Ala finita ed adimensionalizzazione dell'equazione dell'energia interna

T

teorema di Kutta). Consideriamo dy un pezzo di ala per il quale si ha e calcoliamo

dT(y)d

la portanza su tutta la superficie di ala finita. Questa alla stazione y sarà: spessore

evol

T(y)da

L +Vo E

= 7 =

↓ ↓

portanza esplica determinare

devo

lo

si

che ↳

di superficie

ala

di

sulpezzo tutta

Forza la che

su

che agisce

inquesto all'apertura

corresponde

du caso

spessore alare

In questa trattazione il vortice ideale (linea infinita) può essere ridotto ad un vortice seminfinito

(individuo un piano dove parte il vortice e poi va all’infinito). In questo caso la velocità dipende

anche dalla distanza r dall’origine del vortice. I vortici liberi sono dei vortici semi infiniti che

ricordiamo essere causa della velocità indotta w(y) che in questo caso sappiamo calcolare poiché:

I

↓ = dT(y)

Vo

) zitz 3 &

(i

↓

per un eff

vortice Velocità indotta dal vortice libero

dT

Wi =

Ideale f - semi infinito nell’origine

4ITZ

Velocita

effettiva

W

Angolo indotto: angolo di cui viene

modificato l’angolo di attacco a causa

della presenza di wi

A causa della velocità indotta dai vortici liberi ,che risulta essere normale alla corrente indisturbata,

l’angolo effettivo con cui la corrente risultante investe l’ala è dato da:

Angolo di

deff Lg-di !

+

= attacco indotto

↓ W i

Angolo di incidenza assoluto: tan

angolo di attacco geometrico

(quello finora considerato).

Può essere funzione di y

Per l’ipotesi dei piccoli disturbi: di = Wi

Si vuole ora valutare l’alfa indotto stazione per stazione, il che significa calcolare wi stazione per

stazione. Consideriamo quindi una certa stazione y; la sua velocità sarà data da:

-

==

(i)

~ I

7

. -

4 4

- variazione

2 d it in

d(y) correspondenza

ar du

= del de

.

du

Sostituendo avremo:

Leff(u) (g(y)

= -

Si tratta di un’equazione integro-differenziale in cui l’incognita da trovare è la derivata. Per la natura

dell’equazione non saremo in grado di determinare tutti i coefficienti; pertanto ne fisseremo un certo

numero. Otterremo un sistema di equazioni algebriche che ci consente di determinare i coefficienti

A questo punto si vuole esprimere esplicitamente Leff

Applichiamo il teorema di Kutta, per il quale si ha:

1 Vo Tuldu

wiz

eVerT(y)dy

TVot

L -

> +

=

⑮ (i) 2 eVoTcaldy

(uldy =

+

evo 1 +

=

Iveffl vo wi2

= + W

Tenendo conto dell’ipotesi dei piccoli disturbi e che è molto piccola rispetto a , semplifico

Vo

Wi

e trascuro il seguente termine (Wi/vol =

+

Analogamente possiamo scrivere la forza che agisce sul pezzo di ala mediante il coefficiente

2 di portanza Superficie

CL di

rela portanza

Cen

def

zevce f

d

us -

, angolare

coefficiente

V

pressione di

della retta 2π

portanza

dinamica > &

Cl

perprofilo 2πt(x-20)

= =

finita

perala Leff

Cl

= ,

Uguagliando 1 e 2 otteniamo: 2T(u)

zeVoT(u)au

GeFF =

= *

-Vo Ce uld <(4)

voce

,

Equazione di Lancaster-Prandtl -

25(4) The

id

<g(4)

=

<(4)

voce

,

Il procedimento di soluzione di questa equazione integro-differenziale prevede per T(u)

un’espressione in serie di Fourier introducendo le seguenti trasformazioni

Si introduce l’angolo ⑦

NX NX

Opp x

& : i

&

b b

- -

0 bc5O

4 -

=

boso

4 = 2bVoAnsin

E si ponga: Rappresenta la circolazione lungo il profilo in una

T(8) (no

2 = determinata stazione

↓

T(π)

r(0) distribuzione

(4) vorticity

0

= di

↑

↓ = >

-

-0

⑧ Simmetrica rispetto alla

Incorresponden mezzeria

a ① -

· u 4

Lamezzeria

E b

-

alari

Sostituendo 2 in 1, facendo gli integrali di glauert, ottengo: I

An

ag- (no) La

4bAnsin(no) sin e

velocita

③ indotta

= :

"cos

Sind

n (0) no

1

= /o

=

Ce ~ do

cost-cosa

vo nAnsinno

= n 1

= SinO

Tuttavia in questo caso non possiamo utilizzare il metodo di inversione della serie come si è fatto

per un’ala infinita.

Fissando tutti i valori possibili di o y, per ognuno di questi, sostituiti nella relazione sopra,

⑦

possiamo ottenere una nuova relazione per la quale l’unica incognita è An.

Considero quindi un certo numero di punti, per ognuno dei quali la relazione sopra può essere

scritta tante volte quanti punti considerati, ho quindi n incognite e n equazioni e trovo n An.

Una volta trovati n termini di An allora risulta che è noto secondo una certa approssimazione.

