP

a n

cv dT = - P dv

& O

Queste due equazioni contengono dT, possiamo ricavare dT da una ed inserirla nell’altra oppure

possiamo dividere membro a membro le due equazioni.

cp/cv = - v/dv dP/P ma cp/cv = K quindi K = - v/dv dP/P dP/P = - K dv/v.

Noi sappiamo che l’integrale di dx/x = ln x

Ln P = - K ln v + c

Ln P + ln v = c

c

ln P v

e = e

P v = c Questa equazione mi permette di disegnare la trasformazione adiabatica con K > 1.

K

.

P Un’equazione di tipo isotermo da luogo a P = c/v.

Nel caso di P v = c questo mi darà una funzione del tipo P = c/v

Isoterma 1,4 per l’aria.

v

y Iperbole di tipo y = 1 mentre y = 1 passerà sempre per un uno però il

resto cambierà.

Diabetica reversibile risulta simile qualitativamente all’isoterma, un po’

1 più inclinata.

T Iperbole

x

1

u2 - u1 = cv (T2-T1) u - u = cv (T - 0)

u = cv T

u = cv T

h = cp T Energia interna dei gas perfetti.

Kj

a Kg Lunedì 3 Ottobre

In passato si facevano degli esperimenti di questo genere: prendevano una scatola con all’interno un

gas, inserivano un termometro per misurare la T ed infine posizionavano sotto alla scatola un fornello.

In conclusione facevano il rapporto Qif = Cv (capacità termica).

ΔT

Dividendo tutto per la massa: M Qif = M cv. Calore specifico

ΔT

Se prendo il primo principio e mi metto nelle condizioni di v = costante e quindi L = 0 allora δQ = du.

Nel caso di una isocora:

P 2 P v* = R1 T

.

5

δQ = du = cv dT

Er

Q12 = u2 - u1 = cv (T2-T1)

1 L12 = 0

v

v*

Nel caso di una isobara:

P P*v = R1 T

A

δL = P* dv

&

L12 = P* (v2-v1) = R1 (T2-T1)

1 2

P* S

A

Q12 ?

δQ - δL = du Q12 - L12 = u2 - u1

Q12 = R1 (T2-T1) + cv (T2-T1) = cp (T2-T1).

v 2 S

&

Nel caso di una isoterma:

P 1

I

P v = R1 T* 0

Q12 - L12 = u2 - u1

L12 = R1 T* ln v2/v1

2 Q12 = cv (T2-T1) + R1 T ln v2/v1 Q12 = L12

v Sono uguali perché T*

Nel caso di una adiabatica:

P P v = cost P v = R1 T

P1 v1 = P2 v2

1

P1 -

* &

P = R1 T/v T v = cost

R1 T/v v = cost

*

I * 8

v = R1 T/ P P (R1 T/P) = cost P T = cost P T = cost

2 -

.

P2 & & &

- v

v

v 2

δQ - δL = du

δL = - du

L12 = - cv (T2-T1) g :

9

9

δL = P dv devo integrare L12 = P dv = c/v dv = c v dv = c/1-k v = c/1-k (v2 -v1 ).

. .

& .

Consideriamo un contenitore con con all’interno

due gas separati, se togliamo ciò che li divide

avremo una diffusione del verde nel blu sino ad B ~

V B V

ottenere un gas uniforme. Tutte le volte che ho u

all’interno di un sistema una condizione di non

equilibrio ho una naturale tendenza al ristabilirsi

di questo equilibrio.

Possiamo pensare a un impianto motore a vapore dove abbiamo una calderina (come uno scaldabagno)

dove facciamo circolare l’acqua, quest’acqua entrando nella calderina si trasformerà in vapore ad alta

temperatura e ad alta pressione, dopo di che mettiamo tra la parte di alta pressione e di bassa

pressione una turbina che ci fornirà lavoro che potremo sfruttare ad esempio per fare energia elettrica

o altro.

↑ H

Ü ΔT

Qh

888 v

& L

A Fiume Qc ΔT

C

Abbiamo visto che da un ciclo fatto da tante trasformazioni ottenevamo l’enunciato di Clausius:

P du = δQ - δL Qj

Qj Qj < 0

= A j

Energia interna Tj

-

Lj

2 b

1 3 (Qj - Lj) = 0

0 4 Questo vuol dire che dQ/T è

6 Ideale

5 S un differenziale esatto S (δQ/T + δσ) = 0

δQ/T < 0

v associato ad una funzione di > 0

stato che ancora non conosco.

Seconda legge della termodinamica (Entropia): ds > 0 perciò l’entropia

ds = δQ/T + δσ aumenta sempre.

