Anova a 1 e 2 vie e per vari tipi di disegni

Anova

Introduzione

Un esperimento è un test o una serie di test, che si conducono con una logica probabilistica, cioè per verificare ipotesi, in modo da fare inferenza. Un esperimento è formato da prove ripetute indipendenti fatte nelle stesse condizioni.

Nel processo produttivo ci sono:

• Una variabile target y (output) da controllare
• Input
• Delle variabili controllabili x (fattori)
• Delle variabili non controllabili z

Lo scopo degli esperimenti è verificare come i diversi fattori (variabili) e i loro livelli (modalità) influiscono sulla variabile risposta del processo. Si cerca la combinazione ottima di fattori che minimizza la variabilità dovuta al rumore, cioè a fattori non controllabili. I valori dei fattori a cui si svolgono le prove del piano sperimentale sono chiamati livelli. Si costruisce così un piano fattoriale, che si dice, per esempio 2^k, se ognuno dei k fattori (variabili) presenta 2 livelli (modalità). Si svolge una prova sperimentale per ognuna delle combinazioni dei livelli dei fattori.

La pianificazione statistica degli esperimenti, cioè la progettazione dell’esperimento, è il processo di raccolta dei dati necessari all’analisi statistica (ANOVA).

Principi dei disegni sperimentali

• Replicazione dell’esperimento: ripetizione dell’esperimento su unità diverse. Consente di stimare l’errore sperimentale (si deduce se l’errore è causale o meno) e di capire se le differenze osservate nei dati sono statisticamente significative. Consente di stimare in modo preciso l’effetto di un certo fattore, attraverso una scomposizione della varianza della y rispetto a ogni fattore che l’ha provocata.
• Casualizzazione: le prove si effettuano in modo casualizzato / randomizzato, cioè senza seguire un ordine prestabilito (la variabilità che si aggiunge seguendo un preciso ordine è deterministica, mentre procedendo in ordine casuale si aggiunge della variabilità casuale, che si può considerare parte dell’errore del modello).
• Blocchi: insieme di unità omogenee tra loro. La presenza dei blocchi migliora la precisione delle stime e la precisione con cui vengono effettuati i confronti tra i fattori di interesse, perché permette di non introdurre fonti di variabilità non controllabili.

Procedimento da seguire

• Identificazione del problema da analizzare
• Scelta dei fattori e dei livelli su cui si vuole indagare
• Scelta della variabile risposta
• Scelta del piano sperimentale
• Esecuzione dell’esperimento
• Analisi statistica dei dati

I fattori possono essere:

• Tenuti costanti perché potrebbero influire sull’esperimento, ma non sono di specifico interesse per l’esperimento e, quindi, si fissano a un determinato livello
• Lasciati variare se non possono essere omogenei
• Fattori di disturbo controllabile dallo sperimentatore
• Fattori di disturbo non controllabile / rumore, specialmente nel processo produttivo

Anova

È una procedura inferenziale che si effettua quando si vuole esaminare l’effetto di uno o più fattori sulla variabile risposta Y. I fattori possono avere un numero variabile di livelli, o trattamenti. Ogni combinazione di livelli rappresenta una diversa condizione sperimentale. Per ogni combinazione posso effettuare una o più replicazione (osservazione) di Y. L’obiettivo è verificare se al variare dei livelli del fattore corrispondono differenze sistematiche della variabile risposta, in modo da capire se queste differenze sono dovute ai diversi trattamenti o sono accidentali.

L’ANOVA ha tre assunti fondamentali:

• La normalità degli errori
• L’indipendenza delle prove e l’additività degli effetti
• L’omogeneità della varianza tra i gruppi è opportuno che la numerosità dei gruppi sia simile

In analogia al test t, il test F, che si usa nell’ANOVA, nel caso di assunzione di normalità, può essere utilizzato anche in assenza di tale assunzione, in quanto ben approssima la distribuzione di casualizzazione.

Il piano fattoriale può essere:

• Completo: per ogni combinazione di livelli si fa almeno una replicazione
• Frazionato: per ragioni di costo si eliminano alcune combinazioni di trattamenti.

I criteri di scelta delle combinazioni di trattamenti e le relative procedure inferenziali costituiscono il piano sperimentale.

Anova a una via

Anova con un solo fattore a k livelli.

• ni è il numero di replicazioni fatte per il trattamento i-esimo
• yij è il valore assunto dalla variabile y sulla j-esima osservazione sotto l’i-esimo trattamento (livello del fattore)

Modello = + = + + L’osservazione è descritta come la somma della media delle osservazioni effettuate con l’i-esimo trattamento e della componente casuale (errore casuale), in cui confluiscono tutte le possibili fonti di variabilità dell’esperimento (errori di misura, variabilità dovuta a fattori non controllabili, variabilità nel tempo…). Dove: 2 2~(0; ) - , cioè gli errori sono normo-distribuiti, a media nulla e omoschedastici a varianza . Inoltre gli errori sperimentali sono tutti indipendenti tra loro:( , = 0 ∀ , ≠ , ≠ ) - è l’effetto comune a tutti i livelli del fattore, cioè la media generale di tutte le osservazioni:1 = ∗ ∑ ∗ =1∑ = Con = - è l’effetto del trattamento i-esimo, cioè lo scostamento dalla media generale causato dall’i-esimo trattamento.

