Appunti completi di Statica - parte 1/3

VETTORI APPLICATI

(P, v)

Retta di sostegno: retta su cui giace il vettore

S: sistema finito

Insieme discreto di punti

S: distribuzione lineare, superficiale, cubica

Insieme continuo di punti che si distribuiscono su una linea, superficie o volume

MOMENTO POLARE

(P, v) Q

M(Q)= QP x v

Dato un vettore applicato e un punto Q, detto polo, definiamo un momento polare il

prodotto vettoriale tra la distanza QP per il vettore applicato

1° dimostrazione: FORMULA DI TRASPORTO (esame!)

M(Q’)= QP x f —> M(Q’)= [(Q’Q) + (QP)] x f = (Q’Q x f) + (QP x f) Se il polo si sposta lungo la retta

= M(Q) + Q’Q x f di sostegno di f, il momento non

Q’P= Q’Q + QP cambia perchè annulla il termine

di trasporto

- sistema di forze

1. RISULTANTE (somma delle forze) (somma dei momenti delle forze, calcolo il

2. MOMENTO POLARE RISULTANTE momento delle singole forze e poi li sommo)

- osservazioni 1) Condizione necessaria e sufficiente affinché M(Q’)=M(Q) è che r=0

Se r=0 —> M=0

[M(Q’)=M(Q)]

2) Il momento non varia se il polo si sposta lungo la posizione della risultante

Q’ r —> prodotto vettoriale= o quindi M(Q’)=M(Q)

SISTEMI EQUIVALENTI Polo Q: punto generico nello spazio

S e S sono EQUIVALENTI (o equipollenti) se hanno uguale risultante e se hanno uguale momento

risultante rispetto al punto in cui è definito il polo

- teorema di Varignon S è equivalente a r applicata in P

P: Punto di concorrenza delle rette di azione

Traslo tutte le rette lungo le rette di azione in modo che i punti di

applicazione coincidano con il punto P

QP è uguale per tutti i termini della sommatoria, quindi posso

portarlo fuori

Applico la formula di trasporto

PPi sono tutti vettori alla forza quindi il vettoriale è =0

GENERALIZZAZIONE DEL TEOREMA DI VARIGNON PER VETTORI //

trovo la risultante

trovo il momento

Eguaglio le due quantità

APPLICAZIONE Al CARICHI DISTRIBUITI

1. Esempio 1 - carico uniforme

2. Esempio 2 - carico triangolare

INVARIANTE SCALARE dalla formula del trasporto

Aggiungo il versore r solo per avere un'espressione vettoriale e non scalare

→ O

Ottengo 2 vettori ortogonali La componente del momento è una costante