Matematica nascosta

di Valeria Zucchi

cl. V D

a.s. 2007/2008

liceo scientifico “T.Taramelli”

Indice…

Scaletta… pag.2

- Comte… pag.3

- Dante: “Paradiso”… pag.4

- Abbott: ”Flatland. A romance of many

- dimensions”… pag.8

Arte e matematica… pag.10

- Conclusione… pag.13

- 1

Matematica nascosta

Comte

classificazione delle scienze: la matematica è esclusa (è una

- scienza deduttiva)

matematica alla base di tutte le scienze

- Dante: “Paradiso”

numeri nascosti

- equilibrio, ordine dell’universo, struttura a cerchi

- riferimenti alla matematica

- Abbott: “Flatland. A romance of many dimensions” 2

anti-utopia

- personaggi: figure geometriche

- mondi con diverse dimensioni e ipotesi dell’esistenza di una

- quarta dimensione Storia dell’arte

elementi della matematica che suggeriscono l’idea di bellezza:

- proporzioni: “Napoleone Bonaparte come Marte pacificatore” di

- Canova.

sezione aurea: “Una domenica pomeriggio all’isola della Grande

- Jatte” di Seurat

simmetrie e forme geometriche: “I giocatori di carte” di Cèzanne

- Comte

Comte, positivista francese della prima metà dell’Ottocento, è stato, prima ancora

che filosofo, studioso di diverse discipline scientifiche e insegnante di

matematica.

Nell’opera “Corso di filosofia positiva” ha esposto uno degli elementi fondamentali

dei suoi studi filosofici: la classificazione delle scienze.

Classificazione delle scienze

L’obiettivo di Comte era quello di formulare una classificazione delle scienze

induttive in base al grado di complessità crescente e di generalità decrescente, il

che corrisponde anche all’ordine storico di successione con cui le diverse scienze

hanno raggiunto lo stadio positivo:

astronomia

Fisica inorganica fisica

chimica

Scienze astratte 3

biologia

Fisica organica sociologia

Come risulta evidente dallo schema, la matematica è stata volutamente esclusa

da Comte nella gerarchia; ciò è dovuto al fatto che, a differenza di tutte le altre, è

una scienza deduttiva. Inoltre la matematica è stata la prima scienza a

raggiungere lo stadio positivo ed è sempre presente all’interno delle altre scienze.

Dunque per Comte la matematica è la base di tutte le scienze, e viene suddivisa

in due grandi branchie: la matematica astratta (calcolo), che è la parte

strumentale, e la matematica concreta (geometria generale), che è vera e propria

scienza basata sull’osservazione.

La base matematica delle scienze ci risulta abbastanza evidente, poiché in ogni

scienza è possibile trovare formule e modelli, tutti derivanti, appunto, dalla

matematica.

Sebbene sia spesso meno evidente, la matematica è in realtà presente in ogni

aspetto della nostra vita e in ogni disciplina, anche nella più inaspettata, dalla

letteratura all’arte.

Dunque è quasi sempre possibile ritrovare numeri nascosti, elementi matematici,

forme geometriche, simmetrie, e per dimostrarlo si può cominciare da alcuni

esempi significativi nella letteratura sia italiana, con la “Divina Commedia”

dantesca, che straniera, con l’anti-utopia di Abbott, “Flatland. A romance of many

dimensions.”.

Dante: Paradiso

Nella Divina Commedia di Dante, considerata capolavoro della letteratura italiana

e una delle più grandi opere della letteratura mondiale, è possibile riscontrare la

presenza di numerosi riferimenti alla matematica e alla geometria. Studiosi di

numerologia di ogni tempo si sono occupati del poema, sebbene sia sempre

possibile trovare qualche angolo significativo e ancora inesplorato.

Innanzitutto, ad un primo approccio al Paradiso si può notare come l’Universo

dantesco sia costruito su basi geometriche: i cieli sono tutti delle sfere

concentriche, di diverse dimensioni, in ordine gerarchico e con diverse velocità (il

Primo mobile è il più veloce mentre l’Empireo è immobile poiché si trova al di

fuori dello spazio e del tempo). La struttura geometrica conferisce all’universo un

certo equilibrio e un ordine, ma nella cantica si possono trovare molti altri

riferimenti a concetti della geometria, a elementi della matematica, e numeri più o

meno nascosti spesso utilizzati con particolari significati e valori simbolici.

