Matematica sublime

Liceo Tito Lucrezio Caro

Classe 5ª A

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Anno scolastico 2007/2008

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La matematica sublime

Incompletezza Pierpaolo Toniato

Pierpaolo Toniato

La matematica sublime

Incompletezza Che abbia ragion d’essere una sola interpretazione del mondo, quella in cui voi vi sentite a posto, quella in cui si può investigare e lavorare scientificamente, è una balordaggine ed un’ingenuità, posto che non sia un’infermità dello spirito, un’idiozia.

Un’interpretazione “scientifica” del mondo potrebbe essere pur sempre una delle più sciocche, cioè, tra tutte le possibili interpretazioni del mondo, una delle più povere di senso. Nietzsche, La gaia scienza

Mappa concettuale

La scoperta delle geometrie non euclidee

- La rivoluzione della logica: George Boole

La crisi dei fondamenti in matematica

Logicismo, formalismo, intuizionismo

Hilbert, Brouwer

Frege, Russell, Kurt Gödel

Vita ed opere, riflessioni filosofiche

I:

Teoremi di incompletezza

Significato e dimostrazione 1

Pierpaolo Toniato

Introduzione

Lo sviluppo della matematica a cavallo del 1900 fu di proporzioni assolute: mai vi erano state in precedenza scoperte e rivoluzioni di una tale portata. Dalla scoperta delle geometrie non-euclidee all’invenzione della logica formale, emerge con forza la figura di Kurt Gödel, forse il più grande logico del Novecento, che con i suoi teoremi d’incompletezza distrugge ogni speranza di tutte le scuole filosofico-matematiche sul dibattito rispetto ai fondamenti della matematica.

Si delineeranno in quest’articolo la situazione e il dibattito in cui Gödel verrà ad inserirsi e successivamente gli aspetti fondamentali dei Teoremi d’Incompletezza, da un punto di vista sia matematico, sia filosofico.

Un argomento sicuramente complesso per una tesina di maturità, ciò nonostante scelto per l’interesse suscitato e per le profonde riflessioni che ha destato.

Il titolo può sembrare assolutamente slegato dall’argomento della tesina: in realtà si rifà direttamente al concetto di sublime matematico di Kant:

[…] , […]

Ciò che è assolutamente grande al di là di ogni confronto una grandezza

[…]

Uguale solo a se stessa

P ’ ’

Per il fatto che nella nostra immaginazione c’è un’aspirazione a progredire

’ , , ,

All’infinito e nella nostra ragione invece una pretesa alla totalità assoluta

, ,

Quale idea reale ecco che quella stessa inadeguatezza rispetto a tale

,

Idea della nostra facoltà che stima le cose del mondo sensibile vale a

[…]

Risvegliare il sentimento di una facoltà soprasensibile a noi

La ragione quindi, attraverso i Teoremi d’incompletezza, trova di fronte a sé, nelle intrinseche strutture della matematica, l’impossibilità di afferrare compiutamente la matematica stessa: quest’impossibilità genera quel sentimento di sublime matematico. La pretesa di totalità assoluta è semplicemente irraggiungibile: ecco perché matematica sublime.

La crisi dei fondamenti

Con “crisi dei fondamenti della matematica” (questa è l’espressione che utilizzano quasi tutti gli storici) si vuole indicare l’ampio dibattito che ha coinvolto l’intera comunità dei matematici e dei filosofi, nel primo trentennio del XX secolo, incentrato sulla natura della matematica, cioè su quali siano, se ci sono, gli enti primitivi indimostrabili che costituiscono il punto di partenza di questa disciplina.

In sintesi, ci si chiedeva quale fosse la risposta giusta alla domanda cos’è la matematica. Tale dibattito fu di dimensioni così vaste che portò in pratica tutti gli uomini di scienza a pronunciarsi in proposito. Le posizioni filosofiche più innovatrici diedero vita a vere e proprie scuole matematiche, come l’Intuizionismo, il Formalismo e il Logicismo. Dalle nuove impostazioni epistemologiche derivò addirittura la nascita di nuove discipline, come la “teoria della dimostrazione” o

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“metamatematica”, e il consolidamento di quelle emergenti, come la logica matematica.

