Matematica sublime

Pierpaolo Toniato

"metamatematica", e il consolidamento di quelle emergenti, come la logica

matematica.

Nonostante le questioni fondazionali abbiano monopolizzato l'interesse della

comunità scientifica per diversi decenni, si deve costatare che non si è mai giunti a

conclusioni soddisfacenti, cioè universalmente accettate. Almeno da una

cinquantina d'anni i matematici hanno quasi del tutto rinunciato a portare avanti il

dibattito, o per lo meno lo considerano d’interesse esclusivamente filosofico. La

matematica contemporanea è sempre più prolifica di risultati tecnici, anche grazie

alla recente commistione con l'informatica e al rapidissimo sviluppo del calcolo delle

probabilità e della statistica, e pare ormai allontanarsi quasi del tutto dalle

investigazioni epistemologiche, così che la crisi dei fondamenti può considerarsi

chiusa nella pratica.

Nei prossimi paragrafi cercheremo di fare un resoconto chiaro della crisi,

analizzando le possibili cause, le diverse scuole di pensiero, le opere più importanti.

Tutto ciò in modo abbastanza sintetico, quindi senza alcuna pretesa di completezza.

Fondamentali per capire quali sono le radici storiche della crisi, sono i profondi

cambiamenti che la matematica ha subito nell'arco del XIX secolo. Questi

cambiamenti possono essere raggruppati sotto sette eventi:

La scoperta delle geometrie non euclidee;

La nascita della logica matematica;

La nascita dell'analisi moderna;

La nascita della teoria degli insiemi;

L'aritmetizzazione dell'analisi;

La logicizzazione dell'aritmetica;

La formalizzazione della geometria;

Di seguito saranno trattati brevemente i primi due punti, gli unici veramente

necessari ai fini di questo lavoro. La descrizione degli altri sviluppi, di fatto, è più

adatta ad un’opera di storia della matematica, che esula dai nostri obiettivi.

L -

E GEOMETRIE NON EUCLIDEE

Negli Elementi di Euclide, che per circa due millenni è stato il testo più autorevole, la

geometria è sviluppata come un sistema assiomatico non formale. Gli enti primitivi

sono quelli dettati dall'intuizione dello spazio ideale: punto, retta, piano. Sono dati

cinque postulati di cui il quinto, noto come postulato delle parallele, recita:

1

Se una retta, incontrandone altre due, forma gli angoli interni da una stessa parte

minori di due retti, le due rette prolungate all'infinito s’incontrano dalla parte in

cui sono i due angoli minori di due retti.

Si può dimostrare che il quinto postulato è equivalente alla seguente proposizione:

dati, in un piano, una retta e un punto esterno ad essa, esiste una e una sola retta, in

quel piano, parallela a quella retta e passante per quel punto.

I "postulati" d’Euclide corrispondono a quelli che oggi chiamiamo "assiomi".

1 3

Pierpaolo Toniato

Per motivi non ben identificati, si era sviluppato sin

dall'antichità il presentimento che questo postulato

fosse sovrabbondante (cioè che fosse dimostrabile a

partire dagli altri quattro, perciò non necessario per la

deduzione completa della geometria, dunque

eliminabile) o, in ogni modo, poco evidente, nella

forma in cui era stato dato da Euclide. Vi furono

dunque, fin dall'antichità, vari tentativi di

dimostrazione o "correzione".

Indipendentemente l'uno dall'altro Nicolaj Ivanovič

Lobacevskij (1793-1856) nel 1829 in O načlach

geometrii (Sui principi della geometria) e János

Bólyai (1802-1860) nel 1832 in Scienza assoluta dello spazio, apparsa in appendice

all'opera Tentamen di suo padre Farkas Bólyai (amico di Gauss), ebbero l'idea di

2

sviluppare una nuova geometria in cui non fosse valido il quinto postulato. Essi

sostituirono il quinto postulato con l'assunzione che per un punto esterno ad una

retta data si potessero tracciare più rette parallele ad essa.