Alcuni versi significativi ci offrono un’idea complessiva di come anche nel

“Paradiso” si possa parlare di “matematica nascosta”: 4

Più volte Dante ricorre ad elementi matematico-geometrici per parlare della

 duplice natura di Cristo:

 Nel primo canto presenta la natura sia umana che divina utilizzando

simbolicamente delle forme geometriche

“Surge ai mortali per diverse foci

la lucerna del mondo; ma da quella

che quattro cerchi giugne con tre croci,

con miglior corso e con migliore stella

esce congiunta…”

(Paradiso, canto I, vv.37-41)

Parafrasi

“La luce del mondo (sole) sorge per i mortali da diversi punti; ma da quello nel

quale quattro cerchi celesti, intersecandosi, si congiungono in tre croci (equinozio

di primavera), esce congiunta con un corso e con una costellazione migliori…”

Contestualizzazione

I versi fanno parte del primo canto del Paradiso: Dante, dopo aver spiegato la sua

intenzione, cioè di scrivere un poema per l’umanità riportando ciò che ricorda di

quanto ha visto, comincia la sua ascesa verso Dio.

Commento

In questi versi è riscontrabile una simbologia matematica, infatti i “quattro

cerchi” e le “tre croci” non sono utilizzati semplicemente per indicare l’equinozio

dal punto di vista astronomico, ma il cerchio rappresenta simbolicamente la

natura divina di Cristo e la croce la sua natura umana.

 Nel VI canto utilizza un principio della logica per mostrare l’evidenza delle

due nature per Giustiniano

“Io li credetti;e ciò che ‘n sua fede era,

Vegg’ io or chiaro sì, come tu vedi

Ogni contradizione e falsa e vera.”

(Paradiso, canto VI, vv.19-21)

Parafrasi

“Io gli credetti; e ciò che egli credeva, io vedo ora così chiaramente, come tu vedi

che tra due affermazioni contraddittorie una è falsa e l’altra è vera.”

Contestualizzazione

I versi si collocano nel VI canto del Paradiso: Dante si trova nel cielo di Mercurio,

dove incontra Giustiniano che gli spiega come Papa Agapito gli abbia fatto 5

abbandonare l’eresia monofisita per giungere a credere nella duplice natura di

Cristo.

Commento

Nel discorso di Giustiniano Dante utilizza il principio di non contraddizione (date

due affermazioni contraddittorie, se una delle due è falsa, l’altra deve essere vera),

un principio della logica utilizzato anche dalla matematica e proveniente da

Aristotele, per mostrare come l’evidenza di tale principio sia paragonabile a quella

della duplice natura di Cristo.

 Nel XXXIII canto sceglie un problema geometrico insolubile per rendere

l’impossibilità umana di comprendere la duplice natura divina

“Qual è ‘l geomètra che tutto s’affige

Per misurar lo cerchio, e non si ritrova,

pensando, quel principio ond’elli indige,

tal era io a quella vista nova:

veder voleva come si convenne

l’imago al cerchio e come vi s’indova;

ma non eran da ciò le proprie penne…”

(Paradiso, canto XXXIII, vv.133-139)

Parafrasi

“Come lo studioso di geometria che si concentra tutto per risolvere il problema

della quadratura del cerchio, e non riesce a trovare, sforzandosi col pensiero, quel

principio di cui avrebbe bisogno, tale ero io di fronte a quella straordinaria

visione: volevo capire come l'immagine umana potesse adattasi al cerchio e

potesse trovarvi luogo; ma le mie ali non erano capaci di tanto…”

Contestualizzazione

I versi appartengono all’ultimo canto della Divina Commedia: Dante si trova

nell’Empireo, San Bernardo ha innalzato una preghiera alla Vergine affinché il

poeta potesse vedere Dio e il desiderio è stato esaudito, sebbene l’esperienza non

possa essere riportata appieno poiché la visione è ineffabile e Dante non può

raccontarla.

