Appunti di Atmospheric and space flight dynamics

NO.

Title: CORSO DI ATMOSPHERIC & SPACE FLIGHT DYNAMICS

Prof. Giulio Avanzini

Enjoy the most efficient handwriting experience! Taking notes, on the go, whether for inspiration, ideas, knowledge learning, business insights, (or even sketches).

NOTE

Creative notes

By reading we enrich the mind; by writing we polish it.

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EQUAZIONI DEL MOTO

Lo scopo di questo capitolo è quello di ricavare le equazioni fondamentali del moto per la dinamica dei velivoli ad ala fissa, valide per un aereo rigido che si muove rispetto ad una Terra piatta e non rotante.

Dopo aver introdotto una serie di sistemi di riferimento per la descrizione del moto del velivolo, verranno presentate queste approssimazioni, per evidenziare chiaramente i limiti di validità delle derivazioni.

Si ricavano le equazioni cinematiche e le matrici di trasformazione delle coordinate per le componenti di uno stesso vettore espresse in diversi sistemi di riferimento, a seconda degli angoli che rappresentano la loro posizione angolare reciproca.

Per ricavare le Equazioni Dinamiche si applica la seconda legge della meccanica di Newton (F=m*a), che richiede l'identificazione di un sistema galileiano, detto quadro pseudoinerziale. La derivazione fornirà un insieme di 12 equazioni differenziali ordinarie scalari non lineari della dinamica dei velivoli rigidi.

SISTEMA DI RIFERIMENTO

Tutti i sistemi (frame) della dinamica del volo sono tridimensionali e destrorsi.

L'i-esimo sistema è definito come:

F_i = F_i (_Oi, ⁱ, ^j, ^k)

dove:

• _Oi è l'origine del sistema;
• ⁱ, ^j, ^k sono vettori unitari lungo gli assi x_i, y_i, z_i rispettivamente.

(^: indica un vettore unitario)

Per descrivere il moto di un aereo è necessario indicare alcuni riferimenti per esprimere il moto della traiettoria e dell'assetto del velivolo rispetto ad un determinato quadro di riferimento.

La terna Topocentrica Fissa (Pseudo-inerziale) F₁(O; x₁, y₁, z₁)

• fissa rispetto rispetto al terreno (approssimativa inerziale);
• l'origine e l'orientamento degli assi può dipendere dalla particolare fase di volo considerata nell'analisi;
• la terna è centrata nella locazione conveniente, con:
• x1 punta verso Nord
• y1 punta verso Est
• z1 punta verso il basso, lungo la direzione del vettore locale di gravità

Altre scelte sono possibili (ad esempio, durante la fase di decollo / atterraggio, l'asse di X_i può essere scelto lungo la direzione della pista).

Per descrivere il moto di un aeroplano è necessario definire un insieme di variabili che valutino in modo univoco la sua posizione e il suo assetto.La terna BODY (corpo) FISSA F_B = (C; x_B, y_B, z_B) è:

• fissa rispetto all'aeroplano;
• origine C nel centro di massa dell’aereo;
• gli assi X_B e Z_B sono perpendicolari tra loro e giacciono sul piano di simmetria del velivolo;in particolare X_B punta lungo una generica direz. longitudinale, mentre Z_B punta "verso il basso";
• l’asse y_B è perpendicolare al piano di simmetria.

La Terna di assi corpo è attaccata al corpo e si muovono con esso.

Esistono alcuni gradi di libertà nella scelta dell’asse x (lungo il vettore di spinta, lungo un asse strutturale, lungo un asse principale di inerzia, ecc.)

Per definire l’assetto del velivolo (cioè la sua posizione angolare rispetto al quadro fisso) è necessario definire il quadro locale verticale orizzontale (LVLH) F_L = (C; x_L, y_L, z_L) che è centrato in C, ma i cui assi sono paralleli a quelli del quadro di riferimento fisso.

La posizione angolare del quadro Body rispetto al quadro LVLH è definita da tre angoli:- (Rollio) Roll angle ϕ- (Beccheggio) Pitch angle θ- (Imbardata) Yaw angle ψ

La terna dei venti (WIND Frame) F_w = (G; x_w, y_w, z_w) è un frame trasportato dal velivolo,

cioè si muove con il velivolo senza essere rigidamente collegato ad esso.

• L'origine è il centro di massa;
• l'asse x_w allineato alla velocità del velivolo v_a rispetto alla massa d'aria circostante;
• l'asse z_w è perpendicolare a x_w, e rivolto verso il basso;
• l'asse y_w completa la terna destrorsa.

La posizione del velivolo è associata al vettore posizione

\(\vec{z} = \overline{0G}\)

del suo centro di massa nel quadro inerziale Fi.

Quindi le variabili associate alla traiettoria sono quelle associate al vettore:

\(\vec{z} = X_{I} \hat{i_{I}} + Y_{I} \hat{j_{I}} + Z_{I} \hat{k_{I}}\)

Possiamo quindi vedere l'assetto dell'aeroplano attraverso gli angoli:

che osserviamo come è orientata la terna di assi Body risp. agli assi LVLO (questi // ai NED = pseudoinerz.)

Indichiamo con z_I la terna di numeri:

z_I = (x_I, y_I, z_I)

il cui pedice indica la terna di riferimento (in questo caso I per la terna inerziale)

Si pone il TRASPOSTO poiché lavoreremo con vett. colonna

La velocità del velivolo è v = dz/dt e quindi l’espressione di v nella terna Inerziale è:

v_I = (ẋ_I, ẏ_I, ż_I)

Componenti del vettore velocità nel riferimento Inerziale

Quindi se conosco la velocità, conosco come evolve il vettore posizione nel tempo. Infatti se integro la velocità ottengo il tempo.

Si consideri la seguente 3ª ipotesi:

1. Terra piatta e non rotante
2. Velivolo corpo rigido => massa costante
3. a) Aria ferma rispetto alla Terna Inerziale => NO VENTO, V_w = 0

AIRSPEED: velocità velivolo risp. all’aria

GROUND SPEED: velocità velivolo risp. al suolo

Per sapere le forze che mi determinano l'accelerazione, quindi come si sta evolvendo la velocità, devo sapere come l'aria mi arriva nel riferimento Body. Di conseguenza è necessario conoscere anche Vb cioè le componenti dello stesso vettore velocità nella terna B.

V_B = (u, v, w)^T

Le componenti del vettore velocità in assi Body sono legate alle componenti del vettore velocità in assi Inerziali grazie alla matrice di Cambiamento del Sistema di Riferimento.

COORDINATE TRANSFORMATION

- Rotazione Elementare

Considero 2 sist. di Riferimento (X₁, Y₁, Z₁) e (X₂