Appunti di Costruzioni idrauliche urbane

1. I FLUIDI E IL LORO MOVIMENTO

Un fluido è un corpo materiale che subisce variazioni - anche a seguito di forze di

minima entità - a causa della mobilità delle particelle che lo compongono. Le sue

deformazioni sono permanenti. Si distinguono in liquidi, che oppongono grande

resistenza alle variazioni di volume e sono poco comprimibili, e gas, che variano

facilmente il loro volume e sono molto comprimibili.

Nella meccanica dei fluidi, questi sono considerati dei sistemi rigorosamente continui

anche se sono per loro natura discontinui perché costituiti da molecole situate a grande

distanza tra loro. Ammettendo ciò, è possibile parlare di meccanica dei sistemi

continui di Eulero.

Esistono due tipi di forze che agiscono nei sistemi continui: le forze di massa e le forze

di superficie. Le forze di massa sono le forze esterne che si esercitano a distanza su

tutte le particelle del sistema in modo proporzionale alla loro massa. Le forze di

superficie sono quelle che agiscono sulla superficie di contorno del sistema continuo.

Di norma in meccanica dei fluidi si ha a che fare solo con sforzi normali di

compressione, che tendono ad avvicinare particelle vicine e che per questo motivo

vengono considerati positivi (al contrario della meccanica dei solidi in cui gli sforzi

normali di compressione sono negativi).

Il teorema del tetraedro di Cauchy afferma che lo sforzo agente in un punto su un

elemento di generica giacitura è una funzione lineare e omogenea degli sforzi agenti,

nel punto stesso, su tre qualsiasi giaciture mutuamente ortogonali. Il modulo dello

sforzo è chiamato pressione p e il suo valore è una funzione soltanto dei punti del

campo.

Si definisce peso specifico il prodotto tra la densità ρ e l’accelerazione di gravità g. La

densità e il peso specifico di un fluido sono funzioni sia della pressione p che della

temperatura θ, e infatti chiamiamo equazione caratteristica o equazione di stato del

fluido la seguente relazione:

I fluidi newtoniani sono quelli in cui la viscosità è costante per date condizioni di

temperatura, ed è cioè indipendente dagli sforzi tangenziali e normali. La viscosità è

una proprietà fisica del fluido che ne caratterizza il comportamento nei confronti delle

resistenze che si oppongono al moto, e spesso assume la forma più generale della

Legge di Newton:

I fluidi non newtoniani sono invece tutti quei fluidi in cui sforzi tangenziali e velocità di

deformazione angolare mostrano diverso comportamento, e quindi non sono più

rappresentati da una retta passante per l’origine. In generale, però, questi rispettano la

seguente equazione reologica:

e si distinguono in 3 classi:

-​ Fluidi a comportamento indipendente dal tempo,

suddivisi a loro volta in: fluidi alla Bingham, fluidi

pseudoplastici e fluidi dilatanti

-​ Fluidi a comportamento dipendente dal tempo,

suddivisi a loro volta in: fluidi tixotropici e fluidi reopectici

-​ Fluidi elastoviscosi

Esistono due tipi di regimi di movimento:

1.​ Il regime laminare può essere inteso come un moto in cui tutte le particelle che

passano per uno stesso punto percorrono la medesima traiettoria senza

mescolarsi con la traiettoria sottostante: il moto è dunque ordinato e avviene per

filetti paralleli senza scambi di massa e senza componenti della velocità

normali ai filetti. È un moto stabile alle perturbazioni.

2.​ Il regime turbolento nasce a seguito di irregolari fluttuazioni della velocità delle

singole particelle, che provoca un continuo scambio di massa da zona a zona

del campo di moto e in cui si sovrappongono un movimento di trasporto e un

movimento di agitazione.

2. STATICA DEI FLUIDI

Nei fluidi in quiete (equilibrio assoluto o relativo) le particelle non subiscono alcuno

spostamento relativo, e quindi gli sforzi interni non ammettono componenti

tangenziali e sono diretti normalmente all’elemento. In particolare vale che:

e di conseguenza

Quindi lo sforzo in un generico punto di un fluido in quiete ha un modulo indipendente

dall’orientamento passante per il punto stesso, che indicheremo come pressione p.

L’equazione indefinita della statica dei fluidi parte dal presupposto che su un

elemento infinitesimo di volume di un fluido agiscono sia le forze di massa (pari a ρF) e

sia le forze superficiali (pari a gradU, con U=potenziale). Dunque mettendo insieme le

due forze risultanti, per l’equilibrio del volume, si ottiene che:

da cui si deduce che:

-​ Le superfici equipotenziali (U=cost, gradU=0) sono anche superfici di uguale

pressione, ovvero superfici isobariche, e viceversa

-​ Le superfici equipotenziali sono anche superfici di uguale densità, ovvero

superfici isocore

L’equazione globale della statica dei fluidi si ottiene integrando l’equazione indefinita

in un volume finito W del fluido:

in cui il primo termine rappresenta il risultante delle forze di massa agenti sul fluido

occupato dal volume W, mentre il secondo termine indica il risultante di tutti gli

sforzi elementari agenti sui singoli elementi della superficie di contorno A. ​

Simbolicamente, l’equazione globale dell’equilibrio statico può essere scritta come:

La legge di Stevin qui di fianco, o equazione fondamentale della statica

dei fluidi pesanti e incomprimibili, sta ad indicare che a tutti i punti di un

fluido pesante incomprimibile in quiete compete la stessa quota

piezometrica. L’ipotesi è che il fluido sia incomprimibile, isotermo e

soggetto unicamente all’azione del campo gravitazionale.

