Teoremi fondamentali Analisi I

Intorni e punti di accumulazione

Definiamo un intorno limitato di c[...]es I(c) ∈ ] 1, 4 [[...]Intorno circolareUn intorno circolare di tizioni in vetro ai due “estremi”es I₂(c) = intorno circolare di raggio 2 di c[...]Punti di accumulazioneUn punto di accumulazione è un punto il cui intorno contiene almeno un punto dell'intervallo considerato[...]

Nell'intorno di 0, mano a mano che n aumenta si accumulano punti sempre più vicini a 0, senza mai arrivare a 0. 0 è un punto di accumulo dell'intervallo A, ma non è incluso in A.

Definizione di limite

Definizione di limite[...]Sia f(x) → ℝ il lim f(x) = lPer x che tende ad un intorno di x₀, la funzione tende ad un intorno di lDefiniamo un intorno limitato di c I c ∈ ]a,b[I(c) ∈ ]1,4[I(c)

Intorno circolare

Intorno circolareUn intorno circolare di tizione in vetro ai due estremiI_δ(c)In un intorno circolare un punto generico x si trova sopra a distanza minore del raggio dell'intornoI_δ(c)I_δ(c)⁺ <c + δ intorno destroI_δ(c)^-

Punti di accumulazione

Punti di accumulazioneI(0) nell'intervallo A

Definizione di limite

Definizione di limiteSia f(x)→Real il lim f(x) = lPer xlim_{x → x0} f(x) = lcon x₀ è definito in xl ∈ ℝ-∞ ; +∞se e solo se ∀ I(l) ∃ I (x₀) ∀ x ∈ I(x₀) ∧ x ≠ x₀ con x → x₀appartenente al domdetto anche f(x) ∈ I(l)derivato di x = insieme di punti di accumulazione

L'ipotesi per cui x₀ è punto di accumulazione per x con x → x₀ assicura chenell'intorno ci saranno altri punti : I(x₀) ∩ X ≠ Ø non esiste un valore nullo

• Se l ∈ ℝ => ∃ I (l) = ] l - ε ; l + ε [ f(x) ∈ I (l) = [ l - ε [ ] l + ε [ |f(x) - l| < ε se l = ±∞ => ∃ I (l) = -∞ ; k ∪ k ; +∞ ]f(x) ∈ I (l) ⇔ {f(x)} > k
• Se x₀ = c ∈ ℝ I (x₀) = x₀ - δ ; x₀ + δ ]x ∈ I (x₀) ⇔ |x - x₀| < δ
• Se x₀ = ±∞ => I (x₀) = (-∞ ; p ] ∪ p ; +∞ [x ∈ I (x₀)⇔ ∃ p | x | > p

Continuità di una funzione

Continuità di una funzioneSia y = f(x) una funzione definita in xSia x₀ ∈ B_x (un punto di accumulazione)f(x) è continua in x₀ se ∃ finito lim_x→x0 f(x) = f(x₀)3 Condizioni

• f(x₀) c'è
• ∃ finito lim_x→x0 f(x)=l
• L = f(x₀)

lim_x→x0 f(x) = lim_x→x0^- f(x) = lim_x→x0⁺ f(x)= f(x₀)Per funzioni limitate in intervalli illimitati a d > 1Per funzioni illimitate in intervallo limitato d < 1Per sapere se una funzione è limitata devo fare il limite agli estremi lim_x→a = l lim_x→b = lSe danno un valore finito in entrambe è limitata sia inferiormente che superiormenteSe danno ±∞: illimitata o in entrambi gli estremi o anche solo unoUn punto critico è un punto in cui la f'(x) = 0

Teoremi sulle funzioni continue

Weierstrass

WeierstrassPer una funzione continua e limitata tra 2 estremi [a, b] esistono un massimo M e un minimo m

Darboux valore intermedio

Darboux (valore intermedio)se f(x) continua e limitata in [a, b], allora assume tutti i valori tra il massimo e il minimo chiamiamo c un generico di punti tra [m, M] e f(c) = l

Teorema degli zeri

Teorema degli zeri f(x) continua e limitata [a,b] se f(a)f(b) < 0 quindi negativo, la f agli estremi assume valore di segno opposto salvo O come lf(a) < 0 < f(b) ∃C | f(C) = 0 esiste almeno un punto in cui la f(x) interseca l'asse se non ha interruzioni

