Appunti di Fisica t-a

WMMMITË EE Brasile

DA MIEI

G

PIANNDEREZZIBI

METISSENETA

:= studio dei fenomeni naturali

Fisica

E' una scienza sperimentale (non descrittiva) poich• bisogna effettuare un confronto con la realtˆ tramite la

misura.

un

METODO SCIENTIFICO

1. Osservo un fenomeno

2. Formulo un' ipotesi che spieghi cause, evoluzione e sviluppo del fenomeno

3. Traduco in termini quantitativi (matematici) la mia ipotesi, individuando le grandezze fisiche rilevanti e le loro

relazioni funzionali

4. Organizzo un esperimento che mi permetta di raccogliere dati sperimentali e di misurare in maniera diretta

o indiretta le grandezze fisiche rilevanti

5. Valuto i risultati dell'esperimento rispetto alla mia ipotesi

NOTA una teoria scientifica non • per sempre; • valida fino a prova contraria

³ ha solo apparenza scientifica, non • verificabile

Pseudo-scienza:=

GRANDEZZA FISICA E MISURA

proprietˆ utile a descrivere un fenomeno che pu˜ essere misurata

Grandezza fisica:=

NOTA tutto ci˜ che non • misurabile non • oggetto della fisica-scienza

³

La definizione di grandezza fisica implica una. . .

. . . processo mediante il quale si assegna un valore numerico o una grandezza fisica utilizzando

MISURA:= un unitˆ di riferimento ( UNITA' DI MISURA)

per

confronto to

A ogni misura • associato un errore.

negli esercizi considereremo dati numerici privi di errore ma nella vita reale non • mai cos“

L risultato di un'operazione di misura

se DI

UNITË MISURA

PARTE arbitraria

scelta

NUMERICA

SISTEMI DI UNITA' DI MISURA

insieme (minimo) di grandezze fondamentali associate alle loro unitˆ di misura.

Partendo da queste e dalle relazioni matematiche note tra le grandezze, si

b

individuano le unitˆ di misura derivate per tutte le altre grandezze

ALCUNE NOTE EXTRA 1

per passare da gradi a radianti: 9

ar

¥ vad

analisi dimensionale i 2 membri di un' equazione devono essere omogenei in termini di unitˆ di misura

ó

¥ MISURA in fisica confronto tra una grandezza fisica e una grandezza omogenea presa come riferimento

ó

¥ cifre significative L=2,52 m ; 3 cifre significative

ó

¥ errori

¥ ◦

sistematici: legati alla strumentazione, alla metodologia di misura. Influenzano accuratezza misura

◦

statistici: casuali, legati a molti fattori. Influenzano precisione misura.

IIIDAIb

LA

b E ITA

Ii

Ce WEE

Tam Ben

:= grandezze che richiedono la definizione di un'unitˆ di misura e di un numero reale che ne

Grandezze scalari es. tempo, temperatura, massa, . . .

definisce il modulo (o l' intensitˆ)

:= grandezze che per essere definite richiedono pi• parametri modulo, direzione, verso +

Grandezze vettoriali ³

unitˆ di misura es. spostamento, velocitˆ, forza, . . .

VETTORE E SUE PROPRIETA'

ente matematico/elemento di una struttura algebrica detta "spazio vettoriale"

Vettore:=

Pu˜ essere assimilato a un SEGMENTO ORIENTATO e lo indico come:

POI_é

Pigi

Caffficazione

indica il suo modulo (= lunghezza= distanza tra O e P)

la l

a

a la direzione • quella di una qualunque retta parallela alla retta cui appartiene il segmento

¥ il verso • indicato dalla punta della freccia

¥

NOTA VETTORE LIBERO VETTORE APPLICATO = vettore libero + pto di applicazione

³ b es

di

es ampie

spostam forza

Vettori uguali/opposti

Due vettori sono uguali se hanno stesso modulo, direzione e verso

Qualora due (o pi• vettori) non siano uguali NON E' POSSIBILE stabile

una RELAZIONE D'ORDINE. Il vettore nullo ha modulo nullo,

Vettori opposti direzione verso indeterminati.