Commento

In questi versi Dante, per spiegare come sia impossibile per l’uomo comprendere

la natura sia umana che divina di Cristo, la paragona al problema della

quadratura del cerchio, un problema della geometria classica già affrontato

nell’antica Grecia e di cui solo nel 1882 è stata dimostrata l’effettiva insolubilità.

Elementi della geometria vengono utilizzati anche nel XVII canto per

 mostrare l’evidenza con la quale Cacciaguida può vedere gli eventi futuri e

per dare una rappresentazione figurata dell’uomo virtuoso: 6

“O cara piota mia che sì t’insusi,

che,come veggion le terrene menti

non capere in trïangol due ottusi,

così vedi le cose contingenti

anzi che sieno in sé, mirando il punto

a cui tutti li tempi son presenti…”

(Paradiso, canto XVII, vv.13-18)

Parafrasi

“Oh mio caro antenato che ti innalzasti tanto, che, come le menti terrene vedono

che in un triangolo non possono essere contenuti due angoli ottusi, così vedi le

cose contingenti prima che accadano, osservando il punto in cui ogni tempo è

presente (Dio) …”

Contestualizzazione

I versi fanno parte del XVII canto del Paradiso: Dante si trova nel cielo di Marte,

dove incontra l’antenato Cacciaguida cui chiede di predire il proprio destino,

poiché ritiene che le difficoltà si affrontano più facilmente conoscendole in

anticipo.

Commento

Dante utilizza la geometria per spiegare l’evidenza con la quale Cacciaguida può

conoscere gli avvenimenti futuri: per gli esseri umani è immediata la percezione

dell’impossibile compresenza di due angoli ottusi in un triangolo (la somma degli

angoli interni di un triangolo è sempre 180°!)

“…avvegna ch’io mi senta

ben tetragono ai colpi di ventura…”

(Paradiso, canto XVII, vv.23-24)

Parafrasi

“…sebbene io mi senta ben saldo di fronte ai colpi della sorte…”

Commento

Dante utilizza il termine geometrico “tetragono”, utilizzato dagli antichi per

indicare il cubo, per rappresentare la figura dell’uomo virtuoso e capace di

resistere alle difficoltà della sorte: infatti il cubo ha sei superfici quadrate per cui

rimane fermo su qualunque superficie lo si appoggi.

Infine, anche per quanto riguarda la visione finale della Trinità, nell’ultimo

 canto, Dante utilizza delle forme geometriche con una simbologia religiosa:

“…de l’alto nume parvermi tre giri

di tre colori e d’una contenenza”

(Paradiso, canto XXXIII, vv.116-117) 7

Parafrasi

“…della divina luce mi apparvero tre cerchi di tre colori ma di una stessa

dimensione”

Commento

Dante presenta la sua visione della trinità come una visione geometrica: infatti si

tratta di tre cerchi di uguali dimensioni, perché sono tre persone uguali, ma di

colori diversi perché sono anche distinte; la scelta del cerchio si spiega col fatto

che, non avendo né inizio né fine può rappresentare l’eternità.

Abbott: “Flatland. A romance of

many dimensions”

Edwin Abbott Abbott lived in England in the Nineteenth century and he was a

teacher, a theologian and the headmaster of the City of London School. He was a

man of letters and he wrote different kind of works, like theological books, literary

essays, school books; but nowadays he is best known for his famous fantastic

romance “Flatland”.

“Flatland. A Romance of many dimensions.” 8

Flatland is a geometrical anti-utopian world, imagined by the author, where

everything has only two dimensions and which is surrounded by other worlds

with different dimensions, such as “Pointland”, without ones dimensions;

“Lineland”, with only one dimension; “Spaceland”, a three-dimensional world.

The protagonist of the story is a square, who belongs to the bourgeoisie and who

tells us how life is in his world. He describes their class division based on

geometrical criterions, in fact in his world people’s social class and job depend on

the number of their sides:

women are lines and they are considered dangerous;

-

soldiers and workers are triangles, but equilateral triangles are bourgeois;

- squares are professionals;

- hexagons are aristocrats;

-

priests, finally, have so many sides that they are considered as circles.

-

The Square describes also the structure of their houses, which are always built in

a pentagonal form, with the roof in the northern part and with two different