Nonostante le questioni fondazionali abbiano monopolizzato l’interesse della comunità scientifica per diversi decenni, si deve constatare che non si è mai giunti a conclusioni soddisfacenti, cioè universalmente accettate. Almeno da una cinquantina d’anni i matematici hanno quasi del tutto rinunciato a portare avanti il dibattito, o per lo meno lo considerano d’interesse esclusivamente filosofico. La matematica contemporanea è sempre più prolifica di risultati tecnici, anche grazie alla recente commistione con l’informatica e al rapidissimo sviluppo del calcolo delle probabilità e della statistica, e pare ormai allontanarsi quasi del tutto dalle investigazioni epistemologiche, così che la crisi dei fondamenti può considerarsi chiusa nella pratica.

Nei prossimi paragrafi cercheremo di fare un resoconto chiaro della crisi, analizzando le possibili cause, le diverse scuole di pensiero, le opere più importanti.

Tutto ciò in modo abbastanza sintetico, quindi senza alcuna pretesa di completezza.

Fondamentali per capire quali sono le radici storiche della crisi sono i profondi cambiamenti che la matematica ha subito nell’arco del XIX secolo. Questi cambiamenti possono essere raggruppati sotto sette eventi:

• La scoperta delle geometrie non euclidee;
• La nascita della logica matematica;
• La nascita dell’analisi moderna;
• La nascita della teoria degli insiemi;
• L’aritmetizzazione dell’analisi;
• La logicizzazione dell’aritmetica;
• La formalizzazione della geometria;

Di seguito saranno trattati brevemente i primi due punti, gli unici veramente necessari ai fini di questo lavoro. La descrizione degli altri sviluppi, di fatto, è più adatta ad un’opera di storia della matematica, che esula dai nostri obiettivi.

Le geometrie non euclidee

Negli Elementi di Euclide, che per circa due millenni è stato il testo più autorevole, la geometria è sviluppata come un sistema assiomatico non formale. Gli enti primitivi sono quelli dettati dall’intuizione dello spazio ideale: punto, retta, piano. Sono dati cinque postulati di cui il quinto, noto come postulato delle parallele, recita:

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Se una retta, incontrandone altre due, forma gli angoli interni da una stessa parte minori di due retti, le due rette prolungate all’infinito s’incontrano dalla parte in cui sono i due angoli minori di due retti.

Si può dimostrare che il quinto postulato è equivalente alla seguente proposizione: dati, in un piano, una retta e un punto esterno ad essa, esiste una e una sola retta, in quel piano, parallela a quella retta e passante per quel punto.

I “postulati” d’Euclide corrispondono a quelli che oggi chiamiamo “assiomi”.

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Per motivi non ben identificati, si era sviluppato sin dall’antichità il presentimento che questo postulato fosse sovrabbondante (cioè che fosse dimostrabile a partire dagli altri quattro, perciò non necessario per la deduzione completa della geometria, dunque eliminabile) o, in ogni modo, poco evidente, nella forma in cui era stato dato da Euclide. Vi furono dunque, fin dall’antichità, vari tentativi di dimostrazione o “correzione”.

Indipendentemente l’uno dall’altro Nicolaj Ivanovič Lobacevskij (1793-1856) nel 1829 in O načlach geometrii (Sui principi della geometria) e János Bólyai (1802-1860) nel 1832 in Scienza assoluta dello spazio, apparsa in appendice all’opera Tentamen di suo padre Farkas Bólyai (amico di Gauss), ebbero l’idea di

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sviluppare una nuova geometria in cui non fosse valido il quinto postulato. Essi sostituirono il quinto postulato con l’assunzione che per un punto esterno ad una retta data si potessero tracciare più rette parallele ad essa.

Lobacevskij e Bólyai diedero vita ad una geometria, oggi detta “geometria iperbolica”, la quale pur andando evidentemente contro le intuizioni dello spazio ordinario (euclideo, appunto), non presenta contraddizioni logiche. Il fatto che possano non presentarsi contraddizioni logiche se in un sistema assiomatico (se pur originariamente non formale) ben funzionante (nella fattispecie quello euclideo) si modificano uno o più assiomi ci sembra oggi evidente, ma allora, quando non erano ancora stati studiati i sistemi assiomatici, questo poteva sembrare abbastanza sconvolgente.

