Appunti completi di Fluidodinamica numerica (FNAI)

5. METODO AI VOLUMI FINITI

Per applicazioni ingegneris�che il metodo alle differenze finite è stato quasi del tuto rimpiazzato dal metodo ai volumi

fini�, molto più intui�vo e versa�le; pra�camente tu� i codici commerciali sono ai volumi fini�. In modo del tuto simile

a quanto accade nel caso delle differenze finite, l’approccio ai volumi fini� presuppone di semplificare il dominio di

ogni cella della griglia determina un volumeto elementare per il quale sono

calcolo suddividendolo in una griglia;

discre�zzate e risolte le equazioni di governo. L’elemento di base della discre�zzazione non è più il generico nodo della

mesh, come avviene nella FDM, bensì il volume della cella di calcolo stessa.

Il punto di partenza, a differenza degli elemen� fini� che parte dalla formulazione differenziale delle equazioni di

equazioni di governo in forma integrale non stazionaria

governo, è il sistema di con un riferimento ad un pari a

fisso nel tempo e una pari ad

:

In tale formula è il vetore delle variabili conserva�ve, vetore flusso che include entrambi i contribu� diffusivi e

conve�vi rela�vi ai flussi ed infine che rappresenta un possibilie vetore di termini sorgente.

Assumiamo come volume di controllo ciascuna cella di calcolo e come superficie di controllo le facce della cella

stessa. Le assunzioni fate sono che:

Il vetore delle variabili conserva�ve dipenden� è assunto costante all’interno di ciascuna cella;

•

I vetori flussi sono costan� su ciascuna delle facce della cella.

• formulazione semi-discreta,

Così facendo è possibile discre�zzare le equazioni di partenza otenendo una chiamata così

perché sopravvive solo la discre�zzazione spaziale e non quella temporale. Facendo il prodoto scalare si o�ene

∙

la componente del vetore flusso nella direzione normale alla rispe�va faccia:

Con il metodo ai volumi fini� si ha la possibilità, quindi, di tratare separatamente la discre�zzazione spaziale da quella

temporale. Questo disaccoppiamento dei due ambi� porta a due conseguenze:

1. Possiamo u�lizzare lo schema più adato con l’ordine di grandezza a scelta per entrambi gli aspe� di

discre�zzazione senza che l’uno influenzi l’altro;

2. Si presta bene per implementare tecniche per l’accelerazione della convergenza.

PROPRIETA’ DEL METODO AI VOLUMI FINITI

Le coordinate dei nodi della cella in cui si considera il vetore flusso non appaiono esplicitamente, cioè rappresenta un

valore medio nel valore della cella e quindi non legato ai nodi della mesh. Le coordinate

della mesh compaiono solamente quando si vanno effe�vamente a calcolare i volumi

delle celle e le aree delle facce. Il flusso normale atraverso una faccia contribuisce, con

conserva�vità.

segno diverso, a due celle adiacen�. Questo assicura perfetamente la

Le coordinate del punto in cui si considera applicato, non compaiono esplicitamente

( cioè non è associato ad un punto del dominio ma riferito alla cella). Quindi le

coordinate dei pun� della mesh compaiono soltanto per il calcolo delle aree e dei

volumi. Ciò rende potenzialmente tale metodo molto semplice da implementare. 30

CASO 2D

Consideriamo il semplice caso bidimensionale con celle a forma di quadrilatero e sviluppiamo la somma a primo membro

(discre�zzazione spaziale):

va da 1 a 4 perché appunto è un quadrilatero. Quelle che in tre dimensioni sono aree adesso diventano lunghezze,

quello che è il volume adesso diventa un’area Ω della cella. Con riferimento alla schema�zzazione precedente si ha che:

Dove tuto il termine fra parentesi quadrate è la somma dei flussi atraverso le varie facce, e in par�colare è la

proiezione della faccia lungo essendo direto lungo (stesso ragionamento per gli altri termini).

L’area della cella si può valutare come prodoto vetoriale fra le diagonali:

CASO 3D

Facendo riferimento ad una cella esaedrica avremo:

Ogni faccia del poliedro possiede una propria normale e la formula generale per il calcolo del flusso non cambia;

tutavia, si considerano 3 componen� di flusso corrisponden� alle 3 dimensioni dello spazio.

Le aree di ciascuna faccia possono ancora essere valutate come prodoto vetoriale fra diagonali:

Il volume si calcola come somma dei volumi dei 6 tetraedri in cui la cella è suddivisa.

