Prove d’esame svolte di Analisi matematica 2

Prova giugno 2024

19 & (2(x * 3y) ( = 4x2x (y:, -1 . log(2x y)f(x) +2(x)= y -- definitoé XX =X O (disuguaglianza strettadefinito2(x) logy e2(x) XX- 20y y o>- - 2(x)=y 4x2=yLog(2x y) -2x y)o-- 2xy =- -2xy <((X 2x]y)[12 axD = y(== , aX=2x ya inferiorelimite2x< >-4x2 superioreLimite= >- inferiormenteD) superiormenteLimitato LimitatoDe =>VERO chiuso frontiera↓ suoiitutti punti dicontiene=4x2x ( =yVdisuguaglianzaStretta chiusoinferiorefrontieraD èlimitei deldicontiene punti nonnon =>FALSO 4x(0 0) =c in 2x < y,00142 0. .00 OFALSO (0 0)Puntoa ,Ogni interni Dpunti esternicontieneintorno edsuo aPrendo intornoad di 1raggiounes .(1 0) 4=20-, DPunto esterno a( 0) 20141 -- , DPunto interno a(0 0) frontieraèDunque dipuntopunto esterno manon,FALSO & Tz)t( -163((x z2(xi y.2 c +y : ++= , ,1(fx zaxdydzyz ++ z2164xx2 yz 42+ -p=+sfericheCoordinate : SeS cost attopsinyX = ,sind yE 0 ipsingy = ,Z 42DEpcosy= ,sinycost sinysing cosypcosycost prosysing psiny5 = -costpsingsind Opsiny- Psinycost(-psintycosO-pcostycost)(psintysind-postysing)psinsinddet == - -(-pcost)psinsind (-psing) Psinycost> =-= 2psinysino psingcoso singp+ == do>psing dpdxdydz dy 1(((sing apayau)))y(f anaxayaz ==x += (Cap)( * sing an) do= =/singdy) do == (2 * *(/ singay) do= =O 2π "au/ ecosy .= =-O 2π↑ di2cost 02 cos- +- =S 2π= d ==tutte derivatele 3parziali nel puntoo= -z33xyzsin((x)z)f(x.3 2yz ++ +y +=, ,f(0 0) 1Sino 11 3 20 20 0+ ++ += =..., ,of(x (cos((x) 3yzz)y +=, ,f(x z) 6xy +y =, ,(x 3zz) y= +y ,, =(0 1)Punto critico in . =(0 0) 3 =.3 1so == ++1, ,(0 0 6 11 .0 == ., ,ha (0 1)incriticopunto 3per x& = -. ( 0)(0 0) punti di sella, ,,4x3yf(x y)4 3xy= -, (X y) dio punto sella< =2 ,12x2 (XS y)fx relativomassimodipunto01 0,3yy 0 == =- ,4x3 (X y)fy relativominimopunto di3x , 0130 =0== - ,4x3 3x 0=-4x2 3==x2 15X =X 0= 12 3y 0X 0 0 y:= =. . -3y 0=- (0 0)y 0 -= ,12(b)E sy 0X y =:= -.12 3y 0y =-9y 3y 0=-6y 0= (E 0)0y -= ,( j 0)2 :x y 0 -= -= - ,( 0)2(0 0)Punti +critici : . ,,8xy 12x2fxx 24xy 3== -12x2fyy fyx 30 == -xy12x224 3-Hf(x y) =, 12x2 O3-3 0g =- 1 (0Hf(0 0)0) Selladipunto= ,, 903 O = -- 2 32 6O3 024 12 . =a0 1. -. =,C o)5 0)Hf( punti di= sella==, . 36012 -3 C 6 = -G 2sin(1 y)x = arctan(xy)+ + sin1X+ -+ X(2xycos(1 x cos(1 xx + y)y)F(x y). 15 + ++ +=, ,(xy( (xy)1 +Yx2xycos(1 y) 1ux +++= (xyz1 + Y(Cxycos(1 x y) f(y)1axu +++ += (xy(21 + (Jexycos(1 - (costdt sin(1x y)ax y)xcos(t) at sintxxy +=+ === 1- ytt dX1 2xyx+= = = 2xyY 1↑ at arctan(xy)arctant(xy)2dx == =- + =dtt dxt yXy= = =(1ax x=sin(1 f(y)y) arctan(xy)=U xx + +++= x( += m 2' x( y)x (y)y)Ve +++ +=xy( 2xy)f'(y) 0= Jodyf(y) c== sin(1u(x xy) y) arctan(xy) cx +++ +=, sin(1 0)0)u(0 arc tano 00 c+++ =+=, Sin 1 c 0+ =sin1C = - *Sin(1 y) arctan(xy) sin1u(x y) X+x+ += -, - π=< F((t) .6 y(1 1+F = y+ sintcost 1sint +27 +F(u(t)) == sindt'gcostcost sin't++ GT(27 cost 1)sintsint= + +,( cost)w'(t) 3 sint= ,#↓ (-3sint1) cost)(27cost sintsint dt+ + =,,= m costdtcost 3 sint cost ++ =-#↓ sing cost dt+ 0=g I u(m) 0 u(0)usint cost dt du 0u == == = cost1 !T or ht↑ a)Eu - )uscost int duatsinton 01 0== = =- -- -O 1 u(m) u(0)u dtsintcost 1du 1u = = = == -- -sint I/-bsinttdt / /sinztat1 - E(π-- Ecos2nEcoxt Ecos)+sinztdt3 1 + = +-= == =- - -E(π E) -2 π= - =+ -7 a.. (Xof differenziabile è verificatae Yo)in condizionelase :, += 0(22 k2)per(X (0)h (hh k)k) (X y)kf(Xof(xo 0)y) y +yo + ++ =- ,,.,, , ,(0f 0)è f(X é f(0.6 0)y)(imincontinua esiste edse o= =, ,,(0 0),x ysin(ty)( im yz)((X)0)(x2 (y)(0 + +,S postX = psindy = sin(apsind) * costosin(4psind)pacosopsind costosinG4p - ELim 2- == =I cost I sing⑮(Icosti(Ipcosl(p IsinG) +IpsinG)5) ↑0)(0 ++-, ,pim 2 = f(0Dunque 0)Lim 0= =,(x (0 0)y) -, ,& (0 0)è continua in ,f é esistono tutte derivatederivabile parzialilese.C suef(h f(00) 0)- ,,8x(0 0) = =, hh2 &Sin 00 ...Lim gimo 0= = =h yz)(h)(h2 1y))+- + f(0f(0 k) 0)-, ,8y(0 0) =im =. Ksin(4k)K0 . LimLim 0 0- = =K kk 0-0-Poiché (0 (0f fe0) 0)derivabilesiainderivabile siaè invispettorispetto alloraaX ya ,,d . by(0f(0 fx(0f(h 0) 0)h 0)kk) -,- -, , ,Lim C=ha(0 k2(h k) 0)- +,, 22 ksin(tk)f(f (h (0 0)k) k) +=, , ,1k)kz)((h)(h2 ++f(0 0) 0=,fx(0 0) 0=,by(0 0) 0=, h2ksin (4k)kz)((h)(h = (k) h2 k+ + sin(tk)Lim = kz)(22(h2 kz)((h)(h |k1)(0 k0) h=k) +- ++ +,, diversilimitiCerco due concurve :CPh f(0 k)0 o= >= -, k21k/k#sin(tk) sin(tk) ~ E2)h f(k k)k == ==, 2 k2k 42kk2. . 10 differenziabile 0)Ho fvaloridue eesistetrovato diversi inlimite quindiilnon e=> non ,. a8 . /R frontieraSia D superficierispetto cartesiani edominio limitato assiglisempliceun cuilatuttiC tre regolareunaa, e a, (1(D)Fi FzEindichi FzE .&D vettorialeorientabilePezzi il Sia Festernonormalenesi versorecone campounea ++; =formulaAllora lavale :( N Faxaydz ne as= -Foto=Fd ove.b (arctanz)x2 yzZ + =e Carctanz)~1 P =- arctanzp = ha cerchioogniA si nel raggiopianoaltezza z Xy conun,r(z) arctan(z) , dizogni valore 1traper oY e=>o che (per ,funzionearctan(z) da pianoe poiparte o 0)o cresceuna ==fino arctan(1) 785= 0a .X Ze- ymnoLXUso il dellateorema divergenzaC . M (pF ne asaxayaz+ =peró chiusasuperficieLa è superficie partiletolgoapplico ilaperta alla aggiunteteorema e: "Tappo"chiudere inPer aggiungeredevo superioreSlat Stop è superficieU allail normaleversoren=chiusa (Stop) èdisco piattoilIn questo caso e,(arctanz)2}((x 2 =xz)S(at = 1 ilgiace= quindi vettorepiano 1nel0 z Zy y: += =, ,, , (perpendicolare) énormale questo pianoa M{(x arctant}1) yzx cheStop direzione= puntaquello iny Z: += .,,Dunque : (U UsopFFaxayaz F neas ne as+= -+ UsopUs =Freds asaxaydz- Ne1)(0n 0= -,,Calcolo divergenza := o% 0== + 5divF 00 += = z2 1 + sindE costP arctanz0pcost OSyzesin ,X = psind 0postoprosi =psinj O + po ==Se = -2π0 , 1O OzE 10 ,(1 yarctan(V, pdp)dz)dodivF = =2T15= cartan z) do == arctantzdz)= arctantzdz) do =z21 + 1 z)dt(1 #(1)t +(0)arctan1+zdzt arctanoarctanz o+= = == ==1 +/4= ! 1 z)dt)dot ( =z1A= di =C==()3=Stop dearctantoPE 2o, ,,(((eb 1)dxdydz)1,log(1( (05arctan1)x yzx)1 0F ne as + + ++ =-= , ,,Stop (fx y2 5arctan1dxdyde+== + =- pa= *(2( + pdp)dop-= =O +- Ep=- == +- == (7)3- (i)"() ) -- 5= = -(- Stop)Scat = - (E) (1)(E)= - 5-

