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Y Z I B Y→ = -t t tZ :t ( ) ( )B Z B= εφ ψ qp t t( )( ) ( )B I B Y B=- εφ ψ qp t tUn processo non stazionario che soddisfa l’ultima equazione, quindi che una voltaintegrato può essere scritto come ARMA viene detto ARIMA di ordine (p, 1, q). La I sta perIntegrated, p è la parte autoregressiva, 1 la parte di differenziazione e q la parte di mediamobile.Spesso però la differenziazione deve avvenire più volte per poter arrivare alla scritturaarma. Allora la formula generale di un ARIMA è data da: ARIMA (p, d, q) e viene scrittocome: d( )( ) ( )B I B Y B=- εψφ qp t tDifferenziamo quante volte serve la nostra serie storica non stazionaria per ottenere unprocesso Z_t che soddisfi il modello ARMA classico. Differenziare un modello significaconsiderare i delta tra i valori della serie storica, perdendo ad ogni passo didifferenziazione una osservazione., …,y y1 t)( ) ( ) ( ), , …, , ,
…,1 =- - - z z zy y y y y y1 13 32 2 2- nt t)( )( ) ( ), , , …,…2 =- -z z z z z z w w w13 3 32 4 4-t t t
Una volta stimato il modello, otteniamo dei polinomi che rientrano nell’equzione ARIMA.
Per prevedere poniamoci nell’ottica di d=1, il modello più semplice.
( ) ( )Y …+ + += - -y y y yh h h h h+ + + + +1 1 2- - -t t t t t
( )( ) ( )…+ + + + =- - -y y y y y y y+ 1 1 1 12-t t t t… …+ + + + + + += z z z z z yh h+ + +1-1 12t t t t
Per prevedere z_t+1 uso tutti gli elementida z_t e y1. A sua volta per predire z_t+2 hobisogno di z_t +1 che è combinazionelineare di quelli precedenti. Quindi, unavolta stimati i primi z_t elementi ho fatto.
Riusciamo a costruire la previsione facendo il processo opposto della differenziazioneovvero l’integrazione. Non è fondamentale avere tutti questi passaggi tecnici diricostruzione in mente. Però è interessante sapere che si può dimostrare che la
varianza della previsione diverge quando l'orizzonte previsivo cresce. (∞) → → ↔ ∞ ∞-v y yar h h+ +t t ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (∞) → → ↔ ∞ ∞-v y yar h h+ +t t Nel caso ARMA, invece, per h infinito la varianza dell'errore di previsione tende a σ²ε. Il problema intuitivo è che nel processo stazionario ARMA, la serie storica tende sempre alla sua media. Nel random walk, invece, le traiettorie sono più libere e quindi l'intervallo di previsione diverge. - Modelli SARIMA I modelli SARIMA introducono la stagionalità o componente stagionale: la serie storica ha un livello che cambia periodicamente. La stagionalità viene vista come un cambiamento di livello periodico. Il fatto che ci sia una stagionalità si riflette nella presenza di correlazioni che collegano le variabili casuali in base a scale temporali pari alla periodicità. La stagionalità, dunque, è unacorrelazione tra livelli che dipendono dal periodo S. In pratica, introduco l'operatore backward elevato alla s: prendo il valore Y_t e mi restituisce Y_t-s. In questo caso, voglio descrivere il legame che esiste ad intervalli stagionali. Quindi le correlazioni sono date da multipli di S. Per iniziare costruiamo dei modelli SARMA: s( ) ( ) ( )s sΨB B Y B= εφ φ ψq qp ps st ts1 1 1I I B Y +: =- - - - -x ε εe 1-t t t32 4È un polinomio autoregressivo dove l'argomento è B alla S. Quindi consideriamo i tempi sulla base di S e non di 1. Il modello SARMA ha come ordine (p,q) X (ps, qs). Se sviluppiamo il prodotto precedente otteniamo: ⎜⎟ 51 1 1 1 133I B B B I B B+ +=- - - - - - - -2 3 6 6 61( )B += -y ε εφ 13 -1t t t4 Concettualmente la stagionalità è modellizzata in maniera stazionaria ma la poniamo nei modelli non stazionari per il cambio di livello della serie storica. L'idea èquella di noncostruirci un polinomio complicato ma lo riscriviamo imponendo una strutturamoltiplicativa, fattorizzando.
