Appunti di Fluidodinamica Numerica

EQUAZIONI DI BASE

Le equazioni di base della fluidodinamica si possono scrivere in forma conservativa o di trasporto e coincidono matematicamente ma hanno un punto di vista variabile.

EQUAZIONI INTEGRALI CONSERVATIVI

Volume V fisso polistatico con bordo chiuso Sda

• Massa:
  • \(\frac{d}{dt} \int_V \rho dV + \int_S \rho u.n ds = 0\)
• Qdm:
  • \(\frac{d}{dt} \int_V \rho u dV + \int_S (\rho u U . n) ds = \int_V \rho g dV - \int_S p n ds + \int_S C n ds\)
• Energia:
  • \(\frac{d}{dt} \int_V \rho E + pH (u.n) = \int_V \rho g . u + \int_S (c h . u + q . h)\)

EQUAZIONI DIFFERENZIALI CONSERVAZIONE

• Massa:
  • \(\frac{\partial \rho f}{\partial t} + div (\rho u) = 0\)
• Qdm:
  • \(\frac{\partial \rho u}{\partial t} + div (\rho u \otimes u + p I - T c) = \rho g\)
• Energia:
  • \(\frac{\partial \rho E}{\partial t} + div \rho H = - \rho V - q I = \rho g . u\)

\(\frac{d}{dt} \int_V f(x,t) dx = \int_v \rho E \quad sono \quad componenti \quad conservativi\)

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DIMISSIONI

• Massa:
  • \(\frac{d p}{d t} + \rho div u = 0\)
• Qdm:
  • \(\frac{d u}{d t} = \frac{1}{\rho} \Delta \rho P + g + \frac{1}{\rho} div \left(\right)\)
• Energia:
  • \(\frac{d}{d t} \rho . \overline{d \rho} = g . u + \frac{1}{\rho} w div w + \frac{1}{s} div p\)

\(P, u, E \quad sono \quad componenti \quad non \quad normale\)

Proprietà Equazioni per CFD

• Le onde d'urto si formano nei compressi in maniera avversa aumentando l'angono.
• Le S. di conservazione attorno sono flussi intorno stan
• Importanza per risolvere con flussi intorno -> non sempre esistono nei pian; stream

Ondo d'urto ci sono diversi metodi.

• Le discontinuità sono visto come soluzioni deboli del problema solver metodo che tratta numericamente le soluzioni e la domina di calcolo.
• Shock capturing methods -> I domini di calcolo e tengono conto box di discontinuità.
• Ci sono altri metodi in cui le onde vengono immodito considerando come discontinuità e finite nelle condizioni di Rankine-Hugoniot
• Shock fitting methods -> Il dominio di calcolo tiene conto della discontinuità.
• Metodo SC, x sistemi comparabili ai onda d'urto non si sa dove avverranno o lo spessore ai onda d'urto coincide con lo spessore di maglia numerico.
• Le zone a onde d'urto scompaiono quello dove si mandano le isolinias di maglia

Metodo SF.

• Sappiamo già la loro posizione e la configurazione vento
• Difficili nei casi stazionali
• + Svantaggi cioè vantaggiosi
• Si può posizionare local errors le onde d'urto con metodi SC e poi applicare SF

Sui metodi SC

• X i metodi SC si ipotizzano le equazioni in forma conservativa

• Long wave onda d'urto si hanno la scianimita dallo problema variabile chiusura i flussisi considerano quantità ma
• Flussi si considerano

[Cpu]=0

[Pu2+p]=0

[H]=0

Condizione al Rankine Hugoniot

• Nei metodi SF vanno bene tutto lo scemio delle equazioni.

Incomprimibili

No gas incomprimibile la deformazioni i identica

Ψ = (Φ, u, v^ww) e Φ = cost e densita²

(Eq. (trazione dei monoapi e dissociazione è non usato)

Comprimibilità Artificiale

Usando la comprimibilità adattato nel formulazione incomprimibile ho:

∂³Ψ₁/∂t + div( ) = f + δu(c)

ω Ψ = (p, u, v, w) e pi = mando l'associaziondo

[ 1/3 ]

[ 0 0 0 ]

[ ∏ ]

Precondizionamento

Moto x rizlasso problema stife

Equazioni di Euler

Nel caso incompressido spariscono i flussi diffus'm viscobi e in assenza di dissogona si evo:

