Algebra e geometria lineare - Appunti

APPUNTI ALGEBRA E GEOMETRIA FEDERICO II

(Gli appunti vanno dall’inizio del programma fino al determinante in particolare si

concludono col teorema di cramer)

Un gruppo è una struttura algebrica formata da un insieme di elementi su cui è definita

un’operazione che soddisfa quattro proprietà fondamentali

⊥

(userò il simbolo per definire un’operazione)

GRUPPO:

• ⊥ è associativa

• (G,⊥ ) ammette elemento neutro

• ∀x ∈ G è invertibile ⊥

se ha tutte queste proprietà e inoltre è commutativa allora è un GRUPPO ABELIANO

ANELLO:

• (A,+) è un gruppo abeliano

• (A,*) è associativa cioè (x⊥ y)⊥ z=x⊥(y⊥z)

• Il prodotto è distributivo rispetto alla somma x(y+z)= xy+xz

Se (A,*) è commutativa Se (A,*) ammette elemento neutro

ANELLO COMMUTATIVO ANELLO UNITARIO

CAMPO:

• (K,+) è un gruppo abeliano

• Se 0 è l’elemento neutro di (K,+) e K-{0} è un gruppo abeliano

• Il prodotto è distributivo rispetto alla somma

In altre parole il campo sarebbe un anello commutativo e unitario in cui ogni elemento

≠ 0 è invertibile rispetto al prodotto

SPAZIO VETTORIALE:

Uno spazio vettoriale è una struttura algebrica (K,V,+,*) costituita da un campo K, i cui

elementi sono detti scalari, un insieme V, i cui elementi sono detti vettori, da

un’operazione binaria interna su V detta SOMMA DI VETTORI e da un PRODOTTO di uno

scalare per un vettore

+:V V x V ----►V *:K x V ----► V

Deve rispettare le seguenti proprietà:

1) V,+ è un gruppo abeliano

∀ ∈ ∀ ∈

2) a,b K e v,w W a) (a+b)*v=( a*v)+(b*v)

b) a*(v+w)= (a*v) + (a*w)

c) a*(b*v) = (a*b)*v

d) 1*v= v

SOTTOSPAZIO VETTORIALE

Sia V uno spazio vettoriale e sia W un sottoinsieme linearmente chiuso di V diremo che

W è un SOTTOSPAZIO VETTORIALE se (K,W,+w,*w) è uno spazio vettoriale

W, un sottoinsieme non vuoto di V è linearmente chiuso se:

1) u+v∈ W

2) a*u∈ W

Se W è linearmente chiuso si possono ottenere due applicazioni:

+w:W x W ----►W *w:K x W ----►W

TEOREMA I ⊆

Sia V uno spazio vettoriale su K e sia X V diremo che x è linearmente indipendente

∃ ∈ ≺X-{V}≻=≺X≻

X tale che (cioè se può essere espresso come

se e solo se v

combinazione lineare di altri vettori)

Dimostrazione:

X= L

1V1+...........+LnVn

V1=(-L2V2)/L1-..........(-LnVn)/L1

Ogni vettore può essere scritto come combinazione lineare degli altri vettori

TEOREMA II ⊆

Sia V uno spazio vettoriale su K e sia X V un insieme linearmente indipendente. Se

∃ ∈ V-{X} allora X U {V} è linearmente indipendente

v

LEMMA DI STEINITZ

Sia X un sistema di generatori di V e Y un insieme lin. indipendente allora

⊆

∣Y∣ ∣X∣

In altre parole: un sistema linearmente indipendente non può avere più elemeneti di un

sistema di generatori

COROLLARIO

Se V ha una base finita di n elementi, ogni sottoinsieme linearmente indipendente di V