Lobacevskij e Bólyai diedero vita ad una geometria, oggi detta "geometria

iperbolica", la quale pur andando evidentemente contro le intuizioni dello spazio

ordinario (euclideo, appunto), non presenta contraddizioni logiche. Il fatto che

possano non presentarsi contraddizioni logiche se in un sistema assiomatico (se pur

originariamente non formale) ben funzionante (nella fattispecie quello euclideo) si

modificano uno o più assiomi ci sembra oggi evidente, ma allora, quando non erano

ancora stati studiati i sistemi assiomatici, questo poteva sembrare abbastanza

sconvolgente.

Le geometrie non euclidee non ebbero una gran risonanza fino al 1854, anno di

pubblicazione d’Uber die Hypotesen welche der Geometrie zu Grunde liegen (Sulle

ipotesi che stanno alla base della geometria) del più influente Georg Friedrich

Bernhard Riemann (1826-1866). Si fece quindi un grosso passo verso la

generalizzazione della geometria e, conseguentemente, verso il progressivo

abbandono dell'intuizione spaziale, che, come abbiamo detto, costituiva uno dei due

pilastri su cui poggiava l'intero edificio della matematica.

La situazione è descritta perfettamente da Paolo Zellini:

"Il pensare che la geometria parli d’oggetti le cui proprietà debbono dedursi

principalmente dagli assiomi (così, dopo Riemann, sentenziò Hilbert nelle sue

Grundlagen der Geometrie, 1899) offrì sicuramente un ulteriore apporto all'idea di

una matematica che sceglie da sé, fuori dell’imperativo di presunte essenze

precostituite, le basi della propria edificazione. I «punti» e le «linee» cominciano ad

essere non più cose chiare in sé, ma oggetti descritti da proposizioni atte a

specificarne l'uso, e quindi, in buona misura, prodotti di scelte volontarie, d’assiomi

revocabili o di convenzioni «prestabilite». La «realtà» naturale era certamente in

grado, ancora, di influire sulle scelte, ma non di condizionarle del tutto" .

3

Ciò determina, come già affermato in precedenza, la caduta di uno dei pilastri

fondamentali della matematica, l’intuizione, e in particolar modo quella geometrica

Questa è solo la versione abbreviata del titolo originale, molto più lungo.

2 P. Zellini, La ribellione del numero, Adelphi, Milano 1985, p. 13.

3 4

Pierpaolo Toniato

viene meno: gli assiomi non sono più “verità evidenti” che come solida roccia

garantiscono la fondazione del sistema geometrico ma, puri e semplici

“cominciamenti”, punti di partenza convenzionalmente scelti ed ammessi per

effettuare la costruzione deduttiva della teoria.

L A NASCITA DELLA L OGI CA MATEMATICA

La nascita della logica, che potrebbe essere definita come la scienza che studia le

forme e le leggi del pensiero, coincide con la nascita del pensiero filosofico . La

4

storia della logica si può dividere in due fasi: la logica aristotelica e la logica

moderna . La logica aristotelica, il cui primo teorizzatore fu appunto Aristotele, si

5

fonda prevalentemente sul sillogismo, in altre parole "un ragionamento consistente

di tre parti, una premessa maggiore, una premessa minore e una conclusione”. e

6

sulla deduzione. Con logica matematica o formale si vuole indicare quella branca

della logica moderna che rappresenta i modi del pensiero con combinazioni di

stringhe di segni e, spogliate queste d’ogni significato, riconduce lo studio del

pensiero allo studio di tali stringhe e alle leggi che ne regolano le trasformazioni.

L'anno che di solito si sceglie per datare la nascita della logica matematica è il 1847,

anno di pubblicazione di The mathematical Analysis of Logic (L'analisi matematica

della logica) di Gorge Boole (1815-1864), anche se forse sarebbe più giusto scegliere

l'anno 1854, in cui uscì l'Investigation of the Laws of Tought (Investigazione sulle

leggi del pensiero) sempre di Boole.

Le idee più innovative contenute nelle opere di Boole sono:

1. La convinzione che la logica è collegata con la matematica più che con la

metafisica;

2. La concezione della logica come scienza che studia le "forme" dei

ragionamenti più che i loro "contenuti", da cui la cosiddetta "formalizzazione

della logica";

3. la convinzione che la vera essenza della matematica risiede nella logica che

vi sta sotto, non negli oggetti classici (numeri e figure) del suo studio.

