matematica...mente

Liceo scientifico statale “G. Salvemini” – Bari

Anno scolastico 2008-2009

Matematica…mente

“La matematica, rettamente concepita, non possiede soltanto la verità,

ma la suprema beltà, beltà fredda e austera, come quella della scultura,

senza ricorsi alle debolezze della nostra natura, senza i fastosi

ornamenti della pittura o della musica, ma d'una purezza sublime e

capace d'una severa perfezione, quale soltanto l'arte più elevata può

raggiungere.” B. Russell

Magaletti Giusy VB

Indice

Introduzione

Pag. da 4 a 6

Letteratura italiana

Dante e la matematica

Pag. da 7 a 10

Letteratura latina

La letteratura scientifica

Pag. da 11 a 12

Geografia astronomica

La misura del raggio terrestre

Pag. da 13 a 16

Letteratura inglese

Flatland: A romance of many dimensions

Pag. da 17 a 21

Storia dell’arte

Il meraviglioso (e matematico) mondo di Escher

Pag. da 22 a 27

Matematica

L’affascinante mondo dei frattali

Pag. da 28 a 36 2

Storia

La “crisi dei fondamenti” della matematica

Pag. da 37 a 42

Filosofia

Russell e Peano: la filosofia della matematica

Pag. da 43 a 49

Fisica

L’equazione di Schrödinger

Pag. da 49 a 53

Bibliografia

Pag. 54 3

“La matematica è una forma di poesia che trascende la poesia nel momento in cui

proclama una verità; una forma di ragionamento che trascende il ragionamento

nel momento in cui vuole estrarre la verità che ha proclamato; una forma di

azione, di comportamento rituale, che non trova pienezza nell'atto ma deve

proclamare ed elaborare una forma poetica di verità.” Salomon Bochner

Introduzione

Mi è sembrato doveroso anteporre al mio lavoro un’introduzione, se così vogliamo

definirla, che potesse rappresentare un chiarimento circa la scelta del mio

argomento.

Molto spesso, durante la stesura di quella che oggi è ormai la cosiddetta “tesina”,

mi sono chiesta se l’intento di questo mio lavoro avesse davvero potuto portare a dei

risultati e cioè se in qualche modo sarei riuscita a trasmettere quello che all’inizio

mi ero prefissata.

Devo premettere che alla base di questo percorso vi è una grande passione per la

materia in questione e una curiosità sconfinata per tutto ciò che ad essa può

riferirsi.

Certamente mi rendo conto, ora più che mai, che la matematica per molti è una

materia ostile, la cosiddetta “bestia nera” che attanaglia gli studenti di tutto il

mondo. A malincuore nel corso di questi cinque anni ho potuto “toccare con mano”

questo rifiuto e convincermi che alla radice di tale reticenza vi era il fatto che

purtroppo la matematica, così come tante altre discipline, al giorno d’oggi rimane

confinata semplicemente ai banchi di scuola.

Il carattere poliedrico di talune materie rimane oscurato nell’ambito scolastico e

risulta impossibile riuscire, in qualche modo, a trasmettere a milioni di ragazzi

l’“anima” del proprio lavoro.

Parlo certamente per esperienza personale proprio perché il mio rapporto con la

matematica e con le materie scientifiche in genere, almeno inizialmente, non era

del tutto roseo.

Sembrerà strano ma quella che oggi posso definire “passione” e

che mi spinge a parlare di questo, nasce per caso, in seguito ad

un regalo semplice, banale direbbero molti; il solito

regalo che i padri amano fare per invogliare i figli al

ragionamento: il famoso cubo di Rubik, rompicapo

per eccellenza, che ha affascinato grandi e piccoli per

generazioni e generazioni.

Certamente potete immaginare la mia reazione nel vedere

questo cubo inutile e stupido, pensavo, ignara del “mondo”

che nascondeva. 4

Quando ho cercato di risolverlo mi sono resa conto del fatto che di inutile non vi

era nulla. Non riuscivo a capacitarmi del fatto che un giocattolo in apparenza così

semplice potesse crearmi così tanti problemi, tanto da tenermi lì immobile a

studiarlo per ore.

Con il passare del tempo, certamente, sono riuscita a risolverlo ma cercavo di

capirne sempre di più.

