Matematica PNI - Soluzione secondo problema

Sia

, definita da

, con

Punto 1)
Il dominio della funzione è tutto l'asse reale. Inoltre

mentre

e si ha

a) se

, per

;
b) se

, per

;
c) se

, per

.

Inoltre

e sono indipendenti da

.

Si ha poi

e quindi

a) se

, per

;
b) se

, per

;
c) se

, per

.

Nel caso c) si hanno allora due estremi:

un Max in

che vale

;
un min in

che vale

.

Infine

per

e quindi si ha un flesso in

.

Il grafico nei tre casi è riportato di seguito:

a)

b)

c)

Si osservi che la differenza nel grafico in a) e b) sta nella pendenza (la tangente nell'origine.

Punto 2)
Consideriamo

la cui intersezione con

si ottiene risolvendo

. Considero la funzione

, che ha dominio coincidente con l'asse reale e per cui

. Inoltre

per ogni valore reale, e quindi

è ovunque crescente. Dal teorema di esistenza degli zeri esiste allora un unico

tale che

e quindi

per un unico punto c.

Punto 3)
La funzione inversa è data da

e quindi dobbiamo calcolare l'integrale della regione finita illustrata in figura (compresa tra i due archi).

Per determinare il punto di intersezione, dobbiamo risolvere

, da cui

le cui uniche soluzioni reali e non negative sono

. Allora

Punto 4)

Per calcolare il volume, osserviamo che ogni rettangolo ha la base che risulta perpendicolare alla bisettrice del primo quadrante. La metà di tale base è pari alla distanza del punto

generico sulla curva

e la bisettrice stessa. Allora

ed essendo

e quindi

si ha

Allora

.

Avendosi

risulta l'unico punto accettabile e rappresenta il massimo che vale

.

Per il volume abbiamo