Algebra e geometria lineare

APPUNTI ALGEBRA E GEOMETRIA FEDERICO II

Un gruppo è una struttura algebrica formata da un insieme di elementi su cui è definita

un’operazione che soddisfa quattro proprietà fondamentali

⊥

(userò il simbolo per definire un’operazione)

GRUPPO:

• ⊥ è associativa

• (G,⊥ ) ammette elemento neutro

• ∀x ∈ G è invertibile ⊥

se ha tutte queste proprietà e inoltre è commutativa allora è un GRUPPO ABELIANO

ANELLO:

• (A,+) è un gruppo abeliano

• (A,*) è associativa cioè (x⊥ y)⊥ z=x⊥(y⊥z)

• Il prodotto è distributivo rispetto alla somma x(y+z)= xy+xz

Se (A,*) è commutativa Se (A,*) ammette elemento neutro

ANELLO COMMUTATIVO ANELLO UNITARIO

CAMPO:

• (K,+) è un gruppo abeliano

• Se 0 è l’elemento neutro di (K,+) e K-{0} è un gruppo abeliano

• Il prodotto è distributivo rispetto alla somma

In altre parole il campo sarebbe un anello commutativo e unitario in cui ogni elemento

≠ 0 è invertibile rispetto al prodotto

SPAZIO VETTORIALE:

Uno spazio vettoriale è una struttura algebrica (K,V,+,*) costituita da un campo K, i cui

elementi sono detti scalari, un insieme V, i cui elementi sono detti vettori, da

un’operazione binaria interna su V detta SOMMA DI VETTORI e da un PRODOTTO di uno

scalare per un vettore

+:V V x V ----►V *:K x V ----► V

Deve rispettare le seguenti proprietà:

1) V,+ è un gruppo abeliano

∀ ∈ ∀ ∈

2) a,b K e v,w W a) (a+b)*v=( a*v)+(b*v)

b) a*(v+w)= (a*v) + (a*w)

c) a*(b*v) = (a*b)*v

d) 1*v= v

SOTTOSPAZIO VETTORIALE

Sia V uno spazio vettoriale e sia W un sottoinsieme linearmente chiuso di V diremo che

W è un SOTTOSPAZIO VETTORIALE se (K,W,+w,*w) è uno spazio vettoriale

W, un sottoinsieme non vuoto di V è linearmente chiuso se:

1) u+v∈ W

2) a*u∈ W

Se W è linearmente chiuso si possono ottenere due applicazioni:

+w:W x W ----►W *w:K x W ----►W

TEOREMA I ⊆

Sia V uno spazio vettoriale su K e sia X V diremo che x è linearmente indipendente

∃ ∈ ≺X-{V}≻=≺X≻

X tale che (cioè se può essere espresso come

se e solo se v

combinazione lineare di altri vettori)

Dimostrazione:

X= L

1V1+...........+LnVn

V1=(-L2V2)/L1-..........(-LnVn)/L1

Ogni vettore può essere scritto come combinazione lineare degli altri vettori

TEOREMA II ⊆

Sia V uno spazio vettoriale su K e sia X V un insieme linearmente indipendente. Se

∃ ∈ V-{X} allora X U {V} è linearmente indipendente

v

LEMMA DI STEINITZ

Sia X un sistema di generatori di V e Y un insieme lin. indipendente allora

⊆

∣Y∣ ∣X∣

In altre parole: un sistema linearmente indipendente non può avere più elemeneti di un

sistema di generatori

COROLLARIO

Se V ha una base finita di n elementi, ogni sottoinsieme linearmente indipendente di V

ha al più n vettori

TEOREMA (estrazione di una base)

Sia V uno spazio vettoriale finitamente generato su K e X un insieme di generatori di V

⊆

∃

finito. Allora Y X che è una base di V (V ha almeno una base (1) e tutte le basi hanno

stessa cardinalità (2))

(1) Sia X un sistema di generatori

Se X è linearmente indipendente → è una base (Y=X)

∃ ∈ ≺X-x ≻=≺X≻

Se X è linearmente dipendente → x per cui cioè quel vettore è

i i

combinazione lineare degli altri

⊆ ∣X1∣=∣X2∣

(2) Siano X1,X2 V due basi di V allora stessa cardinalità (numero di

elementi)