> 0 Giovedì 6 ottobre

Cicli termodinamici e macchine termiche:

La seconda legge ci ha fatto scrivere che non

H è possibile avere una macchina di questo tipo:

Se entra > 0

Qh

& L > 0 Q

Se esce < 0

Qc L

8

C

Andiamo a vedere un attimo meglio come riusciamo a definire questo rendimento.

Il primo principio ci dice che in un ciclo qualsiasi la somma dei calori è uguale alla somma dei lavori:

δQ =

SS δL

A regime cioè quando ciò che entra è uguale a ciò che esce abbiamo:

ga

(δQ-δL) = 0

δQ = δQ - δL = du

SS S δQ - δL = u2 - u1.

δL Quello che vogliamo

Utile > 0

Q = L Qh + Qc = L

Perduto < 0

Speso > 0

Frazione utilizzata per il rendimento: η < 1 anche nel caso di cicli

η = 1 + Qc/Qh < 1

η = utile/speso = L/Qh ma il L = Qh + Qc completamente ideali δQ/T = 0

S

< 0 > 0

Serve per sapere se la macchina

funziona ed è fatta bene o male.

Non potremo mai arrivare a η = 1. Non è un problema tecnico o di tecnologia. Vedremo che per

un ciclo ideale la sua funzione utilizzata sarà sempre η << 1. Con ηο = ηο (Tmin,Tmax) o meglio

ηο = ηο (Τmin/Tmax) ovvero la frazione utilizzata per i cicli ideali. Ci sarebbe anche

n

T il termine δσ ma

η = 1 + Qc/Qh

Qh lo usiamo quando

Th Io so che per i cicli ideali δQ/T = ds e quindi δQ = T ds.

B la trasformazione

A s

Tc T

~ è reale.

B

Qc E g

s A G Qab = T ds

S

ga

η = 1 + Qc/Qh = 1 + T ds/ T ds s

fBg

η = 1 - T ds/ Tds

y T .

Th = 1/(sb-sa) T(s) ds

I I

y = 1/(xb-xa) f(x) dx B

A

f(x) Tc = 1/(sb-sa) T(s) ds

a I η = 1 - (sb-sa) Tc/(sb-sa) Th

s

x a n

xa xb η = 1 - Tc/Th

Dato un qualsiasi ciclo reversibile

Questa è più

η = L/Qh evidente dal È importante in relazione alla forma del ciclo

punto di vista

degli scambi

Ci chiediamo quale sia il ciclo migliore tra questi. η = 1 - Tc/Th = Th - Tc/ Th = ΔΤ/Th

T Miglioramento

2 Se guardo i cicli 1 e 2 posso immaginare

che tra cicli identici disposti a una quota

5

4 diversa rispetto all’asse delle temperature

1 3 andrò a preferire quello che ha la Th più

Miglioramento s bassa, di conseguenza il ciclo 1 funzionerà

meglio del numero 2.

La tendenza di deformare un ciclo per

migliorare è sia muoversi verso l’alto ma Se guardo i cicli 1 e 3 che sono più o meno alla

anche deformarlo nel senso opposto (nel stessa quota di temperatura ne potrei ad occhio

senso delle temperature). dedurre che più o meno hanno lo stesso

rendimento, la differenza sarà nella potenza per

unità di portata. A parità di portata il numero 3

Guardando Tc/Th posso dire avrà una potenza maggiore perché ha un’area di

quale sarà il ciclo migliore ? ciclo maggiore.

Posso fare due ragionamenti.

1) Aumento Th massima calda del ciclo e diminuisco la Tc minima fredda.

Cerco di fare sempre questo lavoro. Mi muovo in questo senso in modo

T da ottenere una temperatura

sempre più alta (quella calda) e

sempre più piccola (quella fredda),

questo ragionando in termini di

termini di temperature massime.

s

2) Se fermo la T massima posso ragionare sulla forma del ciclo.

Qh

T Ho due vincoli: la Tmax e la Tmin. Cercherò di fare un ciclo

Tmax Tmax

Th che sfrutta il mio range di temperature, ma posso fare di

F più, la posso deformare affinché la Th e la Tc vadano il più

possibile vicino alle mie T limite che sono la Tmax e la Tmin.

Tc

Tmin Tmin In pratica rettangolarizzo il mio ciclo fino ad ottenere un

s ciclo rettangolare dove il calore viene scambiato soltanto

Qc nella parte isoterma e ceduto nella parte isoterma inferiore.

.

Prende il nome di ciclo di carnout.

Ciclo di Carnout: Ipotesi di gas

perfetto. T