Matematica (22487)

Pag. 1/2 Sessione ordinaria 2009

Seconda prova scritta

M557 – ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO

CORSO DI ORDINAMENTO

SCIENTIFICO

Indirizzo:

MATEMATICA

Tema di:

Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario.

PROBLEMA 1

È assegnato il settore circolare di raggio e ampiezza ( e sono misurati, rispettivamente, in

r x r x

AOB

e ).

metri radianti

1. Si provi che l’area compresa fra l’arco e la corda è espressa, in

S AB

1 [ ]

( ) ( ) π

= − ∈

2 sen con .

funzione di , da 0

, 2

x S x r x x x

2

( )

2. Si studi come varia e se ne disegni il grafico (avendo posto

S x

= 1 ).

r 2

Si fissi l’area del settore pari a 100 m . Si trovi il valore di per

3. r

AOB

il quale è minimo il perimetro di e si esprima il corrispondente

AOB

valore di in gradi sessagesimali (è sufficiente l’approssimazione al

x

grado). π

=

4. Sia = 2 e . Il settore AOB è la base di un solido le cui sezioni ottenute con piani ortogonali

r x W

3

ad sono tutte quadrati. Si calcoli il volume di

OB W.

PROBLEMA 2

Nel piano riferito a coordinate cartesiane, ortogonali e monometriche, si tracci il grafico della funzione

G

f

( ) = (logaritmo

log naturale)

f x x

Sia il punto d'intersezione con l’asse della tangente a in un suo punto Sia il punto

1. A y G P. B

f

d’intersezione con l’asse della parallela per all’asse . Si dimostri che, qualsiasi sia il

y P P,

x della funzione

segmento ha lunghezza costante. Vale la stessa proprietà per il grafico

AB G

g

( ) = log con reale positivo diverso da 1?

g x x a

a

Sia δ l’inclinazione sull’asse della retta tangente a nel suo punto di ascissa 1. Per quale valore

2. G

x g

è δ = 45°? E per quale valore di è δ = 135°?

della base a a

3. Sia la regione del primo quadrante delimitata dagli assi coordinati, da e dalla retta d’equazione

G

D f

= 1 . Si calcoli l’area di .

y D

Si calcoli il volume del solido generato da nella rotazione completa attorno alla retta d’equazione

4. D

= − .

1

x