Appunti di Elementi di impianti e centrali elettriche (parte 2)

Come uso il metodo di NEWTON RAPHSON per un sistema di eq. non lineari?

v₁ = f₁(x₁, x₂, ..., x_m)v₂ = f₂(x₁, x₂, ..., x_m)...v_m = f_m(x₁, x₂, ..., x_m)

voglio trovare {ξ} = {ξ₁, ξ₂, ..., ξ_m} tali che f_i(ξ₁, ξ₂, ..) = ¯y_i

Applico Taylor prendendo una n-upla iniziale {x₁₀, x₂₀, ..., x_m0} a piacere (di solito metto E = E_m e Θ = 0 come valori iniziali)

f_i(x₁₀ + Δx*₁, ...) = y_i

f_i(x₁₀ + Δx*₁, ...)≈ f_i(x₁₀, ..., x_m0) + ∂f_i/∂x₁ ⋅ Δx*₁ + ∂f_i/∂x₂ ⋅ Δx*₂ + ... + ∂f_i/∂x_m ⋅ Δx*_m + R₁ (x₁₀, x₂₀, ..., x_m0)

lo trascrivo:

y_i = f_i(x₁₀, ..., x_m0) + ∂f_i/∂x₁ ⋅ Δx*₁ + ... + ∂f_i/∂x_m ⋅ Δx*_m

y_i - ¯f_i(x₁₀, ..., x_m0) = Σ_s=1^m ∂f_i/∂x_s Δx*_s (valutata con le conv. iniziali)

In forma matriciale:

| v₁ - ¯y₁₀ | | ∂f₁/∂x₁₀ ... ∂f₁/∂x_m0 | | Δx₁ || v₂ - ¯y₂₀ | = | ∂f₂/∂x₁₀ ... ∂f₂/∂x_m0 | ⋅ | Δx₂ || ... | | ... ... ... | | ... || v_m - ¯y_m0 | | ∂f_m/∂x₁₀ ... ∂f_m/∂x_m0 | | Δx_m |

m x 1 m x m m x 1

MAT. dei COEFFICIENTI del SISTEMA LINEARIZZATO (Jacobiano)

Dunque trovo Δx₁, ... Δx_m (Jacobiano)

X₄₁ = x₁₀ + Δx₁X₄₂ = x₂₀ + Δx₂

If |f_i(x_m, x₁₄, ...) - y_i| < ε ε piccolo a piacere

SI - La soluzioneNO - Ricomincio con le iterazioni

Nel nostro caso all'iterazione i-esima

| P_a0 - P_aEL | | ∂P/∂Θ | | ΔΘ || P_d0 - P_dEL | = | ∂P/∂E | ⋅ | ΔE |

| Q_a0 - Q_aEL | | ∂Q/∂Θ || ... | | ∂Q/∂E |

ESEMPIO

Scrivo dunque le quattro equazioni:

P₂ = 3E₂E₁y₂₄cos(θ₂ - θ₁ - γ₂₁) + 3E₂E₁y₂₁cos(-γ₂₁) + 3E₂E₃y₂₃cos(θ₂ - θ₃ - γ₂₃)

P₃ = 0 + 3E₂E₃y₂₃cos(θ₃ - θ₂ - γ₂₃) + 3E₃E₃y₃₃cos(-γ₃₃)

Q₂ = 3E₂E₁y₂₄sin(θ₂ - θ₁ - γ₂₁) + 3E₂E₁y₂₁sin(-γ₂₁) + 3E₂E₃y₂₃sin(θ₂ - θ₃ - γ₂₃)

Q₃ = 0 + 3E₂E₃y₃₂sin(θ₃ - θ₂ - δ₂) + 3E₃E₃sin(-θ₃₃)

Dove prendo questi valori e li metto dentro le 4 eq in modo da ottenere le potature _{(120, P20, Q20, E20)}

P_2,0 = P₂(E_1,0, E_2,0, E_3,0, θ_2,0, θ_3,0)

