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Dimostrazione della funzione di scoring

Proposizione: sia M la matrice di MRP di un poset finito π con n elementi, sia la sua decomposizione a valori singolari e sia la prima colonna della matrice V. Allora la funzione definita da K = (ò , … , ò) è una funzione di scoring.

Dimostrazione:

Ciò che la proposizione afferma è che le componenti del primo autovettore di M associate agli elementi di π preservano strettamente l'ordine, oltre ad essere non-negative. Dobbiamo provare che Z ⊲ Z ⇒ ò < ò'.

Anzitutto, da Z = MZ ricaviamo che:

Z = MZ ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - 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M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M)Z ⇒ Z = (I - M

di,gM) con i coefficienti della prima colonna di moltiplicata per il primo elemento della diagonale(9.di . Per il teorema di Perron – Frobenius questi coefficienti sono tutti non – negativi, quindi laÄgenerica componente è una somma pesata del vettore delle mutual ranking probability di ,ò Z' 'cioè dei suoi “gradi di dominanza”, contenuti nell’i – esima colonna di M.Tali componenti preservano l’ordine. Per mostrarlo, confrontiamo i – esima e j – esima colonna diM quando , osservando che:

Z ⊲ Z' (1. Se e se nell’estensione lineare allora è anche , pertanto perZ ⊲ Z Z ⊲ Z l Z ⊲ Z' [ ( I f ' I f (si ha sempre che (cioè domina con un grado maggiore rispettoℎ ≠ ó ≠ 8 , ≤ , Z ZI' I( ( Ia quanto domini ).

Z Z' I2. Poiché si ha eZ ⊲ Z , = 1 , = 0.' [ ( '( ('3. Gli elementi e sono entrambi pari a 1 per costruzione.

,,'' ((Nava Sara Statistica e Gestione delle Informazioni A.A. 2022-2023

Di conseguenza la j – esima colonna di M contiene elementi tutti maggiori o uguali dei corrispondenti elementi della colonna i – esima e contiene un elemento strettamente maggiore.

Pertanto, la somma pesata degli elementi della j – esima colonna è strettamente maggiore di quella dell’i – esima colonna, cioè ò < ò .'

(Osservazione Potremmo anche considerare altri tipi di medie e generare così vari indicatori alternativi di %IA.) ∑dominanza. Una funzione di scoring alternativa potrebbe essere (media della P(Z = ,' I' colonna delle probabilità dell’i – esimo elemento, ed è anche la media delle posizioni di nell’insieme delle estensioni lineari del poset).

Z ,'Una volta ottenuti i punteggi, si genera un ranking semplicemente considerando la classifica che ne deriva.

Forzatura di un ranking

Il poset è un'anti catena, gli elementi saranno poco comparabili tra loro e qualunque scoring/ranking risulterà una forzatura.

Se il poset assomiglia ad un ordinamento lineare, i suoi elementi saranno tra loro tendenzialmente comparabili e il ranking finale sarà una buona approssimazione della struttura d'ordine iniziale.

Una misura sintetica di incomparabilità di ciascun elemento si ottiene con una media delle colonne di I.

Perciò potremmo pensare di associare ad ogni elemento sia una misura di ranking che di incomparabilità.

Osservazioni

• Applicare scoring ad un ordinamento lineare, si ottiene un ranking coincidente con l'ordinamento di input. Perciò la matrice di incomparabilità è la matrice nulla (se N = ' (e l'ordinamento è lineare, allora min (, , , )' ( 'necessariamente il minimo sarà zero, poiché un elemento domina sempre sull'altro).
• In sistemi

multidimensionali di indicatori, è possibile che due unità statistiche abbiano lo stesso profilo (esempio in figura). L'insieme delle unità statistiche non costituisce un poset ma un cosiddetto quasi-ordine. In questo caso, la costruzione dei punteggi e del ranking può essere conseguita considerando solo i "profili unici" e poi assegnando ad ogni unità statistica della popolazione di input, i punteggi di dominanza e di incomparabilità corrispondenti al proprio profilo.

MULTI INDICATOR SYSTEM

dove è un insieme di gradi ordinali. Ho quindi k variabili ordinali e queste variabili non devono per forza avere lo stesso numero di gradi. Assumo che ogni profilo sia unico, quindi non ci sono duplicati: prendo X e lo rendo un poset, in cui vale la seguente relazione: Z ≤ Z ⟺ Z ≤ Z ∀P = 1,

Disposizione un insieme di indicatori multidimensionale di tipo ordinale aggiunga contenuto informativo ad un poset generico. A questo punto tratteremo:

1. Ridurre la complessità dei calcoli;
2. Introdurre l'importanza delle variabili;
3. Separazione: come tener conto meglio della distanza tra elementi (cioè stabilire quanto l'elemento dominato "stia più in basso" dell'elemento che lo domina, quantificando per mezzo di possibili profili intermedi);
4. Pesi: come tener conto eventualmente del fatto che i nodi sono pesati.

RIDUZIONE DELLA COMPLESSITÀ DEI CALCOLI - ESTENSIONI LESSICOGRAFICHE

Anziché considerare tutte le combinazioni possibili e tutte le possibili estensioni lineari ottenibili da un poset, vado a considerare solo le estensioni lessicografiche (che sono esattamente o!), Nava Sara Statistica e Gestione delle Informazioni A.A. 2022-2023 ovvero quelle prima ordinate secondo una variabile e poi secondo un'altra:

Utilizzare estensioni lessicografiche: se il numero di variabili è basso così come i gradi di dominanza! Inoltre, posso usare le estensioni lessicografiche per semplificare il calcolo dell'MRP: esso è vantaggioso per due motivi:

• Il calcolo è ovviamente più veloce poiché ho meno estensioni
• Il calcolo è analitico e non è necessario disegnare tutte le possibili estensioni (oW! - P - 1)!^* = c *' ( (o (o - P)! - 1)!0AG

Dove:

• p: numero di variabili su cui Z ⊴ Z' (k: numero di variabili
• q: numero di variabili su cui i due profili sono uguali, quindi numero di variabili che vengono dominate in egual modo dai due profili

Nota: può accadere che due profili incomparabili, con questo metodo di ranking, MRP potrebbero riportare un ordine invertito rispetto a quello che si ottiene con il calcolo completo (non è un gran problema poiché si tratta di profili).

BENCHMARKING E VALUTAZIONE

Come facciamo a catturare l'importanza delle variabili? Dipende dall'informazione che do in input. L'informazione è già presente nella struttura del dato, poi la estraggo. Il punto è come costruisco la struttura del dato.

Il concetto è: siamo d'accordo che se uno ha più di un altro, sono più ricco di te. Component wise è qualcosa che non è discutibile, è un criterio incomparabile.