4. Meccanica dei sistemi

Meccanica dei sistemi - Formulario

• I EQ. CARDINALE PER I SISTEMI: F_e = dQ_e/dt con F_e = Σ_i F_i^e, Q = Σ_i q_i^e
• CENTRO DI MASSA: r_cm = Σ_i m_i r_i(t) / Σ_i m_i, Σ M_i r_i(t) / M SIST. DISCRETO

e = dm_i dv

r_cm = 1/M ∫ r^e dv SISTEMA CONTINUO

• PROPRIETÀ CINEMATICHE DEL CM
• 1° TEOREMA DEL MOTO DEL CM: V_cm(t) = P_tot^e M, v_cm(t) = Q
• 2° TEOREMA DEL MOTO DEL CM: F_e^e = dQ_y/dt
• PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE Q.d.m
• sist. isolato dQ_i^e/dt=0 → Q=cost, V_cm=cost a_cm=0

TEOREMA DEL LAVORO E DELL’ENERGIA CINETICA

L^e + L^int = T₂ - T₁ con T = Σ t_i = Σ M_iv_i² / 2

CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA:

(U^int + U^e) = T_t = E = cost.

• FORZE CONSERVATIVE
• URTI: vale il principio di conservazione q.d.m

m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂ → Q = M . v_cm = cost

• 1) URTO ELASTICO T₁ = T₁
• 2) URTO ANELASTICO T₁ + T’₁
• 3) URTO PERF. ANELASTICO: T’₁>T₁

∙ Il eq. Cardenale per sistemi di punti: M_o^e = dL^e/dt

M_o^e=ΣM_oi^e

b_o = Σb_oi

∙ Principio di conservazione del momento angolare

Sust. isolato → M_o^e=0

db_o/dt=0

b_o=cost

Conservazione dell'energia in meccanica

• Se in un sistema ho solo forze conservative (sia interne che esterne)

L_c^e = U^e_c - Uⁱ₂ = -ΔU^e_int + U^{i1_c - Ui2int = -ΔUi_int}

L^e_c + L^int = T₂ − T₁ = (ΔU^e + ΔU^int) = ΔT → T = E = cost

l'energia meccanica si conserva.

• Se le forze non sono conservative:

ΔE = L_n.c.

l'energia meccanica del sistema non si conserva e ΔE è energia di altro tipo

• Se il sistema è isolato F_e = 0 → L^e_c = 0 L^int_c = T₂ - T₁

Urti

Quando 2 corpi si scontrano subiscono, in un breve intervallo, brusche variazioni di velocità: Prima dell'urto le forze interne sono trascurabili, mentre l'urto le forze interne sono notevoli e prevalgono rispetto le forze esterne. Nel breve intervallo di urto quindi considero il sistema isolato → Q = cost (1^o princ. della conservazione)

Q = Q⁺ + M₁V₁ + M₂U₂ = m₁V₁ + m₂V₂ u₁ v velocità prima e durante l'urto V_cm⁺ = V_cm^-

la velocità del C.M. è inalterata perché Q + il V_cm. 3 casi.

1. Urto elastico: T⁺ = T^- = 1/2m₁u₁² + 1/2m₂u₂^{2 = 1/2m₁v₁2 + 1/2m₂v₂2}

   nei sistemi isolati L^int = T⁺ + T^- = 0

   Vale se ho f. conservative L^int = U^int_- = U^int₊ se U^int_- = U^int₊ + m

   e la configurazione dei corpi non è modificata durante l'urto.

2. Urto anelastico: T⁺ ≠ T^- → T⁺ < T^- L^int_-< 0

   ho una perdita di en. cinetica quelle non restituito dopo l'urto si trasforma in altre forme di en. (calore del permanente del corpo...)

3. Urto perfettamente anelastico: I due corpi formano un unico corpo compenetrandosi uno nell'altro →T⁺ < T^- a causa della conservazione della q.d.m. Q = m₁u̇_i + m₂ - (m₁ + m₂) V̇ V̇ = V_cm

Un cannone M_c=200Kg montato su ruote spara un proiettile M_p=1Kg con V_p=60m/s. Calcolare la velocità d'inculo del cannone quando il proiettile è sparato orizzontalmente o obliquamente θ=30°

Sul cannone le uniche F_ext agenti sono P e N quindi risulta isolato sull'asse x quindi Q_x=cost=0 poiché la quantità di moto prima dello sparo era nulla

Q_x:_i=-M_pV_p + M_pV_p = M_cV_c + M_pV_p = 0

V_c = -^M_p/_McV_p = -0,3m/s

Il segno - indica che la V del cannone è opposta alla V del proiettile

Se lo sparo è obliquo ho sempre Q_x-cost ma V_px = V_pcosθ

V_c = -^M_p/_McV_pcosθ = -0,2m/s

Al contrario di prima non ho conservazione della q.d.m. in verticale perché N ≠ P + M_p assume un valore superiore

I_c CM non subisce spost. poiché Q_x = (M+m) V_Cm = M V_Cx + mV_px

se Q_x=0 V_Cm=0

Due pattinatori M₁ = 70 Kg e M₂=50Kg da fermi su un posto sull'ghiaccio si danno una spinta con le mani: M₁ acquista V₁=1,5m/s. Qual è la loro distanza dopo 1 s?

Sistema isolato lungo x (A=0) Q_x = M₁V₁ + M₂V₂ = mV₁ + mV₂ = 0

V₂ = -^M₁/_M2 V₁ = -2,1m/s x₂(t)=V₂t = 2,1m

x₁(t)=V₁t = 1,5m x_tot = 3,6m

Calcolare il lavoro della F_int intercorrente nello sparo

L_e^int = T₂-T₁

L_e = 0 (Pe N sono ⟂ allo spostamento) T₁=0

T₂ = ¹/₂(M_cV_c²+¹/₂mV_p²) ΔT=¹/₂T₂=T₂