
1) L'area cercata e' differenza tra l'area del settore circolare e quella del triangolo ABO
L'area del settore circolare, dal momento che l'area del cerchio e'
inteso
la meta' dell'angolo giro, si ricava, ad esempio, attraverso la proporzione
da cui
Del triangolo si sa che tale poligono e' isoscele (due lati sono r).
Per trovare l'area ci occorre la lunghezza del segmento AB e la relativa altezza.
Il segmento AB e' dato, per il teorema di Carnot, da:
da cui
L'altezza del triangolo sara', per il teorema di Pitagora, utilizzando il triangolo rettangolo meta' del triangolo isoscele
con base pari a metà di AB
l'area del triangolo, quindi sara'
che per la relazione fondamentale della trigonometria dara'
Trattandosi di un triangolo, x sara' senz'altro compresa tra
e
e pertanto la semplificazione di radice non necessitera' del valore assoluto
Pertanto l'area S compresa tra l'arco e la corda sara'
(Altro modo per risolvere l'area del triangolo poteva essere, piu' semplicemente, valutare l'altezza relativa ad un lato del triangolo pari al raggio;
L'altezza relativa a tale lato, era, per la definizione di seno, data da:
dal momento che il seno, per definizione, è il rapporto tra il cateto non adiacente l'angolo x e l'ipotenusa e quindi
)
2)Studio della funzione
Intersezione con gli assi
Dal momento che la funzione
non esisteranno altri punti di intersezione con l'asse x.
Segno della funzione
La funzione e' limitata e definita su tutto il dominio, pertanto non esistono limiti.
Studio della derivata prima:
Pertanto
e' sempre crescente
Dal momento che la funzione è ristretta ed e' sempre crescente, in
avremo un minimo assoluto di coordinate
e in
un punto di massimo assoluto
Studio della derivata seconda
Da cui
e pertanto
Concluderemo quindi che nell'intervallo
la funzione avrà concavita verso l'alto, nell'intervallo
verso il basso e nei punti
punti di flesso.
3) Uguagliata l'area del settore circolare trovata al punto 1 a
si ricava
Posto l l'arco di circonferenza AB ne calcoliamo la lunghezza in funzione di r(anche questo, ad esempio, tramite una proporzione)
Da cui
Attraverso lo studio della derivata prima
Otteniamo
Il denominatore, sempre positivo, non partecipa allo studio del segno della frazione.
Posto pertanto
non ha significato, trattandosi della lunghezza del raggio della circonferenza, pertanto l'unico intervallo sara'
La funzione sara' decrescente nell'intervallo
crescente in
e pertanto avra' minimo per
che e' l'ampiezza dell'angolo espressa in radianti.
L'angolo
espresso in gradi, sara' dato da
4)
dal momento che al più x potrà coincidere con il raggio.
Disegnata la situazione in un opportuno sistema di assi cartesiani, posto il raggio OB sull'asse delle ascisse e O sull'origine, il punto P avrà coordinate
OA sarà la retta di pendenza
e pertanto tutti i punti ad essa appartente (dal momento che passa per l'origine..) avranno coordinate
Il lato del quadrato, sarà pertanto
quando
, mentre per
tale punto apparterrà all'arco di circonferenza di equazione
e avrà coordinate
.
Il calcolo del volume del solido di rotazione sarà