È così che sono arrivata a scoprire gli algoritmi che lo compongono e approdare in

un mondo fino ad allora sconosciuto.

Mi sono chiesta se davvero la matematica risultasse avulsa dal resto del panorama

culturale e credo che l’esito di questo lavoro dimostri l’inesattezza di questa

concezione.

Ho cercato di ritrovare nella realtà quelle che Baudelaire chiamava

“correspondence”, i legami tra la matematica e tutto il resto…… beh, il risultato è

stato sorprendente.

Quello che Vi propongo è un viaggio, in un mondo speciale fatto di numeri, di

equazioni, di calcoli, di poesia, di verità.

È stato bello poter scoprire, ad esempio, tra le pieghe della secolare “Commedia”,

giustamente “Divina” per Boccaccio, richiami matematici davvero sorprendenti che

mi hanno permesso di capire la grandezza, culturale e non solo, di un maestro

come Dante.

Ho cercato di ricostruire brevemente anche i tratti più salienti della letteratura

scientifica antica notando che, dopotutto, non è cambiato molto…….

Lo stesso stupore l’ho provato nello scrivere di personaggi come Eratostene

attraverso il quale ho potuto comprendere la grandezza dell’uomo, il cui genio

nasce vivido e florido senza l’aiuto della tecnologia.

Certamente rileggerò più volte “Flatland”, un racconto singolare, dai toni

sarcastici e credo sicuramente fortemente istruttivo.

Potrei definirla “reverenza”, anche se parole esatte non credo riuscirei a darle,

quella che ho provato avvicinandomi al mondo di Escher, grande grafico del ‘900,

anticipatore dei sorprendenti frattali, definiti poi in maniera tecnica da

Mandelbrot nel 1975.

Ho cercato di capire quello che il mio professore ha più volte definito la “matematica

della fisica”: l’equazione di Schrödinger, una delle più importanti conquiste della

meccanica quantistica.

Per finire ho analizzato l’aspetto filosofico della matematica, un aspetto che mai

avrei immaginato potesse affascinarmi tanto.

Il pensiero di filosofi, nonché grandi matematici, come Russell e Peano ha

rappresentato un vessillo della modernità, un vero e proprio scardinamento dei

fondamenti logico-matematici su cui poggiava l’intero complesso delle conoscenze

matematiche. 5

Per poterlo capire a pieno ho dovuto tracciare i tratti salienti della crisi alla base di

tale “rivoluzione” epistemologica, partendo dalla nascita delle geometrie non

euclidee. 6

Letteratura italiana

Dante e la matematica

Dopo gli anni ’90 del XIII secolo, Dante si dedica agli studi di filosofia entrando a stretto contatto

con il pensiero di Boezio, “l’anima santa” che poi collocherà nel cielo del Sole nel Paradiso e autore

di quel “De consolatione philosophiae” su cui si formò il poeta.

Ma Boezio fu anche traduttore dell’opera di Euclide e scrisse lui stesso un “De institutione

aritmetica” di cui, non si può escludere, che Dante ne fosse a conoscenza.

L’aritmetica e la geometria, che trapelano dalla Divina Commedia, per la verità, non rivelano una

conoscenza della matematica che vada molto oltre la cultura generale, nonostante ciò l’immagine

che Dante ce ne restituisce è sorprendente.

Non solo trae spunto dalle sue leggi per delineare immagini di grande forza e incisività, ma ne

realizza anche un notevole elogio sul piano epistemologico.

Come vedremo dai singoli passi dell’opera, Dante ha una lucida consapevolezza dei limiti della

ragione umana di fronte alla verità divina: alcune volte questi limiti sono rivelati dalla scienza, altre

volte dalla poesia e dalla capacità di espressione. In entrambi i casi, pur mettendone in luce il limite,

il poeta eleva scienza e poesia a massime espressioni della razionalità dell’uomo: piccola, sì, di

fronte a Dio, ma meravigliosamente grande nel mondo.

Un numero infinitamente grande

………………………………………………………………

L’incendio suo seguiva ogni scintilla;

ed eran tante, che ‘l numero loro

più che ‘l doppiar delli scacchi s’immilla.

………………………………………………………………

(Paradiso XXVIII, 91-93)

L’infinito è uno dei concetti matematici che più frequentemente ritornano nelle opere

letterarie, poeti e scrittori spesso si rivolgono alla matematica per riuscire a rendere in

termini più realistici “numericamente” una realtà tanto lontana dall’esperienza umana.