µ

OPERAZIONI TRA VETTORI

Somma tra due vettori Differenza tra due vettori

Valgono: ˆ

Moltiplicazione di un vettore per uno scalare

La direzione • la stessa;

il verso • determinato dal segno dello scalare;

il modulo • pari alla lunghezza del vettore iniziale per lo scalare.

Prodotto scalare tra due vettori Dati due vettori a e b, si definisce prodotto scalare il

prodotto tra il modulo di a e il modulo di b per il coseno

dell'angolo fra i due

0 é sia la proiezione di a lungo la direzione di b che viceversa

OSS VAIANO

TEME

Prodotto vettoriale

Il modulo • quello in formula;

la direzione • quella della perpendicolare individuata dal piano tra i due vettori a e b;

il verso • definito dalla regola della mano destra

Valgono:

VERSORE vettore di modulo unitario e adimensionale

Versore:=

Indica una direzione e un verso. HELEN il

suo

e

vertere

a

QUADRATO E MODULO DI UN VETTORE

quadrato = prodotto scalare del vettore per s• stesso

¥ é

•

• d1

modulo

¥ Far

l_Vˆ é

la Ah

RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA DEI VETTORI

1. Si fissa una terna di assi orientati, fra loro perpendicolari (terna ortogonale di riferimento)

2. Si sceglie un sistema di coordinate tramite il quale si possono identificare univocamente i punti dello spazio

3. Si sceglie un base di versori su cui proiettare i vettori

Terna cartesiana ortogonale IL VERSO E' POSITIVO QUANDO L' ASSE X

IDENTIFICATO DA i SI SPOSTA IN VERSO ANTIORARIO

PER SOVRAPPORSI SULL' ASSE Y

a

avevano

Sistema di coordinate

E' un insieme ordinato di 3 numeri reali tramite i quali si pu˜ identificare univocamente un punto dello spazio 3-

dim.

Ci sono diversi sistemi, la scelta dipende dalla geometria del problema:

IIIIne

E

facoltativo

vedisciae approfondimento

OPERAZIONI TRA I VETTORI NELLA RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA

di vettore

Scomposizione un I Ehi p se

ai XY

piano

rappresentazione

B

•

Dati e

VERSORE IN COORDINATE CARTESIANE

Per definizione, dato il vettore a, il versore associato •

DERIVATA DI UN VETTORE perch• la base di versori • fissa nello

Et

o 0 spazio e nel tempo e quindi nella

III derivata non ho i, j, k divisi per il tempo

io

Regole - derivata di un vettore ti sino al

es cose

COSO f agit

44th

Derivata di un vettore di modulo costante

Il vettore derivata di un vettore di modulo costante gode di una proprietˆ molto importante:

• sempre perpendicolare al vettore considerato

lˆ cost

cita

DERIVATA DI UN VETTORE E FORMULA DI POISSON

lalia

red di

Poisson

tramite la derivata

di la un

formula versore

per

I IL.IE 09 in

se arena modo • a

la

costante venere

il

rimaniamo risultato considera

a

ottenuto derivata

giˆ

OPERATORE NABLA, GRADIENTE, DIVERGENZA E ROTORE IN COORDINATE CARTESIANE

notai Nel capitolo "energia e lavoro" troveremo tale relazione I

Friar Fide E Ee

Wires I

e

La funzione dentro l' integrale ammette la derivata, • un differenziale perfetto.

Si pu˜ scrivere utilizzando un operatore vettoriale oggetto matematico che compie delle operazioni sulla

³

funzione a cui • applicato e che si comporta in ogni caso come un vettore

in

particolare

Oggi vediamo l' operatore vettoriale NABLA • un vettore che fa la

E

E derivata parziale della

IE

1 funzione che mi interessa.

