Appunti di Fisica

Il momento torcente e l'accelerazione angolare

L'estremo superiore del filo è soggetto a due forze: la forza gravitazionale e la tensione nel filo. Possiamo scomporre queste forze nelle componenti radiale e tangenziale. La componente tangenziale agisce sempre in senso opposto allo spostamento della particella, riportandola verso la posizione di riposo centrale.

Il momento torcente, indicato con τ, è espresso da τ = -L F sinθ. Il segno meno indica che agisce in direzione opposta allo spostamento. L è il braccio rispetto al perno della componente tangenziale di F.

Sostituendo gF = mgl nell'espressione precedente e ponendo α come accelerazione angolare, otteniamo -L(mgsinθ) = Iα. Qui, I rappresenta il momento d'inerzia.

Assumendo che l'angolo sia molto piccolo, in modo che il valore del seno sia praticamente uguale al valore dell'angolo in radianti possiamo semplificare e otteniamo mgLα = − θ. Identifichiamo inoltre la pulsazione del pendolo come la radice quadrata delle costanti che moltiplicano lo spostamento mgLω = √. Il periodo del pendolo risulta T = 2π. La massa in un pendolo è concentrata nel corpo puntiforme, mgL LL T = 2π, che si trova a distanza dal perno, possiamo semplificare e resta perché tramite l'equazione g2I = mr troviamo il momento d'inerzia rispetto al perno. Il pendolo reale La maggior parte dei pendoli realmente esistenti possono presentare una distribuzione della massa ben diversa da quella del pendolo semplice. Consideriamo un generico pendolo reale spostato di un angolo θ da una parte. La forza di gravità agisce sul suo centro di massa a distanza dal perno di rotazione O. Una differenza.sostanziale differenza tra il pendolo reale e quello semplice: nel primo la componente tangenziale della forza gravitazionale ha un braccio di lunghezza L, mentre nel secondo la lunghezza del filo è considerata in un punto del pendolo. Rimpiazzando con g, il periodo del pendolo reale risulta essere T = 2π√(L/g). Questo significa che il pendolo reale non riuscirà mai a completare un ciclo di oscillazione. Il punto lungo il pendolo reale che dista L dal centro di oscillazione è chiamato posizione 0. POSIZIONE, SPOSTAMENTO E VELOCITÀ MEDIA Posizione e spostamento Localizzare un oggetto significa trovare la sua posizione rispetto a un punto di riferimento, il quale molto spesso è l'origine (o il punto zero) verso positivo dell'asse. Il verso negativo è individuato nella direzione opposta ai numeri crescenti. È importante non omettere il segno -. Il cambiamento di posizione da un punto 1 a un punto 2 è chiamato spostamento Δx = x2 - x1. Il simbolo Δ rappresenta la differenza.variazione di valore di una grandezza e il valore iniziale di quella grandezza. grandezza vettoriale: va sottratto al valore finale. Lo spostamento è una ed è caratterizzato da una direzione, da un verso e dal suo modulo. yΔy (t+Δt) = y(t) - y(t+Δt) Δr = r(t+Δt) - r(t) = z(t+Δt) - z(t) Δx = x(t+Δt) - x(t) Ovvero: x(t) = x(t + Δt) y(t) = y(t + Δt) r ≡ z(t) = x(t) - y(t) Δr ≡ r(t + Δt) - r(t) = z(t + Δt) - z(t) VELOCITÀ MEDIA: VETTORIALE E SCALARE Δv̄ = Δr/Δt Il rapporto fra lo spostamento x che si verifica in un intervallo di tempo t è detto velocità media v̄. Un'unità di misura comunemente utilizzata per definire v̄ è il metro al secondo (m/s), possono essere utilizzate anche altre unità di misura in forma lunghezza/tempo. In un grafico di x in funzione di t, v̄ è la pendenza della retta che unisce due punti sulla curva x(t). Come lo spostamento, v̄ è una grandezza

Una velocità vettoriale è definita da modulo, direzione e verso. Il suo modulo è il valore assoluto della pendenza della retta. Una velocità vettoriale media positiva ci dice che la linea è inclinata e sale verso destra; una negativa corrisponde a una linea inclinata che sale verso sinistra.

La velocità vettoriale è associata alla variazione del vettore posizione r(t) nel tempo. Con l'espressione vettore velocità si intende la differenza tra le posizioni r(t + Δt) e r(t), divisa per l'intervallo di tempo Δt:

v = (r(t + Δt) - r(t)) / Δt

La velocità scalare media, invece, prende in considerazione la lunghezza totale effettivamente percorsa, indipendentemente dalla direzione. A differenza della velocità vettoriale media, il suo verso è associato alla differenza tra le coordinate x e y delle posizioni r(t + Δt) e r(t), e quindi manca di segno algebrico:

v = (x(t + Δt) - x(t)) / Δt

v = (y(t + Δt) - y(t)) / Δt

≡ = =
Δt Δt Δt vzz(t + Δt) − z(t) z(t + Δt) − z(t)Δt
VELOCITÀ ISTANTANEA: VETTORIALE E SCALARE
velocità vettoriale istantanea
La è la velocità di spostamento di una particella in un istante dato e
risponde alla domanda “a che velocità?”. Questa si ottiene dalla velocità vettoriale media,
Δrestingendo l’intervallo di tempo t in modo che si avvicini sempre di più allo zero.
x(t + Δt) − x(t) dx(t)lim = vx =Δt→ 0 Δt dt
Δ r r (t + Δt) − r (t) y(t + Δt) − y(t) dy(t)
v = lim = lim = lim = vy =Δt→ 0
Δt Δt Δt dt
Δt→ 0 Δt→ 0 z(t + Δt) − z(t) dz(t)lim = vz =Δt→ 0 Δt dt
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Lo spostamento di questo vettore è tangente alla traiettoria. La velocità istantanea è la tangente
che segue la curvatura del vettore con direzione

