Appunti di Elettrotecnica 1

V V

Tabella 11: Inserimento del voltmetro in un circuito

Come si può notare dal circuito con all’interno il voltmetro, la differenza

di potenziale viene misurata ”in parallelo” alla sezione del circuito in cui si

intende effettuare la misura. Il morsetto positivo del voltmetro (generalmente

indicato con il colore rosso) deve essere connesso al punto di potenziale mag-

giore. Il risultato visualizzato sarà positivo se il morsetto rosso è connesso al

punto di maggiore potenziale, negativo in caso contrario.

1 GRANDEZZE FONDAMENTALI 18

2. Modelli e leggi fondamentali dei circuiti

Se si dispone di un circuito di cui sono note sia le connessioni tra i vari

elementi (topologia) sia le proprietà dei componenti, il processo per calcolare

le correnti e le tensioni nel circuito è definito ”analisi del circuito”. Al

circuito fisico si sostituisce il suo equivalente schema elettrico, ossia ad ogni

componente reale si sostituisce il suo modello ideale. Per ogni componente

si indica una tensione ed una corrente. Un esempio è il seguente:

V V

R R

1 3

I I

1 3

R R

1 3

V R V

1 2 R 2

I

2

Figura 6: Schema elettrico con indicazioni di tensioni e correnti.

Le informazioni relative alla struttura del circuito (topologia) e alle pro-

prietà dei suoi componenti vengono sintetizzate in un sistema di equazioni,

chiamato modello circuitale, che permette di determinare le correnti e le

tensioni desiderate. Il modello circuitale è quindi un sistema di equazioni

generalmente composto da:

ˆ Leggi di Kirchhoff per le tensioni, che affermano che la somma algebrica

delle tensioni lungo una qualsiasi maglia chiusa è pari a zero;

ˆ Leggi di Kirchhoff per le correnti, che stabiliscono che la somma alge-

brica delle correnti in un nodo è pari a zero;

ˆ Relazioni caratteristiche, ossia legami tra tensioni e correnti dei com-

ponenti;

2 MODELLI E LEGGI FONDAMENTALI DEI CIRCUITI 19

Di particolare rilevanza sono anche i punti del circuito in cui vengono

congiunti due o più terminali. Tali punti del circuito prendono il nome di

”nodi del circuito”. Ad esempio, riprendendo il circuito precedente:

V V

R R

B

1 3

I I

1 3

A R R

1 3

V R V

1 2 R 2

I

2

C

Figura 7: Identificazione dei nodi di un circuito elettrico.

In questo circuito si hanno quindi tre nodi:

ˆ Al nodo A sono connessi i terminali del generatore di tensione V e del

resistore R ;

1

ˆ Al nodo B sono connessi i terminali del generatore di tensione V , del

resistore R , del resistore R e del resistore R ;

1 2 3

ˆ Al nodo C sono connessi i terminali del generatore di tensione V , del

resistore R e del resistore R .

2 3

È bene specificare che due o più nodi uniti da un conduttore di collega-

mento possono essere assimilati ad un unico nodo, ossia:

A B C

V 1

G D E F

Figura 8: Circuito con apparentemente sette nodi.

Apparentemente nel circuito sono presenti questi sette nodi. Tuttavia,

questi sette nodi sono solo apparenti, in quanto è convenzione assimilare due

o più nodi uniti da un conduttore di collegamento come un unico nodo. Di

conseguenza:

2 MODELLI E LEGGI FONDAMENTALI DEI CIRCUITI 20

A B C

V 1

G D E F

Figura 9: Circuito con in realtà solo due nodi.

Il circuito ha in realtà solo due nodi.

Si definisce ora la ”maglia di un circuito elettrico”. La ”maglia di

un circuito elettrico” è un percorso chiuso, che si svolge sui lati (i bipoli)

del circuito, avente inizio e termine nello stesso nodo ed in cui due e solo due

lati “incidono” in ciascun nodo. Graficamente:

V V

R R

B

1 3

I I

1 3

A R R

3

1

V R V

1 2 R 2

LKT LKT

1 2

I

2

C

Figura 10: Circuito elettrico con maglie fondamentali evidenziate.

Più precisamente, le maglie evidenziate sono dette maglie fondamenta-

li, in quanto non possono essere suddivise in maglie più piccole. Una maglia

che può essere suddivisa in maglie più piccole è semplicemente detta maglia

del circuito.

Riprendendo la definizione di legge di Kirchhoff alle tensioni (LKT),

ossia:

”La somma algebrica delle tensioni lungo una qualsiasi maglia chiusa è pari

a zero”,

è possibile scrivere una prima equazione. Si considera un senso di rotazio-

ne nella maglia, che può essere orario o antiorario, e si scrivono sommando

algebricamente le varie tensioni incontrate nel percorso.

2 MODELLI E LEGGI FONDAMENTALI DEI CIRCUITI 21

È convenzione porre: un simbolo + quando la freccia della tensione

−

viene incontrata dalla parte della punta ed un simbolo quando la freccia

della tensione viene incontrata dalla parte della coda.

Per i generatori di tensione, si prende come positivo il nodo da cui

esce la corrente e come negativo quello in cui la corrente è entrante. Il nodo

di partenza è completamente arbitrario.

