Appunti di Analisi matematica I

Linguaggio della matematica

MATEMATICA I

LINGUAGGIO DELLA MATEMATICA

PROPOSIZIONI : espressioni sintatticamente corrette, semanticamente rilevanti, che hanno un

valore di verità

Esempi:

●​ “1+2 = 3” proposizione vera

●​ “1>2” proposizione falsa

●​ “1=” non è una proposizione

●​ “1+2” non è una proposizione

NEGAZIONE: sia P una proposizione (vera o falsa). La negazione di P è la proposizione “non

P”, cioè “non è vero che P”.

Non P è vera se P è falsa

Non P è falsa se P è vera P non P

V F

F V

CONGIUNZIONE: siano P e Q due proposizioni “P e Q” equivale a “è vero che P e

contemporaneamente è vero che Q”.

P e Q è vera se P è vera e Q è vera

P e Q è falsa se anche solo una delle due è falsa (anche se lo sono entrambe)

P Q P e Q

V V V

V F F

F V F

F F F

DISGIUNZIONE: “P o Q” significa che “almeno una delle due è vera”

P Q P e Q

V V V

V F V

F V V

F F F

Esempi

1)​ La negazione di “1<2” (V) è “1 2” (F)

≥

2)​ 1<2 (V) e 1 0 (V) è vera

≥

(x y : x>y o x=y)

≥

3)​ 1<2 (V) e 1 0 (F) è falsa

≤

4)​ 1<2 (V) o 1 0 (F) è vera

≤

5)​ 1>2 (F) o 1 0 (F) è falsa

≤

6)​ 1<2 (V) o 0 1 è vera

≤

7)​ 1>2 (F) o 0 1 è vera

≤

IMPLICAZIONE: Se P allora Q, ⇒

P = ipotesi

Q = tesi

P è condizione sufficiente per Q

Q è condizione necessaria per P

Esempio “Se passo l’esame di Matematica I al I appello, allora ti offro l’aperitivo”

P = “passo l’esame di Matematica I al I appello”

Q = “ti offro l’aperitivo

Casi possibili:

1)​ Passo l’esame e ti offro l’aperitivo (P vera, Q vera)

2)​ Non passo l’esame e ti offro l’aperitivo (P falsa, Q vera)

3)​ Passo l’esame e non ti offro l’aperitivo (P vera, Q falsa)

4)​ Non passo l’esame e non ti offro l’aperitivo (P falsa, Q falsa)

! è falsa nel caso in cui P è vera e Q è falsa, è vera in tutti gli altri casi

L’implicazione ⇒

P Q ⇒

V V V

V F F

F V V

F F V

⇔

DOPPIA IMPLICAZIONE:

P è condizione necessaria e sufficiente per Q

significa e

⇔ ⇒ ⇒

è vera quando P e Q sono entrambe vere o entrambe false

⇔ P Q ⇔

V V V

V F F

F V F

F F V

PROPRIETA’ (o PREDICATO): affermazione (sintatticamente corretta) contenente una o più

variabili libere.

Esempio: n è un numero pari; P(n) (n variabile)

P(2) è vera, P(3) è falsa

OSSERVAZIONE: 2

è pari”, n non è libera! E’ quantificata dalla

●​ Nella frase “per ogni numero pari n,

locuzione “per ogni”.

●​ “Esiste un numero naturale n>1 tale che n è divisore di 21”, n non è libera!

QUANTIFICATORI LOGICI ∀

Quantificatore universale: PER OGNI ∃

Quantificatore esistenziale: ESISTE

La negazione di “ x vale P(x)” è “ x tale che non vale P(x)” (CONTROESEMPIO)

∀ ∃

La negazione di “ x tale che P(x) è “ x non P(x)”

∃ ∀

Esercizio 1

P(x) = x non ama la matematica

Q(x) = x è biondo

x tale che P(x) ( x : P(x)) non ( x : non Q(x)) = x Q(x), cioè TUTTI SONO BIONDI

∃ ∃ ∃ ∀

Esercizio 2

P(x) = x è naturale dispari 3

≥

Q(x) = x è primo

x naturale dispari 3 vale Q(x)

∀ ≥

La negazione dell’enunciato è x naturale dispari 3 tale che x non è primo

∃ ≥

Esercizio 3

P(x) Q(x)

⇒

-​ P(x) = x è primo 3

≥

Q(x) = x è dispari

P Q è equivalente a non Q non P (dimostrazione per assurdo)

⇒ ⇒

pari non primo (se )

⇒ ≥ 3

Insiemi

MATEMATICA I

INSIEMI

INSIEME: concetto primitivo (non riconducibile a nozioni più elementari)

​ collezione, famiglia, aggregato di oggetti

Un insieme è definito assegnando i suoi elementi.