Modello a effetti fissi e modello a effetti casuali Nel modello a effetti fissi i trattamenti vengono scelti dallo sperimentatore. I risultati sono validi solo per i casi considerati nell’esperimento e non si possono generalizzare. Nel modello a effetti casuali i trattamenti considerati nell’esperimento sono un campione casuale estratto da un insieme più ampio dei possibili trattamenti della popolazione. è una variabile casuale, di cui è più interessante studiare la variabilità che il valore. , Stimatori corretti e consistenti di , La media campionaria della popolazione con trattamento i-esimo è: 1̅ = ∗ ∑ =12(̅ ) =E la sua varianza è: La media campionaria generale, invece, è: 1̅ ̅= ∗ ∑ ∗ =12(̅) =E la sua varianza è: L’effetto del trattamento , sotto le condizioni poste, si può calcolare con lo stimatore corretto: ̅ ̅̂ = - 1 12)(̂ = ∗ ( - )Che ha varianza: ̅ ̅Siccome le variabili casuali , presenti in e in , sono sempre indipendenti, eccetto quando i coincide, 2̅ ̅ (̅ ̅), =allora la covarianza tra e è: .

Decomposizione della devianza

L’ANOVA si basa sulla scomposizione della devianza totale (misura della dispersione complessiva con N-1 g.d.l) in:

• Devianza tra gruppi, che misura la dispersione delle medie campionarie dei singoli trattamenti rispetto a quella generale (devianza spiegata). Ha K-1 g.d.l.
• Devianza entro gruppi, che misura la dispersione delle osservazioni in ogni gruppo dalla loro media. È una misura della dispersione residua, dovuta all’errore casuale. Ha N-K g.d.l.

2 2̅) ∑(̅ ̅) ̅2∑ ∑( - = - + ∑ ∑( - ) =1 =1 =1 =1 =1 = ∀ ,Lo stimatore della varianza fra gruppi è corretto solo sotto l’ipotesi nulla, cioè quando mentre lo stimatore della varianza entro gruppi è sempre corretto, indipendentemente dai valori assunti dalle medie dei trattamenti, sia sotto H0, che sotto H1. Sono rispettivamente:2 22 2 2∑ ( = + ∗ - ) = e=1 -1La verifica di ipotesi : = = ⋯ = 0 1 2 { : ≠ , 1 Cioè: : = 00 { : ≠ 0 1 L’ipotesi nulla prevede, quindi, che non ci sia effetto del trattamento e, cioè che le differenze osservate tra le medie di gruppo siano tutte dovute al caso.2 =Data la statistica test F: , si rifiuta l’ipotesi nulla per valori alti di F. F sotto l’ipotesi nulla si2distribuisce come F~F , in quanto è il rapporto di due chi-quadrato:K-1,N-K2(-1)∗ 2~- sotto H 0-12 2(-)∗ 2~- sotto H e H0 1-2Formule operative1. Devianza tra gruppi: 2̅ ̅) ̅ ̅2 2(∑ ∗ - = ∑ ∗ - ∗ =1 =12. Devianza totale: 2 2̅) 2∑ ∑( - = ∑ ∑ - ∗ =1 =1 =1 =13. Devianza entro gruppi: 2 22̅ ̅∑ ∑( - = ∑ ∑ - ∑ ∗ ) =1 =1 =1 =1 =1ANOVA A DUE VIESi suppone di studiare l’effetto di due fattori sulla variabile risposta Y.

Anova a due vie

Si suppone di studiare l’effetto di due fattori sulla variabile risposta Y.

• A è un fattore con r livelli (A1, A2,…, Ar)
• B è un fattore con c livelli (B1, B2,…, Bc)
• Yijk il k-esimo elemento campionario (k=1,2,…, n) relativo al livello i-esimo (i=1,2,…, r) del fattore A e al livello j-esimo (j=1,2,…, c) del fattore B.

Per semplicità si assume che per ogni combinazione di livelli dei due fattori si effettua lo stesso numero di osservazioni n, quindi si ha un totale di N=n*r*c osservazioni. Si suppone che per la combinazione dei livelli Ai e Bj sulla k-esima osservazione campionaria valga il seguente modello:

= + 2 ~( , ) Quindi IID 2 ~(0, ) Dove è la risposta media e la componente residuale non controllabile.

Medie

• Il livello medio complessivo della variabile risposta, cioè la media generale per ogni condizione sperimentale è: 1= ∗ ∑ ∑ ∗ =1 =1
• La media relativa al livello Ai, indipendentemente dal fattore B è:1 = ∗ ∑ . =1
• La media del livello Bj, indipendentemente dal fattore A è:1 = ∗ ∑ . =1

La media delle medie di riga e la media delle medie di colonna equivalgono alla media generale: 1 1 = ∗ ∑ = ∗ ∑ . . =1 =1 Siccome si assume il modello a effetti fissi e gli effetti dei trattamenti sono definiti come scarti dalla media, allora: