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S T T T T T T2π4 ⋅ Rdove è il guadagno dell’antenna trasmittente, R la distanza in linea retta tra le due antenne eGTϕ θ, la direzione angolare nel sistema di riferimento dell’antenna. La potenza ricevuta, cioè quellat tdisponibile sul carico è data da: 2λ 0R θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕ( , ) ( , ) ( , ) ( , )= ⋅ = ⋅ ⋅P A S G SR eff R R T T T R R R T T Tπ4dove Aeff è l’area efficace dell’antenna ricevente, S la densità di potenza, il guadagnoG Rϕ θ, indicano la direzione angolare nel sistema di riferimentodell’antenna ricevente e r rdell’antenna ricevente.Sostituendo l’espressione di nell’ultima formula se ne ottiene una nuova che correla la potenzaS Ttrasmessa con la potenza ricevuta: 2λ0R θ ϕ θ ϕθ ϕ θ ϕ( , ) ( , ) ( , ) ( , )= ⋅ = ⋅ ⋅P A S G SR eff R R T T T R R R T T Tπ4 22
λλ P0 0 θ ϕ θ ϕθ ϕ θ ϕ( , ) ( , ) ( , ) ( , )= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅T G G P G GR R R T T T R R R T T2 ππ4 4 ⋅π 4 ⋅ RR Le perdite per conduzione sono già contenute nei guadagni, ma volendo si possono introdurre quelle relative al disadattamento e alla polarizzazione:2 ( ) ( )λ 2 2 20 θ ϕ θ ϕ ρ ρˆ ˆ( , ) ( , ) 1 1= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − Γ ⋅ − Γ ⋅ • P P G GR T R R R T T R T R Tπ4 ⋅ Rρ ρˆ ˆ• Dove tiene conto delle perdite per polarizzazione.R T 26 Par. 1.4 Antenna a Dipolo Le antenne a dipolo sono le antenne più semplici che si possono realizzare e sono costituite da due cilindri metallici disposti come in figura 17 alimentate al centro. Figura 17 A questa struttura va associata una distribuzione di corrente che determinerà come conseguenza una.Si deve sorgente impresso elettrica che verrà sfruttata per calcolare il potenziale vettore A(r) e risolvere un problema di Scattering in quanto il generatore, vera sorgente impressa, implica una corrente indotta incognita lungo la superficie del conduttore che va calcolata per poi attribuire una sorgente impressa.
La condizione al contorno sulla superficie dell'antenna impone che il prodotto vettoriale tra il campo elettrico totale e la normale n deve essere nullo su tutta la superficie.
&nabla × En tot = 0
Il campo elettrico totale è dato da due contributi: uno relativo al campo elettrico impresso dalla sorgente a noi noto ed uno relativo al campo elettrico di scattering dovuto alla corrente che scorre lungo tutta la superficie dell'antenna, a noi incognito.
Etot = Eimpr + Escatt
La condizione al contorno scritta precedentemente può essere scissa evidenziando la divisione del campo elettrico nei due contributi.
&nabla × Eimpr + &nabla × Escatt = 0
scatt S∫ ' 'ˆ ˆ ˆ ( ) ( )− × = × = × − ⋅ ⋅n E n E n G r r J r dVimpr scatt Ee S'V 27Il campo di scattering può essere riscritto tramite l’integrale esteso al volume di sorgente delprodotto funzione di Green per sorgente impressa . La funzione di Green è nota− J(r)G (r r' )Eeperché è possibile calcolarla mentre la è l’incognita che va trovata e, ovviamente, non èJ(r)semplice farlo perché come ben si vede si ha a che fare con un’equazione integrale. Data lacomplessità di tale equazione è possibile arrivare ad un risultato per sola via numerica, ma tuttavia,esiste un unico caso in cui la sorgente impressa può essere calcolata per via analitica, cioèJ(r)quando si considera come antenna un dipolo lineare e sottile (raggio trasversale trascurabile).Figura 18Si dimostra che nel limite di dipolo sottile e lineare la
La distribuzione di corrente sulla superficie del dipolo è di tipo sinusoidale ed è descritta dalla legge seguente:<pre>