Se x è un elemento di E, si scrive x E (x appartiene a E)

∈

Se x non è un elemento di E, si scrive x E

∉

Un insieme privo di elementi si dice INSIEME VUOTO e si indica .

⊘

COME DESCRIVERE UN INSIEME

●​ Elencare tutti gli elementi tra parentesi graffe

A = {

, ,

}

B = {

0, 1, 2, 3

}

C = {

1, 2, 3, 0

}

Noto che B = C (l’ordine con cui li elenco non è importante)

●​ Diagramma di Venn

●​ Descrivere l’insieme come la collezione di tutti gli elementi di un insieme più grande per i

quali è vera una certa proprietà. {

∈ :

}

Esempi

-​ B = = =

{

∈ : < 4

} {

0, 1, 2, 3

} {

∈ : 0 ≤ ≤ 3

}

2

{ }

-​ =

∈ : =− 1 ⊘

SOTTOINSIEME: Si dice che l’insieme A è un sottoinsieme dell’insieme B e si scrive

o

⊆ ⊇

(A è incluso in B) se ogni elemento di A è anche elemento di B

Se e esiste almeno un elemento di B che non appartiene a A, si dice che A è un

⊆

sottoinsieme proprio di B (o che A è incluso strettamente in B) e si scrive .

⊂

OSSERVAZIONE: Se e , allora A = B

⊆ ⊆

OPERAZIONI TRA INSIEMI

●​ UNIONE: ∪ = {

: ∈ ∈

}

INTERSEZIONE:

●​ ∩ = { : ∈ ∈ }

●​ DIFFERENZA: − = { ∈ : ∉ }

●​ DIFFERENZA SIMMETRICA: ∆ = ( − ) ∪ ( − )

,CA)

●​ COMPLEMENTARE: se , si dice complementare di A in E (si scrive

⊆

l’insieme .

−

PRODOTTO CARTESIANO

Si dice coppia ordinata un insieme di due elementi dei quali è fissato un ordine.

{ , } = { , } (, ) ≠ (, )

se e solo se e

(, ) = (, ) = =

Definizione: dati due insiemi A e B si dice PRODOTTO CARTESIANO di A e B (e si indica con

) l’insieme di tutte le coppie ordinate (a,b) con , .

× ∈ ∈

.

× = {

(, ): ∈ ∈

}

Esempio: = {

, ,

} = {

1, 2

}

× = {

(, 1), (, 2), (, 1), (, 2), (, 1), (, 2)

}

× = {

(1, ), (1, ), (1, ), (2, ), (2, ), (2, )

}

Esercizio

P,J,C

#(P) = 45 #(J) = 41

#(C) = 40 #( ) = 15

∩

#( ) = 18 # = 7

∩ ( ∩ ∩ )

# = 36

(( ∩ ) ∪ ( ∩ ) ∪ ( ∩ ))

INSIEMI NUMERICI

NUMERI NATURALI: = { 0, 1, 2, 3, 4,... }

NUMERI INTERI (RELATIVI): = { ..., − 4, − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

{ }

NUMERI RAZIONALI: , Q=

= : ∈ , ∈ − {

0

} {

}

⊂ ⊂

I numeri razionali ammettono una rappresentazione decimale che ha dopo la virgola un numero

finito di cifre diverse da 0 oppure una successione infinita periodica di cifre.