Ciò è vero per il lemma di Steinitz. Se X1 è una base allora è un sistema di generatori

linearmente indipendente e lo stesso vale per X2

TEOREMA (completamento di una base)

Sia V uno spazio vettoriale su K finitamente generato e X un insieme linearmente

⊆

∃

indipendente allora Y X tale che X U Y è una base di V

(X ha cardinalità m, V ha cardinalità n e Y ha cardinalità n-m)

1) Se X è un sistema di generatori di V allora X è una base e Y=X

≺X≻⊊

Se X non genera V allora V

2) (il simbolo significa è contenuto ma diverso da V)

Per il teorema II X U {V} è linearmente indipendente

X U {v1} ha cardinalità m+1 → se è un generatore ho risolto sennò esisterà un altro

vettore. Il procedimento termina dopo n-m passi

VETTORE DELLE COORDINATE:

Vettore v le cui componenti sono i coefficienti della combinazione lineare degli

elementi di una base che esprime v

OPERAZIONI TRA SOTTOSPAZI

Se V è uno spazio vettoriale e siano U e W due suoi sottospazi, allora l’intersezione U∩V

è a sua volta un sottospazio vettoriale

In generale, invece, l’unione di due sottospazi vettoriali non è un sottospazio vettoriale

FORMULA DI GRASSMAN

Sia V uno spazio vettoriale su K e siano U e W due sottospazi vettoriali finitamente

generati allora:

dim(U + W) + dim (U∩W) = dim (U)+dim (W)

Se U∩W={0} allora la sua dimensione è nulla e in questo caso si dice che U+W è una

SOMMA DIRETTA poiché dim (U+W) = dim(U)+dim(W)

MATRICE

Tabella ordinata di elementi disposti in righe e colonne a a

1,1 1,2

a a

2,1 2,2

M (K) è uno spazio vettoriale di dimensione

mxn mxn

MATRICE TRASPOSTA

∈

A =b M (K)

t mxn

i,j

∈

A=a M (K)

mxn

i,j

Per cui b =a

i,j j,i

(in altre parole, la matrice trasposta è la matrice originale a cui si invertono righe e

colonne)

Proprietà Delle Matrici

SIMMETRICA: A=A

t

ANTISIMMETRICA: A =-A

t ≻

TRIANGOLARE SUPERIORE: se per ogni → a =0

i j i,j (tutti gli elementi sotto la diagonale sono uguali a 0)

TRIANGOLARE INFERIORE: se per ogni → a =0

i≺j i,j (tutti gli elementi sopra la diagonale sono uguali a 0)

DIAGONALE: per ogni →a =0

i≠j i,j (tutti gli elementi sopra e sotto la diagonale sono uguali a 0)

Una coppia (A,B) di matrici è detta CONFORMABILE se il numero delle colonne di A è

uguale al numero di righe di B

OPERAZIONI TRA MATRICI

Prodotto:

AB=C a b a b a b

1,1 1,1 1,2 2,1 1,3 3,1

b b b

a a a 1,1 1,2 1,3

1,1 1,2 1,3 a b a b a b

2,1 1,2 2,2 2,2 2,3 3,2

=

b a b

a a a 2,1 2,2 2,3

2,1 2,2 2,3 * a b a b a b

3,1 1,3 3,2 2,3 3,3 3,3

b b b

a a a 3,1 3,2 3,3

3,1 3,2 3,3 C

B

A

(AB)C=A(BC) (A+B) =A +B

t t t

(A+B) C=AC+BC (LA) =LA

t t

A(B+C)=AB+AC (AB) =B A

t t t

AB≠BA

Una matrice si dice REGOLARE (INVERTIBILE) se esiste una matrice B per cui

AB=In=BA (il prodotto tra le due matrici mi fa ottenere la matrice identità)

RANGO DI UNA MATRICE

R(A)=dim (≺A1,A2,.... An≻)

Il rango di una matrice è uguale alla dimensione della chiusura lineare delle righe o

delle colonne

TEOREMA

∈

Sia A M (K) allora R(A)=R(A )

t

mxn

OPERAZIONI ELEMENTARI DI RIGA

3 classi di operazioni

T1→scambiamo la i-esima riga con la j-esima riga