[ [ L' ' '( ) sin ( ) = ⋅ ⋅ − ⋅ [ [ I z I k z rect z [ [ 0 0 L^2 [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [Il testo formattato con i tag HTML è il seguente:
l'integrale diventa il seguente:
r r z− ⋅ ⋅j k r 0e L' θcos⋅ ⋅ ⋅ ' ' '∫ j k zˆ sin ( )= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = 0A(r) z I e k z rect z dz 0 0 Lπ4 2⋅ r 'z 28⋅ ⋅ k L k L0 0θcos cos cos⋅ − − ⋅ ⋅j k r 2 20 I e0ˆ= ⋅ ⋅ ⋅ =z 2π2 ⋅ θsink r0In coordinate sferiche il potenziale vettore è dato da:⋅ ⋅ k L k L0 0θcos cos cos⋅ − − ⋅ ⋅j k r 2 20 I e0θ θ( , ) cos= ⋅ ⋅ ⋅A rr 2π2 ⋅ θsink r0 ⋅ ⋅ k L k L0 0θcos cos cos⋅ − − ⋅ ⋅j k r 2 20 I e0θ θ( , ) sin= − ⋅ ⋅ ⋅A rθ 2π2 ⋅
<p>θsink r0θ( , ) 0=A rϕNoto il potenziale vettore si possono calcolare i campi E ed H in zona lontana tramite le espressioni</p>
<p>ωµ= − + ∇∇ ⋅E(r) A(r) A(r)j 0 ωεj 0= ∇ ×H(r) A(r)ed i risultati che si ottengono sono i seguente: ⋅ ⋅ k L k L0 0θcos cos cos⋅ − − ⋅ ⋅η j k r⋅ 2 20 I e0 0θ( , ) = ⋅ ⋅ ⋅E r jr π θ2 sinr ⋅ ⋅ k L k L0 0θcos cos cos⋅ − − ⋅ ⋅j k r 2 20 I e0θ( , ) = ⋅ ⋅ ⋅H r jϕ π θ2 sinrAncora una volta in zona di campo lontano i campi E ed H individuano un’onda sferica nonuniforme. L’intensità di radiazione vale: 2 ⋅ ⋅ k L k L0 0θcos cos cos⋅ − 2 η⋅ 2 2 I 0</p>
0θ( ) = ⋅U 2 2π θ8 sin
La potenza irradiata si distribuisce spazialmente solo in elevazione mentre rimane costante inϕazimut; anche questa volta non c’è nessuna dipendenza dall’angolo .
Dall’intensità di radiazione si ricava il diagramma di radiazione dell’antenna, e in figura 19 sono disegnati i diversi diagrammi di radiazione a differenti lunghezze elettriche:
All’aumentare della lunghezza elettrica L il diagramma di radiazione ha un aumento della direttività ed una diminuzione della larghezza mentre se la lunghezza elettrica supera la lunghezza d’onda compaiono lobi secondari indesiderati.
Le antenne dipolari garantiscono una copertura di tipo omnidirezionale.
La tabella a pagina 28 considera la direttività massima e la larghezza di fascio (HPBW) al variare della lunghezza elettrica. Maggiore è il rapporto, maggiore è la direttività e minore è
laλ 0larghezza di fascio.
La potenza di radiazione si calcola integrando l’intensità di radiazione rispetto all’unità di angolosolido.
2 ⋅ ⋅ k L k L0 0θcos cos cos⋅ − 2 πη⋅ 2 2 I 0 0 ∫ θ= ⋅ ⋅P drad π θ4 sin0L’impedenza d’ingresso del dipolo non si può calcolare per via analitica, ma vengono usatetecniche di approssimazione basate su analisi rigorose, nelle quali si elimina l’ipotesi di dipolosottile e si valuta l’influenza del raggio del dipolo sulle caratteristiche elettriche. L’andamento dellaresistenza d’ingresso è del tipo: Figura 22Si può osservare che la resistenza d’ingresso assume sempre valori positivi.L in quanto se tale rapportoI punti di interesse delle curva sono quelli per cui il rapporto 1≤λsupera l’unità, il diagramma di
nza dell'antenna cambia, influenzando la sua efficienza e il suo diagramma di radiazione. In particolare, quando la lunghezza elettrica dell'antenna è un multiplo intero della lunghezza d'onda, si verificano dei lobi principali di radiazione, che sono desiderati perché concentrano l'energia nella direzione desiderata. Tuttavia, quando la lunghezza elettrica non è un multiplo intero della lunghezza d'onda, si verificano dei lobi indesiderati, che possono causare interferenze e rendere l'antenna meno efficiente per determinate applicazioni. Pertanto, è importante progettare le antenne in modo da minimizzare l'effetto dei lobi indesiderati e massimizzare l'efficienza e il diagramma di radiazione desiderato.
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