Appunti di Disegno dell'architettura I

PROIEZIONI: il rapporto tra gli enti geometrici fondamentali:

• Punto P: (elemento adimensionale)
• Retta r: (insieme di infiniti punti unidimensionali)
• Piano α: (elemento bidimensionale)

Con la geometria proiettiva gli enti fondamentali vengono estesi all'infinito, venendo definiti impropri: P_oo, r_oo, α_oo enti fondamentali.

Punto improprio

Punto dell'infinito di una retta che definisce la direzione di una retta.

Consideriamo un punto O e una retta r' con O ∉ r'.

• Il punto O può proiettare se stesso sulla retta infinite volte, essendo la retta r composta da infiniti punti, anche nel caso in cui lo stesso r, generato dal fascio di rette di O, sarà parallela a r
• In questo caso le due rette r e r' si incontreranno all'infinito nel punto improprio O_oo, che ne stabilisce anche la direzione.

La retta impropria

L'insieme di tutti i punti impropri di un piano che ne definisce le giaciture. Piani paralleli hanno la stessa giacitura.

Proiezione: il rapporto tra gli enti geometrici fondamentali

• Punto P (elemento adimensionale)
• Retta r (insieme di infiniti punti, unidimensionale)
• Piano α (elemento bidimensionale)

Con la geometria proiettiva gli enti fondamentali vengono se stessi all’infinito, venendo definiti impropri:

• P∞ punto + direzione
• r∞
• α∞

Punto improprio

Punto dell’infinito di una retta che definisce la direzione di una retta.

Consideriamo un punto O e una retta r con O∉r

Il punto O può proiettare se stesso sulla retta infinite volte, essendo la retta r composta da infiniti punti anche nel caso in cui la z₁, generato dal fascio di rette di O, sarà parallela a r. In questo caso le due rette ₁ e ₂ si incontreranno all’infinito nel punto improprio O∞, che ne stabilisce anche la direzione.

La retta impropria

L’insieme di tutti i punti impropri di un piano che ne definisce le giaciture. Piani paralleli hanno la stessa giacitura.

• Si considera la retta α
• Essa genera un fascio di piani che interseca ad una retta propria
• Solo nel caso in cui si considera il piano β generato da α e parallelo ad α, questo intersecherà il piano α ad infinito nella retta impropria a chi determiniamo lo stesso giacitura per entrambi.

Rappresentazione → Disciplina

Disegno → porzione della rappresentazione che consente il passaggio dallo spazio al piano. Tale passaggio avviene tramite le due sole operazioni di PROIEZIONE e SEZIONE

Per proiettare è necessario stabilire un centro di proiezione. Esso può essere un punto proprio o improprio o una retta.

PROIEZIONE DA UN PUNTO

Per proiettare il punto P dal centro di proiezione O₁, si costruisce il raggio proiettante ovvero la retta passante per O₁ e per P.({₁}) O₁ PROPRIO

Per proiettare il punto P da O_α (improprio) si costruisce il raggio proiettante passante per P e parallelo alla direzione di O_α.({₁}) O_α IMPROPRIO

PROIEZIONE DI UNA RETTA

• Dobbiamo proiettare la retta r del centro O proprio.
• Costruiamo allora il piano π passante per O e per r₁ (definito piano proiettante)

O PROPRIO

• ∞^o: Per proiettare una retta da un punto O improprio
• Consideriamo una retta α che ha come direzione la direzione di O_∞ e che interseca r in f.

PROIEZIONE DA UNA RETTA

• Per proiettare da una retta r un punto P che non appartiene ad essa.
• Costruiamo un piano proiettante passante per la retta r e per il punto P.

Per proiettare una retta r da una retta α dobbiamo costruire infiniti piani passanti per α e per gli infiniti punti di r. Oppure, nel caso in cui le due rette siano complanari, bisogna creare un piano passante per r e per α.

LA Sezione

A differenza della proiezione la quale avviene da un ente minore ad uno maggiore la sezione avviene da un ente superiore a uno inferiore.

Le due operazioni insieme permettono di creare un disegno fedele.

Per stabilire quale è l'immagine di A₀ su un piano dobbiamo effettuare un'altra operazione.

• A_o ∈ α
• Proiettiamo A_o da C₁
• Sezionando otteniamo π₁, quindi da C₁ → A_o ∈ α
• Consideriamo un secondo centro C₂ dal quale proiettiamo nuovamente A_osu un piano π₂ sovrapposto a π₁, ottenendo A₂.

Considerazioni proiettive dei punti da un centro proprio

le loro distanze variano, i proiettati dai due assiomi di centri

improprio

la distanza è proporzionale a quella iniziale.

S₁∞

A, B proiettati da a, b secondo un centro proprio S₁

C, D proiettati da a, b secondo una direzione di centro improprio S₂∞

Per individuare un punto P nello spazio, esso deve essere proiettato da due

punti propri o impropri. Nel caso dei punti propri, si può proiettare sul piano

di riferimento anche la retta che unisce i due centri di proiezione e le due proiezioni

del punto e le proiezioni dei centri propri saranno allineate (esito di prospettività)

S₁

A, P, R, S ∈ π ⇒ esito di prospettività

Per conoscere la posizione di P nello spazio bisogna concordare

l'inclinazione delle rette di proiezione rispetto al piano di riferimento

Per convenzione, il primo centro di proiezione (proprio o improprio) sarà ortogonale

al piano, il secondo inclinato di 45°.

S₁∞

OMOLOGIA

L’omologia piana (ω) può essere definita come una corrispondenza biunivoca tra due pianiproiettivi sovrapposti, tale che:

1. le rette corrispondenti si incontrano tutte sulla stessa retta (detto asse dell’omologia);
2. le rette che congiungono punti corrispondenti convergono tutte nello stesso punto S (dettocentro dell'omologia).

Esistono tre tipi di piani:

• generico (inclinato generalmente)
• degenere in prima proiezione (verticale)
• traslato (orizzontale)

Individuare un piano generico

Gli enti fondamentali per l'individuazione di un piano sono: l'asse dell'omologia, il centro diproiezione e le due proiezioni di un punto.

• L'asse omologico: è la retta di intersezione del piano generico con il piano di riferimento.Si indica con _ωx.
• Il centro di proiezione: è la direzione in cui le proiezioni dei punti corrispondenti sonoorientate. Si indica con _So.

• P ∈ π
• _ωx = asse omologico (retta di intersezionedel piano π con il piano di riferimento π)
• P', P'' = rispettivamente, prima e seconda proiezionedel punto P, ordinate secondo la direzione ↔_So
• _So = ce