La situazione è la seguente: i canti XXVIII e XXIX del Paradiso sono dedicati alla dottrina

degli angeli; Dante osserva le categorie angeliche che presiedono ai nove cieli del

Paradiso, disposte secondo nove cerchi concentrici in movimento: da ognuno di essi, come

da un pezzo di ferro incandescente, un numero enorme di scintille si stacca dal proprio

cerchio di competenza, in modo che gli angeli si distinguano uno a uno, pur continuando a

seguirne il movimento.

Ora Dante auctor si trova di fronte a un problema da risolvere: vuole rendere l’immagine

di un numero grande, grandissimo, tendente ad infinito. Che la sua genialità artistica,

sempre così strettamente legata al potere visivo delle parole, non si possa accontentare di

una qualsiasi banalizzazione dell’immagine è evidente al lettore della Commedia. Una

sbrigativa definizione “infiniti” avrebbe costituito qualche serio problema di carattere

teologico, oltre a risultare notevolmente meno incisiva per il lettore, la cui fantasia è

stimolata dal poter immaginare di contare fino a tale numero. Mentalmente di certo non

può arrivarci, ma la sua concreta finitudine lo rende molto più efficace.

Dante sceglie dunque di cercare un più azzeccato parallelo proprio nella scienza dei

numeri. 7

Il riferimento è ad una gustosa storiella di carattere matematico, che doveva circolare

negli ambienti culturali del tempo.

Si narra che Sissa Nassir, l’inventore degli scacchi, abbia chiesto al sovrano di Persia, cui

aveva fatto dono del nuovissimo passatempo, una ricompensa apparentemente modesta:

presa la scacchiera 8x8 del gioco che aveva inventato, il sovrano gli avrebbe dovuto

donare solamente qualche chicco di riso. Più precisamente un chicco di riso per la prima

casella, il doppio (ovvero due) per la seconda, il doppio ancora (ovvero quattro) per la

terza e così via fino alla sessantaquattresima, ultima casella.

È fuori discussione che Dante potesse calcolare il numero risultante, ma era già ben noto

che al di là delle apparenze si trattava di una quantità mostruosamente grande, a motivo

della vertiginosa crescita di una funzione esponenziale.

Solo per curiosità, i chicchi di riso che Sissa Nassir avrebbe dovuto ricevere erano un

numero illeggibile: 18 446 744 073 709 551 615. (Dico “avrebbe dovuto ricevere” perché

la leggenda vuole che il sovrano, scoperto l’arguto imbroglio e irritato da tanta irriverenza,

abbia risparmiato sul riso facendo mozzare la testa al povero Sissa Nassir.)

Dante evidentemente conosceva questo aneddoto, d’altra parte ai suoi tempi circolavano

numerosi giochi matematici, che non potevano non aver stuzzicato la sua vivace

intelligenza¹.

Non ancora soddisfatto del numero ottenuto (non fosse mai che il numero degli angeli

celesti fosse assimilato a quello vagheggiato nelle pretese di ricchezza di un comune

uomo), Dante sostituisce alle potenze del due le potenze del mille. Così gli angeli invece

che raddoppiare si “inmillano”, uno dei tipici neologismi danteschi, che chiude il paragone

poetico affiancando all’abilità di maneggiare aneddoti numerici l’immancabile creatività

linguistica.

Certezze incrollabili

………………………………………………………………

O cara piota mia, che sì t’insusi,

che come veggion le terrene menti

non capere in triangol due ottusi,

così vedi le cose contingenti

anzi che sieno in sé, mirando il punto

a cui tutti li tempi son presenti;

………………………………………………………………

(Par. XVII 13-15)

e pochi versi più avanti ………………………………………………………………

“[…] avvegna ch’io mi senta

ben tetragono ai colpi di ventura”

………………………………………………………………

(Par. XVII 23-24)

Uno dei canti più emotivamente intensi della Commedia, il XVII del Paradiso è interamente

concentrato sull’incontro tra Dante e il suo trisavolo, Cacciaguida, incontro di importanza

centrale nell’economia del viaggio dantesco per l’annuncio dell’esilio e la legittimazione

dell’opera d’arte. Le parole, che i due si scambiano, sono tra le più complesse e ricche di

immagini della Commedia. E anche in questa occasione Dante non disdegna di inserire

rimandi matematici.

