Appunti completi ed esaustivi per l'esame del corso di Fisica 1

FISICA

Interazione con l'ambiente

ESPERIMENTO <--> TEORIA

INDICE DEI CONTENUTI:

• Meccanica classica
  • Analisi dimensionale
  • Teoria degli errori
  • Cinematica (punto materiale)
  • Dinamica (Leggi di Newton)
  • Energia/Lavoro
  • Sistemi di molti punti
  • Corpi rigidi (Tema d'esame)
  • Gravitazione
  • Fluidi
• Termodinamica
  • Calorimetria
  • I/II principio
  • Gas
  • Entropia

INDICE DEI CONCETTI

• Descrizione e cause del moto
  • => Leggi: di Newton (valide solo in certi circost.)
  • Sistemi di riferimento inerziali
• Fisica = Geometria
  • => Molti esercizi si eseguono usando le
    • Leggi di conservazione (energia, q. di moto, mom. angolare)
• Fisica = Informazione

ANALISI DIMENSIONALE

• Sistema fisico: parte di universo che studiamo
• Esperimento: misurazioni di una grandezza fisica
• Grandezza fisica: proprietà misurabile del sistema

Esempio domanda: Quale è il valore di una certa quantità X?

... L'equazione / uguaglianza non vale più!

=> Vuol dire che la relazione sarebbe valida solo per certe unità di misura, e non universalmente. Assurdo!

sin(θ) ha senso solo se θ è adimensionato!

Perchè sin θ = θ - ^θ3/_3! + ^θ5/_5! + ...

quindi: [sin(θ)] = [θ] = [θ⁰] = [θ⁰] = [L⁰M⁰T⁰]

esercizio. x = yz²

[y] = [L⁰M^αT^β]

[z] = [L^γM⁰T⁻¹]

[x] = [L²M¹T⁻²] = [L²M^γT⁻²] = [L²M¹T⁰]

d = 2, β = 1, γ = 0

esercizio. Un punto materiale si muove secondo la legge x = √(2ε) + ^α/₂ et².

Determinare le dimensioni fisiche delle costanti h e t. ε = ?, t = ?

[x] : [v t] = [α t²]

Di solito però le misure prese sono molte, per questo la definizione dell'incertezza diventa:

oppure

Da qui si ricava la VARIANZA:

Vantaggi:

se N=1, con la prima definizione mi verrebbe che σ_x = 0 che non ha senso! Con l'altra si avrebbe 0/0 che è indeterminata, il che ha senso!

Perché la deviazione standard è la miglior misura d'incertezza?

Potrebbe aver senso sommare fra loro gli scarti? No!

Si potrebbe fare la sommatoria dei valori assoluti, ma usare il quadrato è meglio per fare i calcoli!

INCERTEZZA RELATIVA

ERRORE RELATIVO = valore assoluto per far sì che risulti positivo

... > ∂g/g = ( z/t2 ∂h + 2h/t2+z ∂t ) t2/zh =

= ^∂h/_h + z/_t ^∂t = 0,1⁴⁴ + z/_42,5 + 2,9⁵⁸ 0,08 =

= 0,0099^.100 = 0,9% - Assumiamo ora che ci siano errori casuali.

√( ( ∂g/∂h ∂h )2 + ( ∂g/∂t ∂t )2 ) .t2/zh = √( ( z/t2 ∂h )2 + ( - 4h/t2 ∂t )2 - t2/zh ) = 0,007

- > 100 ^∂g/_g = 100 . 0,007 = 0,7%

esercizio: ξ = v²sin(2α)/g , g = 9,8 m/s²

α = ( 0,52 + 0,01 ) rad , ^β_s/_1s = 0,01 , ^β_g/_1g = 0,01 ,

^δv/_1vvox = , incertezze di tipo A => somme in quadratura

s = ^v/₂ sin(2α) = ^g/sin(2α)] =

ν = ( ^gs/sin²(2α) )^1/2 => definendo la variabile

x = ¹/sin(2α)

→ γ = ( gs_x )^1/2

... → s(t₀ + Δt) - s(t₀) = ∫_t0^{t₀ + Δt} |v(t)| dt ≠ Δx

esercizio:

A x(t) + 2A² = B² t , calcolare :

1. le dimensioni fisiche di A e B
2. la posizione x(t = t₀) tale che v(t₀) = 0

1. A√x = B² t - 2A² → [A][√x] = [A²]

→ [A] = [C t^-1 √x]

[B²] [t] = [A]² = [L] → [B²] = [L][T^-1 × T^-1]

→ (B) = [L t^-1 . t^-1]

2. A√x = B²t - 2A² = (A√x)² = (B²t - 2A²)²

= A²x = B²(t² - 4A²B^-2t + 6A⁴)

= x = A^-2B²(t² - 6B^-2t + 4A⁴)

= v = 2A²t - 6B^-2 • β² = v = 0 → 2t A² - 6B^-2 • β² = 0

= t^~ = (-6β²) / (2A²) = - zA² / B² → É è il tempo in cui la velocità si annulla...

...→ α(x) = _dν/^dx = _dν/^dx ∙ ₁/^dv ⇒ ν(x(t)) = ν(t)

= ν(x₀) + ∆x = ∫_x0^x₀+∆x ν(x) dx = ∫ ν(x₀) dx

= ν²(x₀) ∙ ∫_ν(x0)^{ν(x₀+∆x)} v(x+∆x)

⇒ ≃ ∫_x0^x₀+∆x dx = ∫_r(x0)^v(x₀) dx ⇒α = ∫ v(x) dx

= ν²(x₀) ∙ ∫॒(x_{0+x) - v²(x0)}

Dimostriamo che data uno δ(x) e (g(x))

= _dℱ(k)/^dx = _d(x)/^dᴣ ∙ _d(pagex)/^dx

Ⅰ) ℱ(x₀, ∆x) ≃ ℱ(x) + _d/^dx dx

Ⅱ) g(x₀+dx) ≃ (x)+ _d/^d

Ⅲ) δ - (x+ₓ) = _d/^dx dx

⇒ δ(x+ₓ) = δ(x(x+∆xx) = δ((x)+_d(pagex)/dx)

LEGGE ORARIA:

x(t) = x(0) + ∫₀ᵗ v(t') dt' =

= x(0) + ∫₀ᵗ (v(0) e^-kt') dt' = x(0) + v(0) ∫₀ᵗ e^-kt' dt'

= x(0) + v(0) e^kt'/_-k |^t₀ = x(0) + v(0)/_k (1 - e^-kt)

Riassumendo: x(t) = x(0) + v(0)/_k (1 - e^-kt)

• v(t) = v(0) e^-kt
• a(t) = -k v(t)

moto smorzato

esercizio moto rettilineo, k = 1 m/s², o = 1 m/s²

v(t) = kt² - ot - 6 m/s, Δx tra 1 s ≤ t ≤ 4 s,

spazio percorso in 1 s ≤ t ≤ 4 s

v(t) = 1 m/s² t² - 1 m/s² t - 6 m/s > 0

=> t₁,₂ = [1 ± √(1 + 24)]/2 - 3 s