Appunti di Atmospheric and space flight dynamics - 6

Quindi ho:

J_t _ω̇1 + (J_s - J_t) ω₂ ω₃ = 0

J_t _ω̇2 + (J_t - J_s) ω₁ ω₃ = 0

J_s _ω̇3 = 0 → ω₃(t) = Ω = cost

Quindi le prime due equazioni sono accoppiate, mentre la terza è indipendente dalla due.

Infatti integrandola da sola, la soluzione risultante è la velocità di rotazione Ω attorno all'asse di rotazione, ed è costante.

Sostituisco ω₃ = Ω nelle due eq.mi:

J_t _ω̇1 + (J_s - J_t) ω₂ Ω = 0

J_t _ω̇2 + (J_t - J_s) ω₁ Ω = 0 → Divido ambo i membri per J_t

_ω̇1 + (J_s - J_t / J_t) Ω ω₂ = 0 → _ω̇1 +λ ω₂ = 0

_ω̇2 + (J_t - J_s / J_t) Ω ω₁ = 0 → _ω̇2 - λ ω₁ = 0

Posso derivare le due equazioni rispetto al tempo t e ottenere:

_ω̈1 + λ _ω̇2 = 0 e _ω̈2 - λ _ω̇1 = 0

Quindi combinando la prima eq.ne con la seconda, otteniamo:

_ω̈1 + λ² ω₁ = 0

dove noto che l'equazione del moto è identica all'equazione di un oscillatore armonico lineare (non smorzato), _ẍ + ω²_n x = 0 con la frequenza naturale pari a λ.

La soluzione è: ω₁(t) = A cos (λ t + φ)

con A e φ determinate dalle condizioni iniziali.

Dalla prima equazione si ha

ω₂ = -¹/_{λ ω̇1}

dunque ω₁(t) = +¹/_λ A sen (λ t + φ) :

ω₂ = A sen (ωt + φ)

Quindi ho:

J_t ω̇_1 + (J_s - J_t) ω_2 ω_3 = 0

J_t ω̇_2 + (J_t - J_s) ω_1 ω_3 = 0

J_s ω̇_3 = 0 → ω_3(t) = Ω = cost

Quindi le prime due equazioni sono accoppiate, mentre la terza è indipendente dalla due.

Infatti integrandola da sola, la soluzione risultante è la velocità di rotazione Ω attorno all'asse di rotazione, ed è costante.

Sostituisco ω_3 = Ω nelle due eq.mi:

J_t ω̇_1 + (J_s - J_t) ω_2 Ω = 0

J_t ω̇_2 + (J_t - J_s) ω_1 Ω = 0

Divido ambo i membri per J_t

ω̇_1 + (J_s - J_t)/J_t Ω ω_2 = 0

ω̇_2 + (J_t - J_s)/J_t Ω ω_1 = 0

ω̇_1 + λ ω_2 = 0

ω̇_2 - λ ω_1 = 0

Posso derivare le due equazioni rispetto al tempo t e ottenere:

ω̈_1 + λ ω̇_2 = 0 e ω̈_2 - λ ω̇_1 = 0

Quindi combinando la prima eq.ne con la seconda, otteniamo:

ω̈_1 + λ² ω_1 = 0

dove noto che l'equazione del moto è identica all'equazione di

un oscillatore armonico lineare (non smorzato), ẍ + ω_n² x = 0

con la frequenza naturale pari a λ.

La soluzione è:

ω_1(t) = A cos (λ t + φ)

con A e φ determinate dalle condizioni iniziali.

Dalla prima equazione si ha

ω_2 = -1/λ ω̇_1

d_ω̇_1(t) = +1/λ A sen (λ t + φ) λ

ω_2 = A sen (ω t + φ)

La soluzione completa per _B(t) = (₁, ₂, ₃)^T

₁(t) = A cos( t + )

₂(t) = A sen( t + )

₃(t) =

con

(₁² + ₂²) = A² = ₁₂²

Se rappresentiamo le equazioni nel piano, avremo che ₁ e ₂ è un cerchio.L'evoluzione di ₁ e ₂ mostra che ₁₂ ruota attorno all'asse con velocità angolare .Scrivendo la velocità angolare come

= ₁₂(t) +

Durante l'evoluzione descrive un cono attorno all'asse di simmetria del corpo rotante,che è chiamato cono del corpo.

: angolo tra e (spin axis) è costante.

Per un moto senza coppia ( =cost)

consdi: J_x