Prova luglio 2024

aè inferiormenteA1 limitato superiormentenona o. FALSOz2b x 0y =-- chiusoA èfrontierapuntisuoitutti diicontiene =VERO(0 0)c 0-0 - 0 00 ok=, ,(1 0) 01 No- 10 0 00 = =--,,(0 1) 0 1 NO10 00>0 == -- -, ,(0 0) èfrontierae punto internopuntodi0 nonun =, ,FALSO zdx 0y =-- 2z2 y X=- -z2 x= y= -X2=z y= - ha funzione g(Xgrafico èIl y)valore ogni zsolo perun e nonnon una= = ,FALSOVERO2 zxF 0y =-- frontieraContiene tutti i suoi dipuntiVERO 22πy231((x xz)c === 2.2 0 z +y := -, , cilindricheTrasformo in coordinateSe= 2= z0 p-= == =z2 per0 020 z=p p =-Gao 2π (((((20(512 z)-512-N paz)dp)av(2 z) axdyde- = =-, t(2 p) pt(0)zt 2t -1dz dt 22 p+= == = ==- -- -=* p =(5 (f 52at) ap)do-= =Ci= 2((Ep 31)dp32 22--2= =--Eenp 11-= 2Cp1121E EpCi= . =312Cn(t(112 - 4)2= =.-(a c)2 += == =382 22- #= =362 22 πT- =3·(X0 y0) 0, 1xc -(X y,yef(x y) sinx3 +=,. ef(0 1) 10+ ==,(x **y) cye cosx+=,of ed(x y) =,& ce(0 1) coso co+=, 102 + 12 -(0 1) 1, (5)(0 0) minimopuntopunto di sella di, ,2x3 yzf(x y) 4xy.4 += -,S 6x2fx 4y 0= =-fy 4x 02y= + =-6x2 6x24 4xy 2y4y 0 == =- 3x6x2 Ey4y xy ===2 zyx 3y=X = 2x2 6y3y 4y+ 004x 2c2y 0 =- ++ == -.-y(2 3y22) 3x2- by4x 000= == -- y(2yX(3x 4)4) 00y o == --= 0 y0 XX 0= == 033x 4 4y == = . 5Ey5X X == ==y(5 5)(0 0)Punti critici : . ,,8xx 8xy 912x == -fyxfyy 92 == -12x 4-Hf(x y) =, 4 2- 0=4O 1- (0Hf(0 0)0) selladipunto= ,, 4 2 160- = -2 16=4 1= (t)-5)Hf(5 relativominimopunto di, 162 0= -2 differenziabilità fL'esistenza necessariamente. derivate versori5 direzionali Lungo i laimplica dituttidelle ina non XFALSOb differenziabile èèfunzioneSe necessariamentein inpunto allora continuaununa XX ,VERO chedifferenziabilità fLa l'esistenza sianoin parzialiderivateC garantiscedi continueimplica indelle in nonma Xx X ,FALSO che fhaf anchefd chedifferenziabileèSe eparziali implicaderivate continue intorno continuaildi allora inin inxun X x,,VERO finitadifferenziabilità f l'esistenza direzioneLa2 implica Limitedi in ognidel per v.xVERO chef La ffderivabilità implica continuasiadi in innon XxFALSO (2 8)max 72 punto max= :, ,.6 Parametrizzazione :1YGi E8 - te0 ,X 0= ty = > XGX t=y 0=S (0 t)Un(t) = ,=CC:· E te 80 .(t 8)Un(t) = , ttf(0 t)f(0ge(t) (t)) t2 00 ++== = =..-+ ,gi(t) 2t t0 0== ==gr(0) o= 2t 2thf(t 0)f(02(t))e(t) t09 0+ += = == . --,g2(t) 4t t0 ) 0= = =-92(0) o= t8 tf(wy(t)) f(8 t)(t) otot 1282 +9) ++= == = -- .,g3(t) 2t 8+ 0= =2t g= -t 4= -93( 4) 128 13416 32 == -- - - 2t2f(wx(t)) f(tge(t) 8) ot 64+ += == -,g(t) xt 8 0+ == - t& 8=t 2=g)(2) 8 7284 16 642 642 + + ++= ==.- . -Valore 72max = 8)(2Punto di max : ,7 a. . (b a)-f IRSia funzioneb blimitata Si intervalliniinconsideri dipartizioned ampiezzadia unax una n· ac: ., n,, (d c)-mediante intervalliniinun'ana