L'inizio dunque a calcolare gli elementi dello jacobiano faccio quindi le derivate

∂P₂ / ∂θ₂ = -3E₂E₁sin(θ₂ - θ₁ - γ₂₁) +[...] + 3E₂E₃y₂₃sin(θ₂ - θ₃ - γ₂₃)

∂P₂ / ∂θ₃ = 3E₂E₃y₂₃sin(θ₂ - θ₃ - γ₂₃)

∂P₂ / ∂E₂ = 3E₁y₂₁cos(θ₂ - θ₁ - θ₂₁) + [...]

∂Q₂ / ∂E₃ = 3E₂[...]y₂₃cos(θ₂ - θ₃ - θ₂₃)

ESERCIZIO

• GENERATORE
• TRASF. 1
• 2 LINEE
• CARICO

V_M = 20KVN_M = 750 MVAK = ^V_M1/_VM2 = ^20KV/_400KVV_cc = 0,4N_M = 750MVAV_M2 = 400KVN_M = 3 · 250MVAV_cc = 0,43700 MVAcos φ = 0.9V_S = 450KVtensione che rende nulla la f_carico in un primo momentoLINEE:L = 200 kmX_d = 0,26 Ω/kmC_d = 3,78 nF/km

Quesito 1 : Regime permanente (quando non vi sono le reattanze shunt)

Quesito 2 : In condizioni di RETE A VUOTO (ovvero quando non è presente il carico) 'sollevare la reattanza X_sha' d’arrivo in modo tale che le tensioni V_arrivo = V_partenza (ovvero V₂ ≃ V₃)

Quesito 3 : Che valore deve ottenere alla fine... X_sha e X_shb in modo che la potenza reattiva proposta dal generatore sia nulla, Q_b = 0 (sempre nel funzionamento a vuoto).

Quesito 4 : Che valore deve avere la X_shp affinché Q_b = 0

SVOLGIMENTO:

Risolvere il quesito 2:Faccio il circuito equivalente a π della linea.2 LINEE in parallelodue linee in paralleloY_eq = giuB_eq = B/2F_eq = 4¹/₋₍₂₎Z_{eq parallelo} = ^Z₁₂/_Z12⁽²⁾ + 2V₃ = V₂ quando vuoto avvoltoSe vuoto allora v³ = v₂ non deve scorrere questa corrente dunque voglio un’impedenza infinita mentre gira d’arrivo alle lineevoglio che questa impedenza sia = ∞e quindi:^Z₁/_Z2X_sha = ^radice/_(Xd) - 1e invecemodY_eq = 2Y= W_Cd L / 2 → X_sha = ¹/_ωCLmodulo

ESEMPIO: CORTOCIRCUITO TRIFASE ALLE SBARRE DI ALTA TENSIONE

Il circuito monofase equivalente alla sequenza diretta è:

R = R_k + R_a

Quando si chiude il circuito, devo CALCOLARE la i_cc(t) :

1. L(t) = E √2 sen (ωt + α)
2. (t) = Ri(t) + L di(t)/dt
3. k = 0 CONDIZIONE di CONTORNO
4. i_cc(0) = 0

i_CC(t) = i_cct(t) + i_ccp(t)

- Calcolo quindi la i_cct(t):

• L'integrale generale ha una soluzione del tipo: i_cct(t) = A e^αt
• Il valore di α lo posso calcolare sostituendo i_cct(t) all'omogenea associata R i_cct(t) + L di_cct(t)/dt
• RA e^αt + LA α e^αt = 0 → (R + L α) (A e^αt) = 0
• α = -R / L → CORRENTE TRANSITORIA

i_cct(t) = A e^{-R/L t} = A e^-t/γ con γ = L/R → COSTANTE DI TEMPO

- Calcolo quindi la i_ccp(t) (usando il metodo fasoriale):

• I_ccp = E/Z → R + jωL = R + jX
• tg ψ = X/R