Fermat

Fermatf: X → ℝin un punto x = c se ∃ f'(c)allora f'(c) = 0estremo relativo (massimo o minimo)la retta orizzontale (tangente) deve essere orizzontale f'(c) = 0Dimc estremo minimo relativo ⇒ ∃ l(c) : f(c) ≤ f(x) ∀ x ∈ l(c)ponys x = c + h | c + h ⊂ l(c)f(c) ≤ f(c + h) ⇒ f(c + h) - f(c) ≥ 0se h se h > 0 si ha f(c + h) - f(c) = ≥ 0per il teorema di permanenza del segno e di derivata dx e sx ⇒f'(c) = lim_h→0⁻ f(c+h) - f(c) / h = 0f'(c) = lim_h→0⁺ f(c+h) - f(c) / h = 0∃ f'(c) = f'(c) = f'(c) = 0

Rolle

Rollef continua, definita e limitata [a,b] e derivabile ]a,b[f(a) = f(b)∃ c ∈ ]a,b[ : f'(c) = 0tg = 0 ⇔ f'(c) = 0

Dimf(x) continua [a,b] il teorema di Weierstrass dice che ha massimo e minimo assoluti∃ C ∈ [a,b] : f(C) = M f(x) per definizione m ≤ M⇒ f(C) = f(C1)

Distinguo 2 casi

• M = M f(x) costante ⇒ retta parallela all'asse xf(x) = k ∀ x ∈ [a,b] ⇒ f'(x) = 0 ∀ x ∈ [a,b]la f' è ovunque 0
• M < M almeno uno dei 2 è interno a [a,b] visto che f(a) = f(b)

chiamo C il punto C ∈ ]a,b[ ⎪ f(C) = m f(x)la f' esiste in ]a,b[ per quanto detto sopra quindi ∃ f'(c)e C è un estremo relativo f'(C) = 0

Cauchy

Cauchyconsidero 2 funzioni f,g : [a,b] → ℝ definite

Ipotizzo

• f,g continue in [a,b]
• f, g derivabili in ]a,b[
• g'(x) ≠ 0 ∀ x ]a,b[
• g(a) ≠ g(b)

Ottengo∃ c ∈ ]a,b[ :f'(c)_g'(c) = ^f(b)−f(a)_g(b)−g(a) non ha unsignificato geometrico

Dim    Considero una funzione ausiliariaψ(x) = f(x) − k g(x)    cerco il valore di k per verificareψ(x) continua e derivabile (primi somma di f(x) e g(x))ψ(a) = f(a) − k g(a) = 0ψ(b) = f(b) − k g(b) = 0

Impongo per Rolle  ψ(a) = ψ(b)f(a) − k g(a) = f(b) − k g(b) ⇒ f(b) − f(a) = k g(b) − k g(a)⇒ k = ^f(b)−f(a)_g(b)−g(a) come nelle ipotesi

Sostituisco nella funzione ausiliaria ψ(x)ψ(x) = f(x) − ^f(b)−f(a)_g(b)−g(a) g(x)  questo verifica Rollee quindi prendendo unpunto c ⇒ ψ'(c) = 0ψ'(x) = f'(x) − k g'(x)f'(c)_g'(c) = kVerificando la tesi

Lagrange

Lagrangef definita in [a,b] continua e derivabilef(a) ≠ f(b)∃ c ∈ ]a,b[: f'(c) = ^{f(b) - f(a)}/_{b - a}x f(b) = f(a) = ROLLEesiste almeno un punto c in cui la tangente è parallela alla secante di (a,f)mx = mx

DimApplica il teorema di Cauchy considerando come funzione g(x)g(x) = xf,g : [a,b]f,g continue [a,b]f,g derivabili in ]a,b[ infatti g'(x) = 1 ∀ x ∈ ℝdi conseguenza g(x) ≠ 0 ∀ x ∈ ]a,b[e infineg(a) = ag(b) = bg(a) ≠ g(b)

Quindi rispondendo Cauchy^f(c)/_g'(c) = ^{f(b) - f(a)}/_{g(b) - g(a)} = 0 f'(c) = ^{f(b) - f(a)}/_{b - a}= 1 = b - aOttengo la mia tesi