T(0)

Pertanto posso applicare il teorema di Kutta per il quale avrò:

eve =... la dipende

V portanza

T(u)aT(0) >

Da da A1

solo

e da du do

a

ev

Fz

L Az

= = 1) Tl

Fx

Di =

=

Resistenza Indotta sull'apertura

dipende alare

da sto

dove

~

,

dovuta e

~

di della

funzione

Sistema

al y

vortic liber

i eVbA

se =

e o o

=

di resistenza

parla

si dalla

incotta portanza VonAnsinn

= Ansinnow = O

Sin

O

Sin 2

velocita

~

Nota

Dal teorema di Kutta in forma vettoriale: "I s Th

&Vo I perche Lva

+ exco

: l'alto

verso

TE

I =

n

M

↓ w ↑

↳ velocity

-T(y)

Fz

↑ L = T(y)

- ·

⑧ 2

>

Vo taglia

D

FX che

piano

= - Il vortice

L

V investito da

voe w

-W

Y A

Ex WZ

Coefficienti termodinamici

n a ~

allungament

=

A

Es =

A

i =

F

resistenza

adimensionalizzata

,

di

per parlo

cui di

Coefficiente

resistenza indotta An2

Coi

divido

Multiplico per :

e 1A

CDi =

Metto evidenza

in : E

πmA(1

CDi +

= ↓ Ar

Solo

Ta

resta

1

per n = c'e portanza

Se non

CDi 0

=

Moltiplico I

vido =

di per

e :

2)

= 2 Ar(1

Cai +

I I

-1 valore

Il min si

jav) Ottengo resister ottiene quando

za An

minima 0

=

+

=

CDi ( S S2 =

Il coefficiente di resistenza indotta è minimo per e ciò si verifica per nA

o

quando tutti i coefficienti di Fourier An per n >= 2 sono nulli.

=

CDimin n22

An o

con =

Se 1o

trane

tutti il ho

nulli

coeff che

An Sono

I :

. =

per =N Crimin ho che

An e incidenza

= indotta

=

i a

A ugul

tutto l'apertura

lungo

alare ecostante

>

-

Cosa M?

succede a N per

valore max

di Mezzeria -

- in

No

↑ 26 Varsing Sing

=, =

No

Ecoso

4 =

Ottengo dell'ellisse

la rappresentazione parametrica :

E r No Sing

= M

Ecost

4 = No

(f)2 (2)2 1

+ = - &

-

Distruzione ellittica lungo l’apertura alare

della circolazione gamma o della

portanza per avere la resistenza minima

Come si realizza questo andamento ellittico della portanza?

Mellitica An

tutti

resistenza o

se quindi

no minima =

no

B

Dalla hol

per n 1

=

At pur variare

= 4

1+ Sin0 di

cambia

> al o

variare

Cl

Y puo

corda cambiare

Riassumendo, quando la distribuzione della circolazione lungo l’apertura alare è ellittica:

• il coefficiente di resistenza indotta assume valore minimo /d

Ci =

• la velocità indotta sull’ala è costante lungo l’apertura alare è data da: =

w /vo di

=

• Per determinare le caratteristiche dell’ala che portano ad una distribuzione ellittica

della circolazione bisogna determinare A1 che risulta essere l’unica incognita. In

questo caso l’eq di Lancaster Prandtl scritta per An=0 per n>=2 risulta: An Lg

= absint

+

1 C2

Ala ellittica

Devo far sì che tutti quei fattori variabili mi diano una dipendenza da teta nulla, in modo tale che

A1 è costante. Il modo più semplice per realizzarlo è considerare alfa g sempre uguale (profili

alare simili e calettati allo stesso angolo), é costante a , c è invece costante

2π

Cex

quando: CoSint

C = ↓

- Sto costruendo un ala geometricamente ellittica

Considero

distribu

una -

- TT

--

el

zione ellittica

corae I

NOTA :

Ala ellittica ci si riferisce all’ala con distribuzione ellittica della circolazione, invece l’ala

geometricamente ellittica è il modo più semplice per realizzare un’ala ellittica

Ho quindi: =

An an

Per un’ala ellittica non svergolata e avente lo stesso profilo in tutte le sezioni si può facilmente

determinare il coefficiente angolare della retta di portanza (m) dell’ala definito da:

4 mag

= diventa

di

Dopo conti

serie

una

~ :

π Cl

m -

= =

π-

1 1

+ Cl

+

Cla #1-

Per la teoria dei piccoli disturbi per l’ala ellittica si ha Lg

2π

C = 2

1 + A

Per un‘ala ellittica realizzata facendo un’ala geometricamente ellittica vale questo risultato.

Se l’allungamento alare va all’infinito mi resta 2π(g 2π(x x0)

= -

- il

L'hotrovato profilo

per

alare ala infinita

con

Si avrà inoltre: 2/1

=

=

* 2

+

= C T

=

a

Per ali per le quali la distribuzione della circolazione non è ellittica non solo la resistenza indotta è

maggiore ma anche il coefficiente angolare della retta di portanza non può essere determinato

analiticamente

ADIMENSIONALIZZAZIONE DELL’EQUAZIONE DELL’ENERGIA INTERNA

Considerando l’equazione del bilancio dell’energia interna si ha:

(2)

Du

& E

.

+ 1 = :

u

Dt ↓ trascura

Lo si

,

eDu Ricordando

ju -IT

-1 Iv

= . ~ :

che =

Dt xIT)

E 182T

(

- I

= =

. - e

Sapendo che: n [p](pu

utpu ETDn di

ipotesi