Teoremi di Analisi 1

Analisi matematica 1: Teoremi, esempi e controesempi

Appunti di Studio

Luglio 2026

Contents

• 1 Logica, Insiemi e Numeri Reali 3
• ⇐⇒1.1 Equivalenza Buon Ordinamento Principio di Induzione . . . . . . . 3
• 1.2 Formula del Binomio di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
• 1.3 Unicità dell’Estremo Superiore e Inferiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
• 2 Successioni e Limiti 4
• 2.1 Teorema di Bolzano-Weierstrass (Punti di accumulazione) . . . . . . . . . . 4
• 2.2 Teorema di Unicità del Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
• 2.3 Teorema della Permanenza del Segno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
• 2.4 Teorema del Confronto (dei Carabinieri) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
• 2.5 Teorema di Bolzano-Weierstrass (per le successioni) . . . . . . . . . . . . . . 5
• 2.6 Teorema di Convergenza delle Successioni di Cauchy . . . . . . . . . . . . . 5
• 2.7 Teorema di Stolz-Cesàro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
• 3 Funzioni Continue 6
• 3.1 Teorema Ponte (Continuità per successioni) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
• 3.2 Teorema degli Zeri (di Bolzano) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
• 3.3 Teorema dei Valori Intermedi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
• 3.4 Teorema di Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
• 3.5 Teorema di Continuità e Invertibilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
• 3.6 Teorema di Heine-Cantor (Continuità Uniforme) . . . . . . . . . . . . . . . 7
• 4 Calcolo Differenziale (Derivate) 8
• 4.1 Teorema della Continuità delle Funzioni Derivabili . . . . . . . . . . . . . . 8
• 4.2 Teorema di Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
• 4.3 Teorema di Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
• 4.4 Teorema di Lagrange (o del Valor Medio) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
• 4.5 Teorema di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
• 4.6 Teorema di de l’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
• 4.7 Teorema di Taylor (con resto di Peano) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
• 5 Calcolo Integrale, Serie ed Equazioni Differenziali 10
• 5.1 Criterio di Integrabilità (Somme Inferiori e Superiori) . . . . . . . . . . . 10
• 5.2 Teorema del Valor Medio Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
• 5.3 Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale (Torricelli-Barrow) . . . . . . 11
• 5.4 Teorema di Riduzione in Fratti Semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
• 5.5 Teorema di Confronto Integrale-Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
• 5.6 Teorema “Convergenza Assoluta implica Convergenza” . . . . . . 12
• 5.7 Criterio di Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
• 5.8 Teorema di Esistenza e Unicità per il Problema di Cauchy . . . . . . . . . 12
• 5.9 Teorema della Struttura dello Spazio delle Soluzioni . . . . . . . . . . . . . 13

1 Logica, insiemi e numeri reali

1.1 Equivalenza Buon Ordinamento Principio di Induzione

Teorema 1.1. In la proprietà del Buon Ordinamento (BO) (ogni sottoinsieme non N,vuoto ha un elemento minimo) è logicamente equivalente al Principio di Induzione (PI): ∧ ∈ ∀n ∈[P (0) (∀n P (n) =⇒ P (n + 1))] =⇒ P (n)N, N,

Esempio 1.1.1. La dimostrazione della somma dei primi n numeri naturali tramite il PI: n n(n + 1)X i = 2i=1

Funziona perché l’insieme dei numeri naturali ha un punto di partenza ben definito e una struttura discreta ordinata.

Controesempio 1.1.2. Se consideriamo l’intervallo reale aperto S = (0, 1), noti-Ramo che S non ammette un elemento minimo. Di conseguenza, il Buon Ordinamento decade e non è possibile definire un ”passo successivo” elementare per applicare il Principio di Induzione in R.

1.2 Formula del Binomio di Newton

Teorema 1.2. Siano a, b e sia n ∈ R N. Vale l’identità: n nX n−k kn a b(a + b) = kk=0n n! dove = rappresenta il coefficiente binomiale.k k!(n−k)!

Esempio 1.2.1. Sviluppo per n = 2: 2 2 22 2 0 1 1 0 2 2 2(a + b) = a b + a b + a b = a + 2ab + b0 1 2

Controesempio 1.2.2. La formula non si applica se l’esponente non appartiene a N.1 : Ad esempio, per n = 2 √√ √1 ̸(a + b) = a + b = a + b21.

