Abaco di Smith o carta di Smith

RIFLESSIONE.

Possiamo trovare già una prima corrispondenza: →

Se il CARICO PURAMENTE E’ REATTIVO (l'impedenza è puramente immaginaria) |Γ|=1.

Quindi l'asse immaginario sul piano dell’impedenza in realtà corrisponde alla circonferenza

unitaria sul piano del coefficiente di riflessione. (min 23)

→

Invece se Γ=0 l'impedenza lungo la linea è uguale all'impedenza caratteristica della linea

→

in quanto se Γ=0 vuol dire che siamo in condizione di adattamento e quindi Z(z)=Z 0

l’impedenza normalizzata è pari a 1. () 1+()

=

(Lo verifico se vado a sostituire nella formula )

1 − ()

0

Quindi all'origine del piano del coefficiente di riflessione corrisponde il punto (1;0) nel

piano dell’impedenza.

Ricapitolando

All’asse Im dell’impedenza corrisponde la circonferenza del piano di Γ.

Al punto (1;0) dell’impedenza corrisponde l'origine della circonferenza.

Per trovare la corrispondenza tra un punto qualsiasi del piano dell'impedenza e il punto

corrispondente sul piano del coefficiente di riflessione, esiste un modo grafico per

→

determinarla partendo da Z(z) Γ(z) e viceversa.

Sfruttiamo il legame tra impedenza e coefficiente di riflessione.

Sappiamo che

Quindi

ho un’uguaglianza tra numeri complessi dove possiamo separare parte reale e parte

immaginaria.

Nel primo membro abbiamo già separato parte reale e parte immaginaria.

Separiamo parte reale e parte immaginaria del secondo membro, che essendo una

frazione bisogna razionalizzare

(ovvero moltiplicare sia il numeratore che il denominatore per il complesso coniugato del denominatore in

modo tale che al denominatore abbiamo il modulo quadro del denominatore originario e al numeratore

otterremo il numeratore moltiplicato per il complesso coniugato del denominatore).

Fatto ciò, posso separare parte Re e Im

Ragioniamo prima sulla parte reale.

Facendo il minimo comune multiplo (mcm) avremo

→

mettendo in evidenza avremo

Dividiamo entrambi i membri per (1+r)

(ho invertito il 2° e 3° valore)

2

Ora andiamo ad aggiungere da entrambi le parti per avere il quadrato di un binomio

2

(1+)

→ ho sviluppato il 2°

membro

→ 1 ; 0)

(

Otteniamo un’equazione di circonferenza di raggio e di origine .

1+ 1+

(min 50)

Quindi sia la posizione del centro che il raggio della circonferenza dipendono da r, quindi

al variare di r, OVVERO al variare della parte reale dell'impedenza, otteniamo un fascio di

; )

(

circonferenze (un insieme di infinite circonferenze) di centro e raggio R= .

+ +

Per ogni valore fissato di r sul piano dell’impedenza otteniamo delle rette verticali e per

ognuna di queste rette verticali, corrisponderà una circonferenza fatta in un certo modo sul

piano del coefficiente di riflessione (ξ, η).

In realtà tutte le circonferenze passano per il punto (1;0) perché se sostituiamo al posto di

(ξ, η) il punto (1;0) otteniamo un’uguaglianza verificata, infatti otteniamo:

2 2

1 1

=

( ) ( ) .Tale uguaglianza vale per qualunque r.

1+ 1+

Andiamo a tracciare queste circonferenze.

Una circonferenza la conosciamo già, infatti per un carico puramente reattivo è la

circonferenza unitaria perché |Γ|= 1. →C

Tale circonferenza la otteniamo sostituendo il valore r=0 (0,0) e raggio R=1.

Sostituendo gli altri r vedremo che le circonferenze passano ancora per il punto (1;0) e

ancora il centro sull’asse ξ ma si ridurranno sempre di più (infatti il raggio diminuisce).

La circonferenza si contrae fin quando per r=∞ otteniamo proprio il punto (1;0)

Per r=1 Otteniamo una circonferenza che passa per il punto

(1;0) e per l’origine (0;0).

Abbiamo che la parte reale dell’impedenza normalizzata è

proprio pari a Z .

0

Se r=1 otteniamo la circonferenza che corrisponde alla

condizione di pre-adattamento, cioè se la parte reale

dell’impedenza normalizzata è proprio pari a Z , allora basta

0

annullare la parte Im per avere la condizione di adattamento.

Quindi le rette verticali nel piano dell’impedenza corrispondono sul piano del coefficiente

di riflessione a determinate circonferenze.

Dobbiamo fare lo stesso discorso uguagliando le parti immaginarie

Portiamo tutto al 1° membro

1

Se aggiungiamo ad entrambi i membri otteniamo che

2

→

Abbiamo ancora un’equazione di una circonferenza dove al variare di x abbiamo un fascio

di circonferenza (a parte Im dell’impedenza costante).

(; )

centro e raggio R=

La circonferenza è caratterizzata da ||

Tutte le circonferenze passano per il punto (1;0) infatti per ξ =1 e η=0 avremo l’uguaglianza

1 1

=

2 2

(; )

centro e raggio R=

||

le circonferenze hanno tutte il centro sulla retta

verticale caratterizzata da parte reale unitaria.

(Nel disegno non traccio completamente tutte le

altre circonferenze perché ci interessa solo la

porzione che sta all'interno del cerchio unitario.)

Vediamo cosa accade se modifichiamo i valori di X.

Per X=0 il centro sta all’infinito e il raggio è infinito quindi abbiamo una circonferenza di

raggio infinito che passa per il punto (1;0) e il centro sta sulla retta verticale (tratteggiata

nel disegno) ciò vuol dire che la retta è anche un raggio della circonferenza di raggio infinito

e poiché deve passare per il punto (1;0) non potrà che essere la retta orizzontale.