Esempi:

1 = 0, 25

4

1 = 0, 3333... = 0, 3

3

OPERAZIONI IN Q:

+

+ =

●​ SOMMA:

−

​ si dice opposto di

· =

●​ PRODOTTO:

≠ si dice INVERSO o RECIPROCO di

​ ​ Se

OSSERVAZIONE

I.​ N è chiuso rispetto alla somma e al prodotto

II.​ N non è chiuso rispetto all’opposto e alla differenza (n - m = n + (-m))

III.​ Z è chiuso rispetto a somma, prodotto e differenza, ma non rispetto al quoziente

IV.​ Q è chiuso rispetto a somma, prodotto, differenza e quoziente (purché il divisore sia

diverso da 0)

= · =

2

PROBLEMA: esiste tale che ?

∈ = 2

​​ , ​

⊃ 2 ∈ 2 ∉

R si può mettere in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta orientata in cui ho fissato

origine e unità di misura.

R è costituito da tutti i numeri decimali, finiti o infiniti, periodici o no.

PROPRIETA’ DI R

SOMMA:

●​ associativa: ​

+ ( + ) = ( + ) + ∀, , ∈

●​ commutativa: ​

+ = + ∀, ∈

●​ lo zero 0 è elemento neutro della somma, cioè ​

+ 0 = 0 + = ∀ ∈

●​ ogni numero ha l’opposto ∀ ∈ ∃(− ) ℎ + (− ) = 0

PRODOTTO:

●​ associativa: ​​

· ( · ) = ( · ) · ∀, , ∈

●​ commutativa: ​ ​

· = · ∀, ∈

●​ 1 è l’elemento neutro, cioè ​

· 1 = 1 · = ∀ ∈ 1 1

●​ ogni numero reale diverso da 0 ha un inverso ∀ ∈ − {

0

} ∃ ℎ · =1

PROPRIETA’ DISTRIBUTIVA DELLA SOMMA RISPETTO AL PRODOTTO

​ ​

· ( + ) = · + · ∀, , ∈

RELAZIONE D’ORDINE IN R

​ ​ ​

, ∈ = , α α α ...

1 2 3

​ ​ ​ ​ = , β β β ...

1 2 3

Se n < m x < y

⇒

Se n > m x > y

⇒

Se n = m confronto e … e così via

α β

1 1

x y se x < y o x = y

≤

La relazione d’ordine verifica le proprietà

≤

●​ riflessiva: ​

≤ ∀ ∈

●​ antisimmetrica: e

≤ ≤ ⇒ =

●​ transitiva: ≤ ≤ ⇒ ≤

●​ ordinamento totale: ;

∀, ∈ ≤ ≤

●​ ​

∀, , ∈ ≤ ⇒ + ≤ +

●​ ​

∀, , ∈ ≤ ≥ ⇒ · ≤ ·

Esempi:

− 2 ≤− 1 : 6 non è minore o uguale a 3

− 2 · (− 3) ≤ (− 1) · (− 3)

RADICE

Definizione: per ogni , e per ogni esiste uno e un solo , ,

∈ > 0 ∈ − {

0

} ∈ > 0

tale che =

y si dice RADICE n-esima (aritmetica) di x e si scrive: 1

= =

2

Esempio: e non è

9 = 9 = 3 9 =± 3

y si dice radice n-esima algebrica di x se . Le radici quadrate algebriche di 9 sono +3 ( )

= 9

e -3.

POTENZE IN R

, ,

∈ > 0 ∈

Esempi:

5

2 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32

0

( 2) =1

−2 1 1

1

( )

3 = · = 3

3 3 1

( )

=

, definisco:

Se , , ,

∈ ∈ − {

0

} ∈ > 0

1

3 3

( ) 2

2

4 = 4 = 64 = 8

Esempio:

1 ( )

1

( )

= =

OSSERVAZIONE: vale la proprietà

Per approssimazione, definisco per ogni , e

∈ > 0 ∈

PROPRIETA’ FONDAMENTALI DELLE POTENZE

, , e

∀, ∈ > 0 > 0 ∀, ∈

+

●​ = ·

( )

●​ =

●​ (

) = ·

Se a<0 e è dispari, la radice n-esima di a è l’unico tale che .

∈ − {

} ∈ =

1

= =

3 2

Esempio: ​​ non esiste in R

− 8 =− 2 − 8

Se a < 0, ,

∈ ∈ − {

0

} 1

( )

=

è ben definita tranne nel caso n dispari e m è pari.

