Matematica tradizionale - Soluzione secondo problema

1)

Ogni punto appartentente alla funzione ha coordinate generiche

L'equazione della retta generica, passante per un punto

e tangente ad una funzione

ha equazione generica

e pertanto, per quanto detto sopra, la retta t del caso avra' equazione

Il punto A, di ascissa nulla, avra' coordinate

E il punto B, avra' anch'esso ascissa nulla e ordinata a quella del punto P generico.

Il segmento AB, segmento a cui appartengono due punti aventi stessa ascissa, avrà lunghezza pari alla differenza delle ordinate (in valore assoluto) ovvero

E dunque il segmento AB sara' costante e uguale a 1.

Per la seconda parte, si procede in maniera analoga.

La retta t si ricava dalla relazione

E pertanto

E i punti A e B avranno rispettivamente coordinate generiche

Da cui, la distanza AB sara'

, che varia a seconda del valore di a.

2)Il punto di ascissa 1 ha ordinata 0.

La pendenza del del piano

sarà data sia dalla derivata prima della funzione nel punto in esame che dalla tangente dell'angolo.

Pertanto

Ovvero

Che risolta, darà

Nel caso di

avremo

Da cui

3)

Detto Q il punto di intersezione tra la funzione e la retta y=1,Q' la proiezione di Q sull'asse delle ascisse, R e O i punti di intersezione tra l'asse y e rispettivamente le rette y=1 e y=0, l'Area D richiesta dal problema sarà data dall'area del rettangolo RQQ'O - l'area sottesa dalla funzione.
Sapendo che le coordinate dei punti sono

e

L'area del rettangolo sara' data da

mentre l'area della regione sara'

integrando per parti

E pertanto l'area di D sara'

4)

da cui

Il centro di rotazione e' sull'asse x=-1 (lavorando sulla funzione inversa) pertanto trasliamo di +1 per avere asse di rotazione x=0.

Otteniamo cosi' la funzione

dove

è il volume del cilindro di raggio=1 e altezza = 1.