Matematica PNI (22486)

Pag. 1/2 Sessione ordinaria 2009

Seconda prova scritta

Y557 – ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO

CORSO SPERIMENTALE

PIANO NAZIONALE INFORMATICA

Indirizzo: MATEMATICA

Tema di:

Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario.

PROBLEMA 1

Sia la funzione definita da

f ⎛ ⎞

2 n

( ) x x

⎜ ⎟ −

= + + + +

1 ... x

e

f x x

⎜ ⎟

2

! !

⎝ ⎠

n

∈

è un intero positivo e

dove x R

n n −

( ) ( ) x x

= −

'

1. Si verifichi che la derivata di è: e

f x

f x !

n

Si dica se la funzione ammette massimi e minimi (assoluti e relativi) e si provi che, quando è

2. f n

( ) ≤ 1 per ogni reale.

dispari, x

f x =

Si studi la funzione ottenuta da quando e se ne disegni il grafico.

3. 2

g f n

2

∫

4. Si calcoli e se ne dia l’interpretazione geometrica.

( )

g x dx

0

PROBLEMA 2 →

In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale , si consideri la funzione

Oxy f : R R

( ) 3

= + , con parametro reale.

definita da k

f x x kx

1. Si dica come varia il grafico di al variare di ( positivo, negativo o nullo).

f k k

( ) 3 = −

= 1

Sia e γ il suo grafico. Si dimostri che γ e la retta d’equazione hanno un solo

2. y x

g x x

punto in comune. Si determini l’ascissa di approssimandola a meno di 0,1 con un metodo

P P

iterativo di calcolo. g

Sia la regione finita del primo quadrante delimitata da γ e dal grafico della funzione inversa di .

3. D .

Si calcoli l’area di D

4. La regione è la base di un solido le cui sezioni con piani perpendicolari alla bisettrice del

D W

primo quadrante sono tutte rettangoli di altezza 12. Si determini la sezione di area massima. Si

.

calcoli il volume di W