Le geometrie non euclidee non ebbero una gran risonanza fino al 1854, anno di pubblicazione d’Uber die Hypotesen welche der Geometrie zu Grunde liegen (Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria) del più influente Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866). Si fece quindi un grosso passo verso la generalizzazione della geometria e, conseguentemente, verso il progressivo abbandono dell’intuizione spaziale, che, come abbiamo detto, costituiva uno dei due pilastri su cui poggiava l’intero edificio della matematica.

La situazione è descritta perfettamente da Paolo Zellini:

“Il pensare che la geometria parli d’oggetti le cui proprietà debbono dedursi principalmente dagli assiomi (così, dopo Riemann, sentenziò Hilbert nelle sue Grundlagen der Geometrie, 1899) offrì sicuramente un ulteriore apporto all’idea di una matematica che sceglie da sé, fuori dell’imperativo di presunte essenze precostituite, le basi della propria edificazione. I «punti» e le «linee» cominciano ad essere non più cose chiare in sé, ma oggetti descritti da proposizioni atte a specificarne l’uso, e quindi, in buona misura, prodotti di scelte volontarie, d’assiomi revocabili o di convenzioni «prestabilite». La «realtà» naturale era certamente in grado, ancora, di influire sulle scelte, ma non di condizionarle del tutto”.

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Ciò determina, come già affermato in precedenza, la caduta di uno dei pilastri fondamentali della matematica, l’intuizione, e in particolar modo quella geometrica.

Questa è solo la versione abbreviata del titolo originale, molto più lungo.

2 P. Zellini, La ribellione del numero, Adelphi, Milano 1985, p. 13.

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viene meno: gli assiomi non sono più “verità evidenti” che come solida roccia garantiscono la fondazione del sistema geometrico ma, puri e semplici “cominciamenti”, punti di partenza convenzionalmente scelti ed ammessi per effettuare la costruzione deduttiva della teoria.

La nascita della logica matematica

La nascita della logica, che potrebbe essere definita come la scienza che studia le forme e le leggi del pensiero, coincide con la nascita del pensiero filosofico.

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La storia della logica si può dividere in due fasi: la logica aristotelica e la logica moderna.

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La logica aristotelica, il cui primo teorizzatore fu appunto Aristotele, si fonda prevalentemente sul sillogismo, in altre parole “un ragionamento consistente di tre parti, una premessa maggiore, una premessa minore e una conclusione”. e

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sulla deduzione. Con logica matematica o formale si vuole indicare quella branca della logica moderna che rappresenta i modi del pensiero con combinazioni di stringhe di segni e, spogliate queste d’ogni significato, riconduce lo studio del pensiero allo studio di tali stringhe e alle leggi che ne regolano le trasformazioni.

L’anno che di solito si sceglie per datare la nascita della logica matematica è il 1847, anno di pubblicazione di The mathematical Analysis of Logic (L’analisi matematica della logica) di George Boole (1815-1864), anche se forse sarebbe più giusto scegliere l’anno 1854, in cui uscì l’Investigation of the Laws of Tought (Investigazione sulle leggi del pensiero) sempre di Boole.

Le idee più innovative contenute nelle opere di Boole sono:

1. La convinzione che la logica è collegata con la matematica più che con la metafisica;
2. La concezione della logica come scienza che studia le “forme” dei ragionamenti più che i loro “contenuti”, da cui la cosiddetta “formalizzazione della logica”;
3. La convinzione che la vera essenza della matematica risiede nella logica che vi sta sotto, non negli oggetti classici (numeri e figure) del suo studio.

La rivoluzione epocale portata da Boole fu appunto quella di formalizzare la logica aristotelica, eliminando il lato “psicologico” di essa, inventando quello che oggi è chiamato “metodo simbolico”.