Questo processo è reso possibile grazie alla strutura della cella, la quale permete che

le coordinate dei suoi nodi siano impiegate esclusivamente per il calcolo dei volumi e

dei nodi stessi. Il procedimento sarebbe semplicemente implementabile in coordinate

cartesiane senza necessità di introdurre le coordinate curvilinee. Di fato, però, le

moderne formulazioni dei flussi numerici fanno uso di quan�tà che è più conveniente

esprimere nel dominio computazionale anziché in quello fisico. Il risultato è che

comunque conviene passare ad un riferimento curvilineo generalizzato. Riferendosi

sempre per semplicità al caso bidimensionale, nel metodo alle differenze finite è

necessario avere celle quadrangolari perché si devono effetuare le derivate su

ciascuna delle linee coordinate della mesh (mesh necessariamente struturata) mentre nel caso dei volumi fini� non è

necessario e la forma geometrica delle celle di calcolo può essere qualsiasi e anche non struturata, per la quale non si

può definire un mapping tra un dominio fisico e quello computazionale ma la discre�zzazione del dominio di calcolo

viene effetuata tramite elemen� di forma geometrica generica opportunamente indicizza�. 31

La metrica della trasformazione in coordinate curvilinee può essere associata con la proiezione delle facce delle celle

nelle direzioni del sistema cartesiano:

Il volume della cella coincide con il determinante Jacobiano della trasformazione. La

trasformazione risulta u�le perché per esprimere i flussi numerici secondo gli schemi più u�lizzabili c’è bisogno di

coordinate curvilinee. calcolo dei flussi

Per quanto riguarda il essi sono valuta� sulla faccia della cella, ma il valore assunto da sulle facce non

è in generale noto in quanto per il è noto solo lo stato all’interno della cella (cella per cella non conferiscono lo

stesso risultato data la non linearità dell’espressione dei flussi stessi). Le opzioni sono:

prima metodologia

1. La propone di definire i flussi all'interno delle celle e successivamente interpolare ques�

valori sulle interfacce tra le celle adiacen�. Questo approccio richiederebbe la creazione di facce fi�zie per

poter calcolare i flussi corrisponden�;

seconda metodologia,

2. La invece, suggerisce di interpolare diretamente i valori delle variabili conserva�ve dalle

celle sui loro bordi e poi u�lizzare ques� valori interpola� per il calcolo dei flussi. Questo metodo è

generalmente considerato più semplice e direto rispeto al primo.

In genere si preferisce il secondo approccio. Nella indicizzazione standard comunemente adotata nel metodo ai volumi

fini� alle celle vengono assegna� valori interi degli indici. Quindi avremo rispe�vamente la cella la cella e la cella

, − 1

Alle interfacce viene invece dato valore semi-intero, quindi la faccia a comune nella direzione i fra le celle ed

+ 1. +

avrà indice Per determinare il valore di al bordo, indicato come , si può calcolare una media aritme�ca

1 + 1/2.

+1/2

dei valori di nelle due celle adiacen�. Questo valore medio sarà poi u�lizzato nel calcolo del flusso.

Il flusso su tale faccia sarà allora calcolato come valore del vetore delle variabili

conserva�ve, interpolato sulla faccia di indice + 1/2:

Si ricordi che i valori delle variabili conserva�ve delle incognite competono alla

cella e non alla faccia, dove invece vi vanno riporta� i valori otenu�

dall’interpolazione.

L’ordine dell’interpolazione definisce l’ordine dello schema e quindi la sua

accuratezza. Di fato se l’interpolazione è lineare, lo schema corrispondente sarà

del primo ordine e così via.

In seguito, è essenziale esprimere il flusso in modo che lo schema numerico soddisfi i criteri di consistenza, stabilità e

convergenza. Verranno quindi esplora� sia gli schemi upwind, che tendono a introdurre una dissipazione numerica per

stabilizzare la soluzione, sia gli schemi centrali, che possono includere una dissipazione ar�ficiale per lo stesso scopo. La

discre�zzazione spaziale sarà accompagnata da una discre�zzazione temporale adeguata, con l'impiego di schemi

temporali specifici per garan�re l'integrità della soluzione nel tempo. 32

6. GRIGLIE COMPUTAZIONALI

La generazione della griglia computazionale è il primo passo da affrontare quando si vuole effetuare un calcolo CFD in

quanto è la fase in cui si realizza la discre�zzazione geometrica del dominio di calcolo: si passa da un dominio con�nuo

ad uno discre�zzato ricoprendolo con un insieme ordinato di elemen� di dimensione finita sulla base dei quali sarà

effetuata la discre�zzazione delle equazioni di governo. L’unione di tute le celle di calcolo dovrà coincidere con l’intero

La corrispondenza

dominio di calcolo (con�nuo) e dovranno essere a due a due disgiunte (non si devono sovrapporre).

fra i contorni del dominio fisico e quello computazionale definisce la topologia di griglia.

Ci sono due differen� �pologie di mesh: struturata e non struturata. Si parla di griglia struturata se le celle di calcolo

della griglia sono ordinate secondo linee: i nodi della griglia possono numera� secondo indici facilmente salva� in

, ,

memoria che permetono di individuare ciascuna direzione nel sdr. Per questo �po di mesh esiste una trasformazione di

coordinate che mappa il dominio fisico in un retangolo nel piano computazionale; quando l’intero dominio fisico viene

mappato in un singolo retangolo si parla di griglia struturata a singolo blocco, mentre quando il dominio fisico viene

mappato in un insieme di retangoli adiacen� si parla di griglie mul�blocco. Una griglia concepita in questo modo è deta

body-fited. In problemi di �po aerodinamico le topologie più comuni sono H, C, O.

1. Griglia O

Il contorno interno, quello che coincide con la superficie solida della sezione della pala