Poich• • un vettore vale il prodotto tra una funzione scalare e : l' energia potenziale • una funzione

scalare delle sole coordinate e quindi ho

richiamo

Campo scalare: funzione delle

coordinate definita in ogni punto OU

Vi MA i OV'quiz

dello spazio; la variazione totale OV'gyzliggitˆtiti

di questo campo scalare sarˆ la

somma delle 3 variazioni p

Se prendessi la definizione di lavoro infinitesimo e esprimessi sia F che dr in

notazione cartesiana avrei:

E di

d Fede

We Fede

Fudy

e quindi se la funzione F • conservativa, vuol dire che posso scrivere il lavoro infinitesimo come la variazione

infinitesima di W

We

Quindi OV

poiche

a

a a m EE cnn.IE

t.IE

aw

Quindi Fzaz

detto Fax

avevamo

ipciare Fudy

V OV

Miz Z

Fx taxiyz Ey FƒVANT

Analogamente é

NO NABLA

L'OPERATORE

Fa era

_orgy 95 Yatiina

II

Fa _0121 e

NIIA si pu˜ moltiplicare nabla anche per una funzione vettoriale si fa o il prodotto scalare o il prodotto vettoriale

NOTA ó ³

Ë •

Axit Az

a Au

5

x funz vettoriale

y

é Li nota i P Ero

Liti

Azi

éË • alieni

i 5

a Au5 E

fi a

p

di é

II FIéE

E Eaa

di

ca

di

scrivere

modo senza

Sfruttando il teorema di Schwartz si dimostra che il rotore di

un gradiente • sempre nullo

é

é

det é mi no

no

gente

e

nere

EDNEEMMANTI A IDEEL MIKATTERIEMEILLEE

EUWWNTIDA

INTRODUZIONE

La meccanica riguarda lo studio del moto di un corpo: essa spiega la relazione che esiste tra le cause che

generano il moto e le caratteristiche di questo.

Si inizia lo studio del moto dal pi• semplice corpo, quello puntiforme, detto si tratta di un

punto materiale:=

corpo privo di dimensioni, ovvero che presenti dimensioni trascurabili rispetto a quelle dello spazio in cui pu˜ muoversi

o degli altri corpi con cui pu˜ interagire.

Diamo la definizione di come parte della meccanica. che studia il moto di un corpo

cinematica

indipendentemente dalle cause che lo determinano mentre di come parte della meccanica che

dinamica

studia il perch• del moto.

Noi cominceremo il nostro studio della meccanica dalla cinematica del punto proseguendo con la dinamica

del punto e poi con la dinamica dei sistemi di punti (oggetti estesi, corpi rigidi, . . . )

INGREDIENTI

Il moto di un punto materiale • determinato se • nota la sua posizione in funzione del tempo in un

¥

a sistema di riferimento (ossia ad esempio le sue coordinate x(t), y(t), z(t) in un SdR cartesiano).

determinato

La scelta di questo costituisce il 1¡ degli ingredienti necessari per lo studio della cinematica del punto:

relativitˆ del moto i SdR sono fra loro equivalenti ; la scelta del SdR • arbitraria

³

¥ indispensabile per una descrizione quantitativa del moto definisce

sistema di coordinate ³ ó

¥ con quali coordinate si identifica la posizione del punto

per misurare le distanze tra punti

regoli ³

¥ per misurare gli intervalli di tempo

orologi ³

¥ osservatore

¥ grandezze fisiche opportune per la descrizione del moto

¥

NOTA: nella meccanica classica lo spazio e il tempo sono concetti assoluti,

cio• la distanza tra due punti dello spazio NON dipende dal SdR in cui viene misurata,

come pure l'intervallo di tempo tra due eventi.

Ma questo • vero solo se si considerano velocitˆ basse se confrontate con la

.

velocitˆ della luce

Si definisce traiettoria il luogo dei punti occupati successivamente dal punto in movimento e questa costituisce

una curva continua nello spazio.