1

2 2

( ) 2

: 2

(

− 1

) ≠ (

− 1

)

ATTENZIONE 1

2

− 1 ≠ (

1

) = 1

​ ​

Estremi e Funzioni

MATEMATICA I

ESTREMO SUPERIORE/ ESTREMO INFERIORE

⊆

I.​ A si dice LIMITATO DA SOPRA se (detto maggiorante) tale che ​

∃ ∈ ≤

∀ ∈

Esempi: ●​ [

0, 1

] = {

∈ : 0 ≤ ≤ 1

}

1,2,10,... sono maggioranti di [

0, 1

]

è limitato da sopra

[

0, 1

]

●​ (

2, + ∞

) = {

∈ : > 2

}

Non è limitato da sopra

II.​ A si dice LIMITATO DA SOTTO se (detto minorante) tale che

∃ ∈ ≤ ∀ ∈

Esempi:

●​ (

− 1, 1

) = {

∈ : − 1 < < 1

}

-1,-3,-5 sono minoranti di (-1,1)

(-1,1) è limitato da sotto

●​ (− ∞, 3] = {

∈ : ≤ 3

}

Non è limitato da sotto

III.​ A si dice LIMITATO se è limitato da sopra e limitato da sotto

Esempi:

●​ [0,1] è limitato

●​ (2,+ ) e (- ,3) non sono limitati

∞ ∞

​ ​ Se M è maggiorante di A e , M si dice MASSIMO di A; si scrive M = maxA

⊆ ∈

​ ​ Se M è minorante di A e , M si dice MINIMO di A; si scrive M = minA

∈

Esempi: = (0, 1) = {

∈ : 0 < < 1

}

​ maggioranti di A?

Tutte le , nessun maggiorante sta in A

≥ 1 ⇒ ∄

I minoranti sono tutte le , nessun minorante sta in A

≤ 0 ⇒ ∄

​ maxB = 1

= [0, 1] = {

∈ : 0 ≤ ≤ 1

}

​ ​ ​ ​ ​ ​ minB = 0

DEFINIZIONE

I.​ Sia limitato da sopra. Si dice ESTREMO SUPERIORE di A il minimo dell’insieme

⊆

dei maggioranti. Si indica con supA.

Se A non è limitato da sopra, si dice che = + ∞

II.​ Sia limitato da sotto. Si dice ESTREMO INFERIORE di A il massimo dell’insieme

⊆

dei minoranti. Si indica con infA.

Se A non è limitato da sotto, si dice che = − ∞

Esempio:

(0, 1) = {

∈ : 0 < < 1

}

Insieme dei maggioranti è {

∈ : ≥ 1

} = [1, + ∞)

sup(0,1) = 1

inf (0,1) = 0

inf [0,1] = 0 = min [0,1]

sup [0,1] = 1 = max [0,1]

Esercizio: determinare sup A e inf A se

{ } { }

1 1 1 1

= : ∈ − {

0

} = 1, , , ,...

2 3 4

sup A = max A = 1

inf A = 0 (non è minimo)

cioè:

1)​ 0 è minorante OK

2)​ Se M è minorante, allora per assurdo, se M è minorante e M > 0, esiste

≤ 0

1

tale che , assurdo perché M è minorante.

∈ − {

0

} <

FUNZIONI

Siano X e Y due insiemi non vuoti. Si dice funzione di X in Y una “legge” f che ad ogni ∈

associa uno e un solo .

∈ : →

X si dice DOMINIO di f

Y si dice CODOMINIO di f

Se , si indica con f(x) l’unico elemento di Y che f associa ad x. f(x) si dice immagine di x

∈

tramite f. si dice IMMAGINE di f

(

) = {

(): ∈

}

Esempio 1: ​ ​

= {

à

} =

f: →

f(x) = temperatura minima registrata nella città x il giorno 1/8/2024 in gradi centigradi

Milano → 25​ ​ ​ Alghero →21

Genova →28 ​ ​ ​ Catania → 24

Roma → 26​ ​ ​ Reggio E. → 25

f(X) = Inf (f) = {

21, 24, 25, 26, 28,...

} ⊂

Esempio 2: f: ​ ​ f(x) = 2x+1

→

GRAFICO DI FUNZIONE:

Definizione: sia f: una funzione si dice GRAFICO di f l’insieme

→ {

(, (): ∈