Se A e B sono due punti qualsiasi giacenti su za e zb, il legame tra le pressioni diventa:​

3. CINEMATICA DEI FLUIDI

Il campo di moto di un fluido può essere descritto da tre famiglie di linee:

-​ Le traiettorie, ovvero le linee dei punti successivamente

occupati dalle singole particelle fluide in moto. Queste linee

rappresentano una triplice infinità e le loro equazioni si

ricavano dalle componenti dello spostamento subito da una

particella in un generico istante.

-​ Le linee di corrente, o di flusso, ovvero la curva

tangente, in ciascuno dei suoi punti, al vettore

velocità in quel punto. Individuano le velocità nei

differenti punti del campo di moto. Per ogni punto del

campo del moto passa una sola linea di corrente.

-​ Le linee di emissione, o di fumo, ovvero il luogo dei punti occupati al generico

istante da tutte le particelle che successivamente passano per uno stesso punto.

Esistono diversi moti:

-​ Il moto permanente è caratterizzato da grandezze cinematiche indipendenti dal

tempo, in cui le tre componenti della velocità sono funzioni di x, y e z soltanto. Un

moto non permanente si dice vario.

-​ Il moto uniforme si ha quando la velocità è indipendente dal tempo e anche

invariabile da punto a punto del campo di moto. Nei moti uniformi le

caratteristiche del moto si mantengono identiche nei successivi punti di ogni

traiettoria.

-​ Il moto turbolento è caratterizzato dalla sovrapposizione di un moto di

agitazione al moto base di trasporto, e determina un movimento irregolare delle

particelle fluide che non contribuisce al loro spostamento

-​ Il moto piano è un movimento in cui il vettore velocità è ovunque

parallelo ad un piano P, e i vettori velocità dei punti situati su una

stessa perpendicolare al piano P sono uguali tra loro. Il campo delle

velocità è così definito:

L’equazione di continuità è un legame tra i caratteri cinematici del processo di moto e

la densità del fluido, e deriva dal principio di conservazione della massa.

L’equazione indefinita di continuità si dimostra a partire da un parallelepipedo

infinitesimo di lati dx, dy e dz, e con componenti della velocità u, v e w, e sfrutta il

principio di conservazione tra la massa entrante nell’intera superficie di contorno del

volume considerato e la massa uscente. Si ottiene dunque che:

​ o anche

​

Se il fluido in moto è incomprimibile e la sua densità è costante nel tempo e nello

spazio, l’equazione indefinita della continuità assume questa forma:

L’equazione globale di continuità si dimostra integrando la massa attraverso l’intera

superficie di contorno A nell’intervallo di tempo dt:

che è compensata da

​

Si ottiene quindi l’equazione globale di

continuità:

Applicando l’equazione di continuità alle correnti, ovvero ai moti in cui tutte le

traiettorie hanno la stessa direzione, e ipotizzando un fluido incomprimibile (p=cost), si

ha:

E se il moto è anche permanente si riduce alla condizione in cui la portata è costante

lungo tutta la corrente, oltre che nel tempo, ovvero che:

4. EQUAZIONI FONDAMENTALI DELLA DINAMICA DEI FLUIDI

La prima equazione indefinita del movimento si ottiene partendo dalla prima

equazione cardinale della dinamica applicata ad un fluido in movimento, in cui vale che:

dR=Adm, con dR=risultante delle forze agenti sulla massa

Questa risultante è costituita da due termini:​

- la forza di massa che dipende dal campo in cui si trova il fluido, pari a​

- la risultante degli sforzi trasmessi alla massa attraverso la superficie

La risultante degli sforzi agenti sulla superficie di contorno è pari a:

Quindi esplicitando la R dalla prima equazione si ottiene la prima

equazione indefinita del movimento:

A questa è associata la seconda equazione indefinita del

movimento, che è invece associata alla seconda equazione

cardinale della dinamica, l’equazione dei momenti:

Nel caso di un fluido perfetto, in cui le componenti tangenziali

degli sforzi sono nulle e le componenti normali degli sforzi sono uguali tra

loro, vale la seguente equazione indefinita di moto, chiamata anche

equazione di Eulero:

Dunque per un generico processo di movimento, si hanno:​

- equazione di stato, che lega densità, stato di sforzo e temperatura​

- equazione di continuità, che riflette il principio di conservazione della massa​

- equazione indefinita del moto, che esprime le condizioni di equilibrio dinamico

L’equazione globale dell’equilibrio dinamico prende invece in considerazione tutte le

condizioni globali di movimento di un volume finito di fluido. Prendendo quindi un

volume finito W, per ogni elemento

infinitesimo dW vale la prima equazione

indefinita di movimento, che diventa

dunque:

Ma per il teorema di Green, la relazione tra integrali

di volume e integrali di superficie porta a scrivere che

il secondo termine è in realtà uguale a:

Che per il teorema del tetraedro di Cauchy corrisponde

a sua volta a:

L’equazione può quindi essere riscritt