Si prendano come esempio le LKT ed LKT dell’ultimo circuito (parten-

1 2

do per entrambe dal nodo C ):

( −V

LKT : + V + V = 0

1 1 R R

1 2

−V

LKT : + V = 0

2 R R

2 3

Riprendendo la definizione di legge di Kirchhoff alle correnti (LKC),

ossia: ”La somma algebrica delle correnti in un nodo è pari a zero”,

E’ possibile scrivere altre equazioni fondamentali. In particolare è pos-

sibile vedere la LKC in due modi del tutto equivalenti. Fissato in maniera

arbitraria il riferimento per la corrente su ogni bipolo, si considerano con il

−quelle

segno + le correnti entranti nel nodo e con il segno uscenti. Tuttavia

è del tutto equivalente considerare l’esatto opposto, ossia considerare con il

−

segno le correnti entranti nel nodo e con il segno +quelle uscenti. Le LKC

ai nodi B e C del circuito precedente sono:

( − −

LKC - B : I I I = 0

1 2 3

−I

LKC - C : + I + I = 0

1 2 3

In maniera del tutto equivalente è possibile uguagliare la somma delle cor-

renti entranti alla somma delle correnti uscenti. in questo modo, ad esempio,

−

la LKC B diventa: I = I + I

1 2 3

Da un punto di vista fisico, la LKC non è altro che l’applicazione di un

ben preciso principio della fisica, secondo il quale:

”La carica totale all’interno di una superficie chiusa è costante”.

Ne consegue che la quantità di carica entrante in una qualsiasi zona

dello spazio, come ad esempio un nodo di un circuito elettrico, deve ugua-

gliare quella uscente. La corrente elettrica non è altro che un insieme

2 MODELLI E LEGGI FONDAMENTALI DEI CIRCUITI 22

di cariche elettriche in movimento, quindi il principio di conservazione

della carica si applica anche alla corrente elettrica ed è la base delle LKC.

Le LKC e le LKT non dipendono dalla struttura interna dei componenti,

ma solo dal modo in cui essi sono collegati (topologia del circuito). Si tratta

di equazioni lineari, algebriche ed a coefficienti costanti.

Un’equazione di un sistema si dice indipendente quando non contiene

informazioni già contenute in altre equazioni del sistema. Ad esempio, il

sistema: ( − −

x x x = 0

1 4 2

−x + x = 0

3 5

è un sistema di equazioni indipendenti, in quanto le incognite di ogni

equazione appaiono solo ed esclusivamente in una equazione. L’equazione

che si ottiene dalla somma o dalla differenza delle due, ossia:

− − −

x x x + x x = 0

1 4 2 3 5

è un’equazione non indipendente. Un sistema è linearmente indipen-

dente se ogni equazione del sistema contiene una incognita in esclusiva. Tale

condizione è una condizione sufficiente.

Per quanto riguarda le LKC e le LKT, di LKC se ne possono scrivere

almeno tante quanti sono i nodi, mentre di LKT se ne possono scrivere

tante quante sono le maglie. Tuttavia, non tutte le LKC sono indipendenti.

Considerando ad esempio il seguente circuito:

V V

R R

B

1 3

I I

1 3

A R R

1 3

V R V

1 2 R 2

I

2

C

Le LKC ai nodi B e C, abbiamo:

( − −

LKC - B : I I I = 0

1 2 3

−I

LKC - C : + I + I = 0

1 2 3

2 MODELLI E LEGGI FONDAMENTALI DEI CIRCUITI 23

È chiaro che se la prima equazione viene considerata indipendente, la se-

conda risulta chiaramente non indipendente, essendo in particolare iden-

tica alla prima, a meno dei segni ai vari termini. Essa non fornisce alcuna

informazione aggiuntiva rispetto alla prima equazione. Il sistema delle due

equazioni risulta quindi linearmente dipendente.

Un altro esempio è il seguente:

V V

R R

1 3

I I

A

1 3 B

R R

1 3

V R V V

1 2 R R

2 4

J

I I

2 4

C

Effettuando le LKC ai tre nodi:

 − −

LKC - A : I I I = 0

1 2 3



 −

LKC - B : I + J I = 0

3 4

 −I −

LKC - C : + I J + I = 0

 1 2 4

La LKC al nodo C coincide con la somma cambiata di segno (combina-

zione lineare) delle LKC ai nodi 1 e 2. Essa è un’equazione dipendente in

quanto non fornisce alcuna informazione aggiuntiva. Il sistema di equazioni

si dice linearmente dipendente. Eliminando l’equazione al nodo C (o una

qualunque delle altre due) il sistema che si ottiene risulta linearmente indi-

pendente, in quanto nessuna equazione risulta combinazione lineare delle

altre equazioni. Ad esempio, cancellando l’equazione al nodo C:

( − −

LKC - A : I I I = 0

1 2 3

−

LKC - B : I + J I = 0

3 4

Ogni equazione contiene almeno una incognita in esclusiva.

L’esempio consente di esprimere il principio generale:

−

”In un circuito con N nodi si possono scrivere N 1 LKC indipendenti”.

In pratica, numerati i nodi da 1 a N si può eliminare l’equazione LKC

scritta per il nodo n-esimo.

2 MODELLI E LEGGI FONDAMENTALI DEI CIRCUITI 24

Anche per le LKT può capitare di scrivere sistemi di equazioni in cui tali

equazioni risultano non-indipendenti. Ad esempio:

V V

R R

1 3

I I

A

1 3 B

R R

1 3

LKT

2

V R V V

LKT

1 2 R R

1 2 4

J

I I

2 4

C

In questo caso: ( −V

LKT : + V + V = 0

1 1 R R

1 2

−V −

LKT : + V V = 0

2 R R J

2 3

Il termine V appare in entrambe le equazioni. Il sistema di equazioni

R 4

è quindi linearmente dipendente. È bene notare che una maglia si dice

indipendente se contiene un lato in esclusiva. Un insieme di maglie indi-

pendenti si chiama insieme fondamentale. Inoltre si definisce ”anello”