Lo studio delle variazioni di posizione lungo la traiettoria nel tempo porterˆ a definire il concetto di velocitˆ,

.

mentre lo studio delle variazioni della velocitˆ con il tempo introdurrˆ la grandezza accelerazione

I

Le grandezze fisiche fondamentali in cinematica sono pertanto:

lo spazio la velocitˆ

¥ ¥

e

posizione spostamento l' accelerazione

il tempo ¥

¥

OSS. La • un particolare tipo di moto in cui le coordinate restano costanti e quindi velocitˆ e

quiete

³ accelerazione sono nulle.

Dobbiamo per˜ sottolineare che • necessario specificare sempre il sistema di riferimento rispetto a cui si

osserva il moto perch• in base a questo un punto in quiete pu˜ apparire in moto oppure no.

(es. volo di un uccello visto da una persona ferma o da un'altra persona in un'auto in movimento).

MOTO RETTILINEO (1-D)

Il primo moto che prendiamo in considerazione • quello rettilineo.

Esso si svolge lungo una retta sulla quale vengono fissati arbitrariamente un'origine e un verso: il moto del

punto • descrivibile tramite una sola funzione x(t) che esprime il variare della coordinata x in funzione del

t

tempo

Ponendo lungo la retta dei dispositivi che rilevino le coppie di valori x,t posso poi rappresentare le misure in un

sistema con due assi cartesiani che prende il nome di valori di x sull' asse delle ordinate

diagramma orario ó

e i corrispondenti valori di t sull' asse delle ascisse

es

SPOSTAMENTO

Stabilito un SdR e SdC (ad es. asse x lungo la direzione del moto con origine in un punto arbitrario O) si definisce

il cambiamento di posizione da un punto x1 a un punto x2

spostamento

VELOCITA' NEL MOTO RETTILINEO

Velocitˆ media

Se al tempo t=t1 il punto si trova nella posizione x=x2 e al tempo t=t2 nella posizione x=x2, = x2 - x1

&x

rappresenta lo spazio percorso nell'intervallo di tempo = t2 - t1.

&t

Possiamo caratterizzare la rapiditˆ con cui avviene lo spostamento tramite la velocitˆ media

• sempre positivo, quindi il segno della velocitˆ • lo stesso di

&t &x

µm

interpretazione grafica

NOTA

Al fine di individuare la funzione x(t) si aumenta il numero di misure nell' intervallo di spazio lo si divide cio• in

&x,

numerosi piccoli intervalli (&x) , (&x) , . . ., (&x) percorsi negli intervalli di tempo (&t) , (&t) , . . ., (&t)

1 2 n 1 2 n

Le corrispondenti velocitˆ medie non saranno eguali tra loro e a Vm in un generico moto rettilineo la

ó

velocitˆ non • costante nel tempo.

Velocitˆ istantanea

Il processo enunciato nella nota sopra pu˜ essere continuato fino a che risulta suddiviso in un numero

&x

elevatissimo di intervallini dx, ciascuno percorso nel tempo dt il metodo descritto consiste

ó

matematicamente nel calcolare il limite per 0 del rapporto

&t ³ &x/&t

Pertanto si pu˜ definire la ad un istante t del punto in movimento come

velocitˆ istantanea

VIN LI

EI

Rappresenta la rapiditˆ di variazione temporale della posizione nell' istante t considerato.

interpretazione grafica

La velocitˆ istantanea • la tangente dell'angolo che la retta tangente a x(t) forma con l'asse t

nell'istante t, cio• la pendenza della retta tangente in t

NOTE

Il segno della velocitˆ indica il verso del moto sull' asse x:

- se v > 0 la coordinata x cresce

- se v < O il moto avviene nel verso opposto

La velocitˆ pu˜ essere funzione del tempo v(t)