La tangente alla curva di e verso concorde adr .r (t) ≡ (x(t), y(t), z(t)) Leggi orarie. La velocità si definisce costante quando la derivata delle leggi orarie dà come risultato una costante. ACCELERAZIONE e moto rettilineo uniforme Quando la velocità di una particella varia, si dice che la particella è sottoposta a un'accelerazione. ACCELERAZIONE MEDIA Quando il vettore dipende dal tempo (t) e quindi non è più costante subentra il concetto di accelerazione media che tiene conto della rapidità con cui varia la velocità. v (r + Δt) - v (t) Δv a Essendo un vettore allora un vettore la a = Δt posso esplicitare nelle sue componenti cartesiane per vedere come varia la velocità rispetto alla terna di assi. L'unità di misura più comunemente usata dell'accelerazione è il metro al secondo quadrato (m/s^2). Anch'essa.È una grandezza quadrato: Δt Δt vettoriale e possiede un modulo, una vy(t + Δt) - vy(t) Δvya = ay = = direzione e un verso. L'accelerazione è Δt Δt positiva quando è diretta nel verso positivovz(t + Δt) - vz(t) Δvzaz = = dell'asse ed è negativa in senso opposto.Δt Δt Se i segni di velocità e accelerazione sono gli stessi, l'oggetto sta aumentando la sua velocità; se i segni sono opposti, l'oggetto sta rallentando.3 di 7ACCELERAZIONE ISTANTANEARiducendo i tempi di osservazione avviene il passaggio di accelerazione media istantanea. 2d x(t)d d dvx(t + Δt) - vx(t) ax = vx(t) = ( xt) =lim = axΔt→0 dt dt dt 2d tΔtv (t + Δt) - v (t) 2vy(t + Δt) - vy(t) d y(t)d d da = lim = ≡lim = ay ay = v y(t) = ( yt) =Δt→0Δt Δt dt dt dt 2d tΔt→0 vz(t + Δt) - vz(t) 2d

z(t)lim = az d d daz = vz(t) = ( zt) =Δt→0 Δt dt dt dt 2d t

Il modulo dell’accelerazione si ha con il teorema di Pitagora tra le componenti di essa:2 2 2a = a x + ay + az| | leggi

Partendo dall’accelerazione, conoscendo alcune condizioni iniziali, bisogna trovare leorarie per prevedere la traiettoria del punto materiale in ogni istante di t.è chiamato: moto rettilineo uniforme.

Un moto che si definisce con le leggi ordinarie costantix(t) vx(t) ax{d d ayy(t)r (t) ≡ v y(t)v (t) ≡ a ≡dt dt az(z(t) vz(t)vx(t) = ax Processo inverso della derivata INTEGRALE.dt xvx(t) t ∫ 1∫ ∫ xdx [x]dvx(t) = a xdt 1x 0xvx t =0 o0 0 t∫ tovx(t) vx(t) − vx = a x[t] = a x(t − 0)[vx(t)] = ax dt 0vx 0 t =00 vx(t) = v x + a xtvx(t) − v x = a xt 00 v y(t) = v y + ayt0vx(t) = v x + a xt legge oraria della velocità lungo x0 vz(t) = v z + azt04 di 7d x(t) x(t) t∫ ∫= vx(t) d x(t) = vx(t)dtintegrodt x t =00 0t t t∫

∫ ∫x(t)[x] = (v x + a xt)dt x(t) − x = v xdt + a xtdt0 00x 0 0 00 2t t t∫ ∫ t tx(t) − x = v x[t] + a x[ ]x(t) − x = v x dt + a x tdt 0 0 0 00 0 20 01 12x(t) − x = v x(t − 0) + a x(t − 0) 2x(t) − x = v xt + a xt0 0 2 0 0 2moto uniformemente accelerato

Equazione oraria del1 2 Se io conosco l’accelerazione, la velocità iniziale e lax(t) = x + v t + a xt0 0 2 sua posizione iniziale posso scrivere la sua legge oraria.12 2x(t) = x + v xt + a xt vx(t) = v x + a xto 0 0v y(t) = v y + ayt1 2y(t) = y + v yt + ayt 0o 0 2 vz(t) = v z + azt012 2z(t) = z + v zt + azto 0 Accelerazione nel moto di caduta liberaSe si potesse eliminare l’effetto dell’aria sul suo moto, si troverebbe che la sua accelerazione verso ilgbasso ha un valore ben definito, il cui modulo viene indicato con il simbolo , ed è chiamatagaccelerazione di gravità o di caduta libera. Il valore di varia leggermente con la latitudine e anche