La stagionalità può, però, anche non svilupparsi in maniera stazionaria. A quel puntoabbiamo questa equazione:
( )( ) ( )s s s( ) ( )s sB B B Y B B1 =- εφ φ ψ ψq qp p s st ts( )( ) B Y→ 1=- -y y - st t t
Questo oggetto mi differenzia come prima il mio processo ma lo fa a scale temporali di S.
Il modello più completo che abbiamo è quello non stazionario in media (livello), nonstazionario in termini stagionali e soddisfa un processo ARMA. Il modello più completo èdato da:
Dd s( )( )s s( )( ) ( ) ( )s sB B B B Y B B1 1 =- - εφ ψ ψφ q qp p s st t
Questo modello è indicato con l’acronimo SARIMA di ordine (p,d,q) parte non stagionale X(ps, D, qs).
Settimana 3Lezione 5 - presenza 23/5- Recap, stazionari: Partiamo dalla serie storica, individuiamo il processo
sottostante effettuiamo un'ipotesi di stazionarietà. Questa ipotesi ci permette di dire che gamma, rho e pigreco sono in funzione di k. Sappiamo che y_t può essere scritto come MA e AR infinito o come ARMA infinito (noi useremo p, q). Questo implica che i nostri coefficienti dipendono solo dalla differenza dei tempi e non dal tempo assoluto (i coefficienti dipendono da k). A questo punto devo stimare i miei coefficienti: parto da Y_t e dal modello ipotizzato devo arrivare a stimare gamma, rho e pigreco. La parte di stima è la parte prettamente statistica. Parte matematica Parte statistica Y_t → γ, ρ, π(κ) { } t κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κSi passa alla previsione, o forecasting, che è il nostro obiettivo principale: Σ ∧ ∧ μ+=y yah i+ -1t ti--1∧ -Γ→ = γa i⎪ La stima avviene o in modo puntuale o con gli intervalli di previsione. Abbiamo fatto questo discorso sui processi stazionari: la covarianza va zero e quindi il passato non conta più nel futuro. Ciò implica che il valore atteso condizionato tende al valore atteso marginale. L'errore di previsione si riduce alla varianza del processo. Ricordiamo che l'ipotesi di ergodicità è molto importante: usiamo la media dei tempi e non del campione. Ciò ci ricorda che i processi che trattiamo devono avere una memoria abbastanza corta (anche non di pochi leg ma che va a zero velocemente).- Recap, non stazionari: la caratteristica principale dei modelli non stazionari è che il livello/trend della serie non è costante. La non stazionarietà ha mille forme possibili che non sono modellizzabili.
I processi non stazionari sono più veritieri rispetto a quelli stazionari, sono situazioni più concrete/reali. I processi non stazionari si basano sul delta: Δd = (dΔB)/dΔt, ∈ ℕ1= - d/dt}(dΔY) = ST(dY/dt)Il delta ci permette di passare da una serie non stazionaria ad una serie stazionaria. Il delta toglie il trend: facciamo ciò perché ci interessa studiare serie non stazionarie perché sono più interessanti da un punto di vista della realtà, ma posso studiarle solo passando dalle serie stazionarie.Il caso stagionale è trattato tipicamente nella non stazionarietà: il livello/trend della serie è periodicamente diverso. La stagionalità è modellizzata nel seguente modo:- (s)(ΦB) = p(ΦB)- (s)(B) = ψq(B)correlazioni sono periodiche, collego gli andamenti del trend con un passo di lunghezza s. Se io vedo la serie storica come sovrapposizione a tempi naturali e tempi stagionali (stagionale non stazionario nella stagionalità), allora posso costruire modelli stagionali non stazionari: D( )s ( ) ( )( )D Δ Δ ARM AN N NI B Y ST STS S,→:= - qps st
Passo da un modello Non STazionario e Non Stagionale a uno STazionario Non Stagionale. Il modello più generale è scritto in questo modo:
Dd s( )( )s s( )( ) ( ) ( )s sB B B B Y B B1 1 =- - εϕ ϕ ψ ψ qp p s st t
Questo è un modello SARIMA (p,d,q)X(ps =P, D, qs = Q). Se l'epsilon non ci fosse otterremmo lo sbilanciamento della serie. Il limite di questo approccio è che siamo partiti da un'idea semplice ma siamo arrivati ad un concetto che da interpretare è più difficile: infatti la non stazionarietà viene trattato come un problema da trattare e arriviamo
Ad uno schema astratto; il secondo problema è che dobbiamo essere in grado di scomporre la nostra serie storica. C'è un modo per affrontare la modellizzazione delle serie storiche che parta dal concetto che le serie siano effettivamente come non stazionarie.
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