∂³Ψ/∂t + div J(f, g, h) = 0

→ equation Conveitiva del 1° ordine

in torno a non sparso

Linearizzazione Euler

Posto A(u) = ∂³f/∂u, B(u) = ∂³g/∂u, C(u) = ∂³k/∂u

∂³Ψ/∂t + A(u)∂Ψ/∂x + B∂Ψ/∂y + C ∂Ψ/∂z = 0

→ ∂Ψ/∂t + 2f · ∇Ψ = 0

∂F/∂Ψ = L = compressato del flusso

SULLE DIFFERENZE FINITE

VIVIDO IL DOMINIO IN GRIGLIA → u(x_i, y_j) ∈ u_i,j

INTRODUCIAMO GLI OPERATORI ALLE DIFFERENZE:

• δ_xu_i= u_i+1 - u_i → OPERATORE IN AVANTI
• δ_x^- u_i= u_i - u_i-1 → OPERATORE INDIETRO
• δ_x⁰ u_i= u_i+1 - u_i-1 / 2 → OPERATORE CENTRATO

ESPRESSA DISCRETIZZANDO UN PROBLEMA ALLE DIFFERENZE FINITE SI HA UNA SIMULAZIONE CONSISTENTE

   Au^h_i = f^h_i + τ(hⁿ)   con    τ: ERRORE DI TRONCAMENTO

• se A(u^h_i) → ESPERTO
• se A(u^h_i) → IMPLICITO
• τ ERRORE DI TRONCAMENTO LOCALE

PROPRIETÀ DEI METODI NUMERICI

• NEI METODI NUMERICI CI SONO ANCHE ERRORI DI ______________ NUMERICI

• CONSISTENZA: SI HA CONSISTENZA QUANDO τ(u^h_i) → 0 PER h→0
• STABILITÀ: SE PICCOLI ERRORI A UN PASSO _______________ NON RESTANO CONTENUTI (GLI ERRORI RESTANO CONTENUTI)
• CONVERGENZA: SE LA SOLUZIONE NUMERICA TENDE AL SOLUZIONE ESATTA PER h→0

TEOREMA DI LAX: UN METODO CONSISTENTE È STABILE E CONVERGENTE

STUDIARE ______________ ______________ DI UN PROBLEMA È UNA PARTE DEL DALL'ANALISI DI STABILITÀ

Schemi centrali con dissipazione artificiale

• Gli schemi centrali non distinguono tra onncolare
• Instabilità del comportamento -> non vengono controllati questo fenomeno pulsione a ting o modo
• Così gli schemi centrali presentano instabilità
• Oscillatorio che devono essere smorzato da una dissipazione artificiale
• DECHEMIST non CARR RIDISALRI
• Alcuni schemi DC di ORDINE si possono usare TERMINI
• TRONCALI nel DC come altrastri gli Oscillatori e forma aiutano
• Negli schemi ordinario secono bisogno oscillotermato
• CercareSIA
• Individuare dissipatione artificiale che man il velocidadure ai node acole
• Inoltre quartono viscor dei IN SI ha la dissipazione fisica che
• PUù non dissavo differentiato concinto dalle SN

Ebro applicazione a volumi finiti

• L'implementazione di uno schema centrali a volumi finiti del 2O
• Ordino lo possiamo determinare conou:

U_i+1 = 1/2 (U_i + U_i+1) , f_i+1/2 = F (U_i, U_i+1)

• Ovamo Legistration ai VF Divanato

∂u/∂t + ΣF•S - D(U) = SV

• Osserva D(U) un ordinator a dissipatione artipicicia

Schema di Jameson

Schema di Jameson involving una dissipazione artificiale

TRA differeno finito dei 2 e 4 grado

D(u) = Σ_k (δ_k - δ_k-1) U k = 8, 5, 5

• δ_k: ANT. Finale di ordinaria

• X minimizes la dissipatione artificiale nei SL si può ottenere una scultura con gli automunsotci, linearization dei tipstrimi dei fisici:

{ δ²kU = δ_k^r(Λ_k+1/2^ε_k+1/2) S_kU δ⁸a U = δ_k^r(Λ_k+1/2⁽⁴⁾_{εk+1/2) Sk^kU}