De L'Hopital

De L'Hopitallim_x→x0 ^γ(x)⁄_δ(x)(0/0) (∞/∞) → lim_x→x0 ^γ'(x)⁄_δ'(x)La regola vale per f(x) e g(x) derivabili, g(x) ≠ 0 e l'esistenza di lim_x→x0 ^f'(x)⁄_g'(x)

lim_x→2 ^x2−x−2⁄_x²−4 = ⁰⁄₀ → lim_x→2 ^2x−1⁄_2x = ³⁄₄

Convergenza per confronto asintotico

Convergenza per confronto asintotico∫₁^{+∞ x+5}⁄_x³+2x²−1 CONVERGE?Noto che ^x⁄_x³ = ¹⁄_x² la funzione è asintoticamente paragonabile a ∫₁^{+∞ 1}⁄_x² per x→+∞∫₁^+∞ parimoli converge, parimoli anche l'integrale di partenza converge

Nota1) Se f è sempre ≥0 allora ∫₁^+∞ f(x) dx può solo convergere o divergere a +∞2) Per applicare il criterio citato sopra, serve che f e g siano positive definitivamente ossia tale che ∃c>>0 per cui f(x)≥0 e g(x)≥0 ∀x≥c

Criterio del rapporto

Criterio del rapportolim_n→+∞ ⁿ²⁰¹⁵⁄_3ⁿ = lim_n→∞ ⁿ⁺¹⁄₃ = ^(n+1)2015⁄_3ⁿ⁺¹ = ^{n2015 × 3}⁄_{3 × 3ⁿ} = ¹⁄₃ Converge(Somma finita)

lim_{n→+∞ (n+1)! / n!} = lim_{n→+∞ (n+1)! / n!} = ^{(n+1) × n!}⁄_{(n+1) n!} = ⁽ⁿ⁺¹⁾⁄_(n+1) = ¹⁄_e Converge(1+1/n)ⁿ → elim _n→∞ ⁽²ⁿ⁺¹⁾/_2ⁿ = lim _n→∞ ^(2ⁿ+2)!/((n+1)!) = ^2ⁿx!/(2ⁿ·2) ^(2n+2)(2n+1)/n! · ^2ⁿ/_{2ⁿ · n(n+1)}x! · ^{(3x)!(2n+1) = 2ⁿ+1}/(2n+1)x! = ∞lim _n→∞ ^(2x+1)/_(2x-1) = ∞

Teorema della media

Teorema della mediaSia y=f(x) una funzione continua nell'intervallo [a, b]∀ c ∈ [a, b] tale che∫^b_a f(x) dx = (f-c) (f(c))allora∃ c ∈ [a, b] tale che l'area del trapezoide (integrale definito) è uguale all'area di un rettangolo

Dim Per Weierstrauss ci saranno m e M assolutim ≤ f(x) ≤ M ∀ x ∈ [a, b]Quindi l'area del trapezoide è compresa tra l'area del rettangolo di base b-a e altezza m e l'area del rettangolo di base b-a e altezza Mm · (b-a) ≤ ∫^b_a f(x) dx ≤ M · (b-a)m ≤ ∫^b_a f(x) dx ≤ Mλ = (f(c)) = ∫^b_a f(x) dx∫^b_aλ · (b-a) = f(c)·(b-a) + Tesi confermata

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Teorema fondamentale del calcolo integraleSia y = f(x) continua in [a,b]F(x) = ∫_a^x f(t) dt è una primitiva di f(x)

DimostrazioneOccorre dimostrare che ∫ F(x) dx = f(x)Sia x₀ ∈ [a,b]F(x₀) = ∫_a^x₀ f(t) dtF(x₀ + h) = ∫_a^{x₀ + h} f(t) dt = ∫_a^x₀ f(t) dt + ∫_{x0x0 + h f(t) dt}ΔF(x₀) = F(x₀ + h) - F(x₀) = ∫_{x0x0 + h f(t) dt = ∫a^{x0 + h} f(t) dt - ∫a^x0 f(t) dt}= h ⋅ f(c_h) = f(c_H)Teorema della media∃ c_h ∈ [x₀, x₀ + h] : ∫_{x0x0 + h f(t) dt = (x0 + h - x0) ⋅ f(ch) = h ⋅ f(ch)}per h → 0 ⟹ c_h → x₀Da cui si evince che ∫_a^b f(t) dt = F(b) - F(a) con F(t) primitiva di f(t)