Nel caso poi in cui v = costante si parla di (vediamo dopo)

moto rettilineo uniforme

PROBLEMA DIRETTO DELLA CINEMATICA

I ut

1 E 3

HI

DIMENSIONALE

ANALISI

2

A 4

EHI_3 ETHEL

I ITL

13

alti Gt

draft Eri

hanno dimensione

PROBLEMA INVERSO DELLA CINEMATICA

Noto v(t) , ricavare la funzione x(t)

Supponiamo che il punto materiale si trovi nella posizione x al tempo t e nella posizione x+dx

al tempo t+dt :

Lo spostamento complessivo sulla retta su cui si muove il punto, in un intervallo finito di tempo = t - t0, •

&t

dato dalla somma di tutti i successivi valori dx.

Per fare il calcolo integro

f.de

ox Evitiat f at

xo

Questa • la relazione generale che permette il calcolo dello spazio percorso nel moto rettilineo, qualunque

sia il tipo di moto.

Il termine x0 rappresenta la posizione iniziale del punto occupata nell' istante iniziale t0.

ACCELERAZIONE NEL MOTO RETTILINEO

Abbiamo detto che nel caso pi• generale di moto rettilineo la velocitˆ • funzione del tempo v(t).

Se in un determinato intervallo di tempo essa varia di una quantitˆ possiamo definire la grandezza

&t &v,

come

accelerazione media

Con un procedimento analogo a quello usato per passare dal concetto di velocitˆ media a quello di velocitˆ

istantanea definiamo l' cio• la

accelerazione istantanea,

rapiditˆ di variazione temporale della velocitˆ, come

4

a é

interpretazione grafica dammi a

NOTE

Se a = 0 la velocitˆ • costante (moto rettilineo uniforme);

quando a • positiva la velocitˆ cresce nel tempo mentre per a < 0 la velocitˆ decresce.

Si faccia attenzione che • il segno algebrico della velocitˆ istantanea e non quello dell'accelerazione a

fornire il verso del moto.

MOTI RETTILINEI NOTEVOLI

Moto rettilineo uniforme •

velocitˆ istantanea nel

La cos“ tempo

viti_Vo cio• diventa

velocitˆ mi

considerando

Riprendo e costante

It Volt

dt

Xo to

Xo DEL

Vo LEGGE ORARIA MOTO

to

CASO O

Io

A Vot

Nel moto rettilineo uniforme lo spazio • una funzione lineare del tempo : la velocitˆ istantanea coincide

con quella media.

Moto rettilineo uniformemente accelerato

Il moto rettilineo pi• generale • vario, ossia l' accelerazione non • costante.

Qual' ora per˜ questa sia costante, il moto si dice uniformemente accelerato e si evidenzia una dipendenza

della velocitˆ dal tempo di tipo lineare (retta nel grafico velocitˆ-tempo)

cost

a scrivo ao Es fa.at

a.at du

dv

ao I

v7 a

art

1 to

Viti Vo

l Votaot

Vit

to

caso o

l'ultima A

Usando calcola

trovata si la

e

relazione posizione

t dt

1H Vot to

ao

o toldt

It ffvotaort

xo f.aot.at

f.voattfa.tat

t t 90 autort

Vo to

E

E

t t.lt Ciotat auto

Vo Lauti

Idota_

Volt to tatto att

100

t.lt to

Volt facit it t

t to

2 Vo to

Xo 190 DEL

LEGGE ORARIA MOTO

Le equazioni (1) e (2) sono le leggi fondamentali del moto rettilineo uniformemente accelerato

Nel moto rettilineo uniformemente accelerato la velocitˆ • una funzione lineare del tempo mentre lo spazio

• una funzione quadratica del tempo. RECAP I'III

m.ro ut

Ht he art

not

t.ua

m Vot

A foot

o

Esempio di moto 1dim uniformemente accelerato:

Punto materiale in prossimitˆ della superficie terrestre

Tutti i punti materiali in prossimitˆ della superficie terrestre sono soggetti ad una accelerazione approx

costante, di modulo g= 9.81 m/s^2 , diretta verso il centro della terra.