La rivoluzione epocale portata da Boole fu appunto quella di formalizzare la logica

aristotelica, eliminando il lato “psicologico” di essa, inventando quello che oggi è

chiamato “metodo simbolico”.

Naturalmente lo sviluppo della logica formale fu, nei dettagli, un processo molto

complicato che un resoconto schematico come quello che qui si sta facendo non può

rendere a pieno. Ad esempio essa fu, nei primi tempi, indissolubilmente legata

all'algebra astratta, e spesso è quasi impossibile scindere i progressi fatti nelle due

discipline, proprio per il fatto che esse sono nate come un unicum e solo in seguito

distinte. (Questa sorta di commistione sussiste in ogni modo per quasi tutte le

branche della matematica nel loro stadio embrionale.)

In risposta alle problematiche generate dalla richiesta d’assiomatizzazione

sviluppata in seno alle geometria, e ai nuovi strumenti resi possibili dalla

Naturalmente ci riferiamo solo all'Occidente.

4 La logica scolastica la comprendiamo in quell’aristotelica.

5 B. Russell, Storia della filosofia occidentale, TEA, Milano 2001, p. 203.

6

Un esempio di sillogismo: tutti gli uomini sono mortali (premessa maggiore); Socrate è un uomo

(premessa minore); Socrate è mortale (conclusione). 5

Pierpaolo Toniato

formalizzazione della logica e dall’introduzione del metodo simbolico, per quanto

riguarda a questione dei fondamenti è possibile individuare tre indirizzi distinti:

Logicismo, che prese le mosse dall’esistenza di rigore nell’ambito

dell’aritmetica e si sviluppa nel tentativo di ricondurre l’aritmetica alla

logica;

Formalismo, che si ricollega alle tendenze originatesi nel campo dell’algebra

astratta;

Intuizionismo, che ricerca il fondamento della matematica nell’intuizione

temporale irriducibili ad altri tipi di conoscenza.

I L LOGICISMO

Il logicismo è la prima grande corrente filosofica/matematica svillupatasi nell’ultimo

decennio del 19° secolo, in risposta alle problematiche sollevate dalle nuove teorie

matematiche, contribuendo per primo alla questione dei fondamenti.

Comunemente il logicismo viene associato soprattutto con Frege, Russell e

Whitehead.

L’iniziatore di questa scuola, con i suoi Grundgesetze der Arithmetik, Frege tenta di

pervenire alla definitiva fondazione del sistema dell’aritmetica sulla logica e nella

formulazione originale pone due punti fondamentali:

Risolvere i concetti matematici, anche quelli considerati non ulteriormente

definibili e perciò primitivi, in termini puramente logici;

Dimostrare i teoremi della matematica mediante l'applicazione dei principi e

delle regole d’inferenza del ragionamento logico (sviluppato da Boole).

Di fatto, si può individuare nel logicismo di Frege una fondamentale componente

platonica: egli, infatti, attribuisce ai concetti primitivi (e successivamente anche agli

insiemi) un’esistenza indipendente dal pensiero umano, rifacendosi alle idee di

Platone.

Identifica per ogni concetto due propriètà fondamentali:

Estensionalità o significato, in altre parole l’insieme degli oggetti che

cadono sotto quel determinato concetto;

Intenzionalità o senso, in altre parole le proprietà che un determinato

oggetto deve avere per cadere sotto quel concetto.

Per esempio, lo zero è un elemento d’estensionalità nulla, in altre parole è l’unico

oggetto che cade sotto il concetto di esser diverso da se stesso.

Mentre stava scrivendo il secondo volume dei "Principi dell'aritmetica", Frege

ricevette una lettera in cui Bertrand Russell, uno dei pochi a dimostrare interesse per

il programma dell'oscuro pensatore tedesco all'inizio del Novecento, gli comunicava

un'antinomia fondamentale che vanificava la sua intera opera. L'antinomia è oggi

nota con il nome di paradosso di Russell.

I R

L PARADOSSO DI USSEL

Il paradosso di Russell (o paradosso del barbiere) è considerato una delle più celebri

antinomie della storia del pensiero logico e matematico. 6

Pierpaolo Toniato

Sarebbe meglio parlare d’antinomia più che di paradosso. Il paradosso è una

conclusione logica e non contraddittoria che si scontra con il nostro modo abituale di