Naturalmente lo sviluppo della logica formale fu, nei dettagli, un processo molto complicato che un resoconto schematico come quello che qui si sta facendo non può rendere a pieno. Ad esempio essa fu, nei primi tempi, indissolubilmente legata all’algebra astratta, e spesso è quasi impossibile scindere i progressi fatti nelle due discipline, proprio per il fatto che esse sono nate come un unicum e solo in seguito distinte. (Questa sorta di commistione sussiste in ogni modo per quasi tutte le branche della matematica nel loro stadio embrionale.)

In risposta alle problematiche generate dalla richiesta d’assiomatizzazione sviluppata in seno alle geometria, e ai nuovi strumenti resi possibili dalla formalizzazione della logica e dall’introduzione del metodo simbolico, per quanto riguarda la questione dei fondamenti è possibile individuare tre indirizzi distinti:

• Logicismo, che prese le mosse dall’esistenza di rigore nell’ambito dell’aritmetica e si sviluppa nel tentativo di ricondurre l’aritmetica alla logica;
• Formalismo, che si ricollega alle tendenze originatesi nel campo dell’algebra astratta;
• Intuizionismo, che ricerca il fondamento della matematica nell’intuizione temporale irriducibili ad altri tipi di conoscenza.

Il logicismo

Il logicismo è la prima grande corrente filosofica/matematica sviluppatasi nell’ultimo decennio del 19° secolo, in risposta alle problematiche sollevate dalle nuove teorie matematiche, contribuendo per primo alla questione dei fondamenti.

Comunemente il logicismo viene associato soprattutto con Frege, Russell e Whitehead.

L’iniziatore di questa scuola, con i suoi Grundgesetze der Arithmetik, Frege tenta di pervenire alla definitiva fondazione del sistema dell’aritmetica sulla logica e nella formulazione originale pone due punti fondamentali:

• Risolvere i concetti matematici, anche quelli considerati non ulteriormente definibili e perciò primitivi, in termini puramente logici;
• Dimostrare i teoremi della matematica mediante l’applicazione dei principi e delle regole d’inferenza del ragionamento logico (sviluppato da Boole).

Di fatto, si può individuare nel logicismo di Frege una fondamentale componente platonica: egli, infatti, attribuisce ai concetti primitivi (e successivamente anche agli insiemi) un’esistenza indipendente dal pensiero umano, rifacendosi alle idee di Platone.

Identifica per ogni concetto due proprietà fondamentali:

• Estensionalità o significato, in altre parole l’insieme degli oggetti che cadono sotto quel determinato concetto;
• Intenzionalità o senso, in altre parole le proprietà che un determinato oggetto deve avere per cadere sotto quel concetto.

Per esempio, lo zero è un elemento d’estensionalità nulla, in altre parole è l’unico oggetto che cade sotto il concetto di esser diverso da se stesso.

Mentre stava scrivendo il secondo volume dei “Principi dell’aritmetica”, Frege ricevette una lettera in cui Bertrand Russell, uno dei pochi a dimostrare interesse per il programma dell’oscuro pensatore tedesco all’inizio del Novecento, gli comunicava un’antinomia fondamentale che vanificava la sua intera opera. L’antinomia è oggi nota con il nome di paradosso di Russell.

Il paradosso di Russell

Il paradosso di Russell (o paradosso del barbiere) è considerato una delle più celebri antinomie della storia del pensiero logico e matematico.

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Sarebbe meglio parlare d’antinomia più che di paradosso. Il paradosso è una conclusione logica e non contraddittoria che si scontra con il nostro modo abituale di vedere le cose, l’antinomia è invece una contraddizione. Russell arriva ad una netta e definitiva contraddizione.

Il concetto può essere espresso non formalmente così: “In un villaggio c’è un unico barbiere. Il barbiere rade tutti (e soli) gli uomini che non si radono da soli. Il barbiere rade se stesso?”. Anche in questo caso si possono formulare due ipotesi:

• Se il barbiere rade se stesso, allora per definizione il barbiere non rade se stesso;
• Se il barbiere non rade se stesso allora, poiché il barbiere rade tutti quelli che non si radono da soli, il barbiere rade se stesso.

In entrambi i casi siamo arrivati ad una contraddizione.