Un punto materiale lasciato cadere, da fermo, da una certa altezza h0 segue le leggi del moto rettilineo

uniformemente accelerato con accelerazione di modulo costante g= 9.81 m/s^2 (trascurando la resistenza

dell'aria), unidimensionale.

1

IN

FINE D

MOTO

VARIABILI CINEMATICHE NEL MOTO IN 2-3 DIMENSIONI (NOTAZIONE INTRINSECA)

In generale il moto NON si svolge in una sola dimensione, dunque la descrizione del moto richiede delle

grandezze VETTORIALI.

Vettore posizione

Identifica la posizione di un punto nello spazio, rispetto al sdr.

Nel sdr in coordinate cartesiane attraverso il vettore posizione r1

possiamo identificare la posizione P1 del punto materiale all' istante t1.

Dopo un certo il punto si troverˆ in P2.

&t

Lo spostamento che ha fatto il punto • dato dall' espressione:

IEnI

LI.FI nervano

temporanea

EEEE

Unitˆ di misura nel SI ³ traiettoria

• alla

L secante

metro m

Velocitˆ media __

O

Velocitˆ istantanea

Anche nell' ambito 2-3D rimpicciolendo sempre di pi• il nostro vettore spostamento diventa sempre pi•

&t &r

piccolo e va a intercettare la traiettoria solo in un punto perchŽ P1 e P2 diventano talmente vicini da

coincidere ; dunque non • piu secante alla traiettoria ma diventa tangente

quindi poi diventa dr

&r

Inoltre, l' arco di traiettoria tende a coincidere con In breve:

&s &r. di puntomateriale

un

00

Accelerazione

Anche nel caso 3dim si ripetono le stesse considerazioni fatte per il caso 1dim.

L'accelerazione media/istantanea • la variazione media / istantanea della velocitˆ MA questa volta

consideriamo anche la variazione di DIREZIONE e non solo la variazione in MODULO e VERSO della velocitˆ.

am

Ma se prendiamo un intervallo di tempo sempre pi• piccolo, cio• facciamo di nuovo

tendere a 0,

&t &t

otteniamo una grandezza istantanea, cio• la derivata della velocitˆ nel

l'accelerazione istantanea,

punto considerato.

La velocitˆ segue l' evoluzione della traiettoria, quindi cambia non solo in modulo ma anche in direzione e

verso; di conseguenza devo descrivere quanto rapidamente ruoti oltre che alla variazione del modulo (unica

caratteristica che bisognava descrivere in moto 1-D).

E' utile allora, per figurare e descrivere come si evolve il moto, scomporre il vettore accelerazione lungo la

direzione parallela e perpendicolare alla velocitˆ (ricordando che la velocitˆ • SEMPRE tangente alla traiettoria

:

questo equivale a scomporre l'accelerazione lungo le direzioni parallela e perpendicolare alla traiettoria)

é

é

é I

a

vediamo ci arriviamo

come ii

iei.it

é é ritg TRIéITORIA

retponsabile

la retonsabile

cost e quindi

ceramica

en

IEE.tt 4

Esiste un teorema che dice che "ogni curva pu˜ essere approssimata in un intorno di un punto da un cerchio il

ó

cosidetto CERCHIO OSCULATORE"

é•atore

cento

dei il

•

il di che in

stiamo

RAGGIO

raggio considerando

Traiettoria quelp

CURVATURA

DELLA

055

Per _• zero

PIH CO TRAIETTORIA RETTILINEA pit

SE

SU

Per TRAIETTORIA

O STESSA

MOLTO

pA CURVATA eh

VARIABILI CINEMATICHE (NOTAZIONE CARTESIANA)

Vettore posizione

Velocitˆ e accelerazione He

che in 1 era

quella

ora

Da notare:

in un sistema di coordinate cartesiane, studiare il moto in 3dim equivale a considerare 3 moti ,