1.3 Unicità dell’Estremo Superiore e Inferiore

Teorema 1.3. Sia A un sottoinsieme non vuoto e superiormente limitato. Al-Rlora l’estremo superiore sup(A) è unico. Analogamente, se A è inferiormente limitato, l’estremo inferiore inf(A) è unico.

Esempio 1.3.1. Sia A = (0, 1). L’insieme dei maggioranti è [1, +∞). Il minimo di questo insieme è 1, che è l’unico sup(A).

Controesempio 1.3.2. Se restringiamo il campo all’insieme dei numeri razionali Q, l’insieme: 2{x ∈ |A = x < 2}Q √ ∈2 / L’esistenza del Sup è garantita non ammette estremo superiore in poiché Q.Q, dall’Assioma di Completezza, che vale in ma non inR Q.

2 Successioni e limiti

2.1 Teorema di Bolzano-Weierstrass (Punti di accumulazione)

Teorema 2.1. Ogni sottoinsieme A limitato e contenente infiniti elementi am-R ∈mette almeno un punto di accumulazione x R.01 + | ∈

Esempio 2.1.1. Sia A = n . L’insieme ha infiniti elementi ed è limitatoNn⊂poiché A [0, 1]. Il punto x = 0 è un punto di accumulazione per A.0

Controesempio 2.1.2. Se eliminiamo l’ipotesi di limitatezza, il teorema decade. Sia {0, }.A = = 1, 2, . . . L’insieme ha infiniti elementi ma non è limitato. Tutti i suoi Npunti sono isolati e non esiste alcun punto di accumulazione in R.

2.2 Teorema di Unicità del Limite

Teorema 2.2. Sia f : A → R e sia x un punto di accumulazione per A. Se esiste il 0→limite di f (x) per x x , tale limite è unico.0

Esempio 2.2.1. Il limite lineare lim (2x) = 6. Il valore del limite è unico.x→3

Controesempio 2.2.2. Per la funzione oscillante f (x) = sin x−1 1 →, il limite per x 0 non esiste. La funzione continua a variare indefinitamente tra e 1 senza stabilizzarsi verso un unico valore.

2.3 Teorema della Permanenza del Segno

Teorema 2.3. Sia lim f (x) = l. Se l > 0 (finito o +∞), allora esiste un intorno Ux→x0 ∈ ∩ \ {x }del punto x tale che per ogni x U A si ha f (x) > 0.0 0

Esempio 2.3.1. Sia f (x) = x + 2. Poiché lim f (x) = 2 > 0, esiste un intorno di 0 (adx→0 esempio l’intervallo (−1, 1)) in cui la funzione assume solo valori strettamente positivi.

Controesempio 2.3.2. Il teorema non fornisce informazioni se l = 0. Consideriamo 2−x →f (x) = . Il limite per x 0 è l = 0, ma la funzione è strettamente negativa in ogni intorno di 0 (escluso lo zero stesso).

2.4 Teorema del Confronto (dei Carabinieri)

Teorema 2.4. Siano f, g, h : A → R tre funzioni tali che f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) in un intorno di x . Se:0 lim f (x) = lim h(x) = lx→x x→x0 0

Allora anche lim g(x) = l.x→x0

Esempio 2.4.1. Per calcolare lim x sin , sfruttiamo la limitatezza del seno:x→0 x 12 2 2−x ≤ ≤x sin xx

Poiché entrambi gli estremi tendono a 0, la funzione centrale è costretta a tendere a 0.

Controesempio 2.4.2. Se i due limiti esterni sono diversi, non possiamo concludere −1 ≤ ≤ →nulla. Data la disuguaglianza sin(x) 1, per x +∞ le due funzioni esterne tendono a limiti differenti (−1 e 1), e la funzione centrale continua a oscillare senza convergere.

2.5 Teorema di Bolzano-Weierstrass (per le successioni)

Teorema 2.5. Ogni successione reale (a ) limitata ammette almeno una sottosuc-n n∈N) convergente a un limite finito.cessione (an k∈Nk n

Esempio 2.5.1. Sia a = (−1) . La successio