Tutto questo per dire che per X=0 la circonferenza in realtà è degenerata in una retta o

meglio coincide con l’asse ξ perché è una circonferenza di raggio infinito che deve passare

per (1;0) e deve essere perpendicolare al raggio.

Sostituendo altri punti potremmo ottenere più di una circonferenza con un singolo valore di

X.

Quando X=∞ il centro diventa proprio (1;0) e il raggio R=0 quindi ancora una volta la

circonferenza degenera nel punto (1;0) .

Sostituendo dei punti avremo

Dall’intersezione della circonferenza della parte reale e parte Im otteniamo il valore

dell’impedenza normalizzata. (vedi grafico successivo)

L’intersezione mi fornisce il coefficiente di riflessione che corrisponde all'impedenza

normalizzata che avevamo.

AVREMO CHE LA DISTANZA DALL'ORIGINE SARÀ IL MODULO DEL COEFFICIENTE DI

RIFLESSIONE E L'ANGOLO CON L’ASSE ξ SARÀ LA FASE DEL COEFFICIENTE DI RIFLESSIONE.

RAPPRESENTAZIONE DI UN’IMPEDENZA Z C

Se abbiamo l'impedenza Z a una certa ascissa ricavo l’impedenza normalizzata.

c

Ricavate le parti reali e immaginarie vado a trovare l’intersezione delle due circonferenze dalle

corrispettive circonferenze (viste in precedenza).

Vedi altri esempi CON PRESENTAZIONE ..\PDF\CEC_lez 13.pptx

LA CARTA DI SMITH più che a passare dall'impedenza al coefficiente di riflessione e

viceversa È UNO STRUMENTO CHE SERVE PER EFFETTUARE IL TRASPORTO DI IMPEDENZA.

Se abbiamo trovato il punto che corrisponde a Z ,quando ci spostiamo lungo una linea di

c

trasmissione priva di perdite quella che cambia è soltanto la fase del coefficiente di

riflessione mentre il modulo di Γ rimane costante .

Quindi spostandosi lungo la linea,il punto si sposta su una circonferenza centrata

nell'origine .

Ci muoviamo in senso orario perché andiamo nel verso negativo dell'asse z,se ci

muovessimo nel verso positivo andremo in senso antiorario perché il verso di rotazione

positivo è antiorario. (vedi movimento su gruppo slide 13)

Torniamo al punto di partenza dopo un tratto di linea di lunghezza λ/2 perché per la

formula del trasporto di Γ, la fase varia come 2kz (valore che sta all’esponente) e quindi il

coefficiente di riflessione è periodico di λ/2 e non π perché la frequenza è doppia e il

periodo è la metà. RAPPRESENTAZIONE AMMETTENZA

La carta di Smith può essere utilizzata anche per rappresentare un’ammettenza perché è il

reciproco dell’impedenza.

Se passiamo dalla impedenza normalizzata ALL’AMMETTENZA NORMALIZZATA allora

dobbiamo fare il reciproco di

(nella pratica basta cambiare il segno a Γ)

Graficamente sulla carta di Smith,data l'impedenza e calcolato il coefficiente di

riflessione, il valore dell’ammettenza sarà esattamente nel punto diametralmente

opposto, perché deve cambiare il segno del coefficiente di riflessione.

Ciò equivale a fare un trasporto di λ/4.

Se kz= π/2 , la lunghezza del tratto Z= λ/4.

La tangente viene infinito e il trasporto diventa

(dove Z è l’impedenza trasportata)

T

Andando a normalizzare si ottiene

Ci siamo spostati di mezzo giro ,ottenendo così il punto diametralmente opposto.

Ora andiamo a vedere come si può risolvere un problema di adattamento lavorando

direttamente sulla carta di Smith.

ADATTAMENTO DELLA LINEA – SINGOLO STUB

Supponiamo che

Ricaviamo Γ sulla CARTA DI SMITH Y =Y

La condizione di adattamento alla sezione indicata dalla freccia di Y è A 0

A

Ne segue che la condizione di adattamento diventi (passaggi detti durante la spiegazione dell’adattamento)

(min 1:18)

Bisogna passare quindi dall’impedenza all’ammettenza

Se ci spostiamo lungo la linea il punto segnato si muove

lungo una circonferenza centrata nell’origine.

Vogliamo che alla sezione B la parte reale sia pari a Y 0

Vogliamo che il punto si muova lungo la circonferenza

centrata in (1;0)

“IL PROBLEMA AMMETTERÀ SOLUZIONE SOLO SE LA CIRCONFERENZA VERDE (QUELLA

LUNGO CUI SI MUOVERÀ IL PUNTO) INTERSECA LA GIALLA”.

Prendiamo il valore più piccolo di X che soddisfa il problema.

Y =(1+j1.6)Y = Y +j1.6Y

Per ora possiamo dire di aver trovato Y . B 0 0 0

B

La parte reale di Y coincide con Y che è quello che volevamo.

B 0

Ma esiste la parte Im che dobbiamo eliminare.

Per trovare il valore di X dobbiamo capire a cosa corrisponde la rotazione sulla carta di

SMITH.

Bisogna leggere sull’ultima circonferenza graduata (lunghezze d’onda verso il generatore)

e calcolo la lunghezza del tratto di linea considerando i valori di λ.

Se conosco la lunghezza d’onda conosco anche X. (vedi fogli stampati)

Ora dobbiamo compensare la parte Im di 1,6.

Dobbiamo fare in modo che la lunghezza y dello STUB dia una Y =-1,6Y

s 0

Il corto