È una delle più unanimemente accettate qualità della matematica (pur se talvolta

convertita in difetto) quella che il poeta sfrutta in questi versi: l’insindacabile certezza dei

suoi teoremi. Per Dante diventa simbolo del massimo livello di verità cui la mente umana

può assurgere. Con la stessa sicurezza con cui l’uomo è in grado di “vedere” che in un

triangolo non possono essere due angoli ottusi, su un piano decisamente più elevato il

beato è in grado di “vedere” passato, presente e futuro.

Il teorema a cui Dante si riferisce, che appartiene al I libro degli elementi

di Euclide, è un corollario del teorema che afferma: in ogni triangolo, la

γ somma degli angoli interni è un angolo piatto. Per il teorema dell’angolo

esterno β + α = δ + γ, δ + γ è un angolo piatto perché l’angolo esterno è, per

definizione, supplementare al relativo interno. Da queste due

considerazioni ne segue la tesi per la transitività dell’uguaglianza. In base a

questo teorema ogni triangolo può avere al più un solo angolo ottuso (cioè

β δ

α maggiore dell’angolo retto).

Con un lieve scarto, ma sulla stessa linea di significati, si colloca il riferimento geometrico

di poco successivo: un triangolo inscritto in una semicirconferenza è necessariamente un triangolo

rettangolo: noi sappiamo che un angolo alla circonferenza è la metà dell’angolo al

centro che sottende lo stesso arco di circonferenza. Nel caso particolare

in cui l’angolo al centro è un angolo di 180°, poiché sottende una

semicirconferenza, il suo rispettivo angolo alla circonferenza sarà di 90°.

Da ciò si può affermare che un qualsiasi triangolo inscritto in una

semicirconferenza questo sarà un triangolo rettangolo.

• Cerchi e circonferenze: il problema della quadratura del cerchio

………………………………………………………………

Qual è ‘l geometra che tutto s’affigge

per misurar lo cerchio, e non ritrova,

pensando, quel principio ond’elli indige,

tal era io a quella vista nuova;

veder volea come si convenne

l’imago al cerchio e come vi s’indova;

………………………………………………………………

(Par. XXXIII 133-138)

Non è la prima occasione in cui Dante rievoca l’antichissimo problema della quadratura del

cerchio, che diventa un altro dei simboli dell’impossibilità della conoscenza. Possiamo

pensare alla geometria di cui parla Dante nel Convivio

“e ‘l cerchio per lo suo arco è impossibile a quadrare perfettamente”

e nel De Monarchia

“infatti lo studioso di geometria ignora la quadratura del cerchio”.

La situazione in cui il poeta si trova ora è però sicuramente più solenne. Siamo nell’ultimo

canto del Paradiso, la “vista nova” cui Dante si trova di fronte è Dio stesso. Al potenziarsi

della vista del pellegrino, Padre, Figlio e Spirito Santo si sono infine mostrati sotto forma di 9

tre cerchi, di diverso colore e uguale raggio.

All’osservazione più acuta il cerchio-Figlio generato dal Padre appare a Dante dipinto dentro di sé,

del suo stesso colore, con l’immagine dell’uomo.

È il mistero dell’Incarnazione, che Dante con le sue forze soltanto non riesce a penetrare,

così come il geometra non riesce a quadrare il cerchio.

Ma in questo contesto appare evidente come la primaria funzione del rimando geometrico

sia umanamente più profonda. Quello che deriva al lettore, con tutta la pienezza di

sentimenti del caso, è il vero e proprio dramma dell’uomo intellettuale, che “tutto s’affige”,

tenta e ritenta, ma deve ad un certo punto ammettere i limiti delle proprie capacità

razionali.

Come si è accennato all’inizio, si può azzardare l’ipotesi che Dante adduca la matematica a

massima rappresentante del fallimento della ragione umana. È una critica, certo, che

Dante muove alla scienza, ma io credo che la ragione di fondo di questa ricorrenza sia da

ricercare nel fatto che il nostro poeta vede nella matematica il più alto esempio di

perfezione raggiungibile dalla sola ragione umana.