Tempo: dalla scienza alla fantascienza

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dovuto essere l’elemento nel quale si generano le onde elettromagnetiche (come

l’aria per le onde sonore). Con il loro esperimento si evidenziò che la velocità

della luce risulta indipendente dalla direzione della sorgente rispetto alla

terra e quindi rispetto al moto orbitale.

Stessi risultati sono stati ottenuti in acceleratori di particelle

utilizzando mesoni come sorgente; questi mesoni, prodotti alla velocità di



0.99c, si disintegrano producendo raggi che essendo onde elettromagnetiche

prodotti

viaggiano alla velocità della luce. La velocità misurata per i raggi

dai mesoni era, entro gli errori sperimentali, proprio c.

Molte conclusioni della relatività ristretta sembrano essere in

discordanza con l’esperienza quotidiana. E lo stesso secondo postulato di

Einstein sembra contraddire il senso comune.

Spesso il senso comune non è un buon maestro, quando si tratta di scoprire

le leggi della natura; si pensi alla prima legge della meccanica: “Un corpo non

soggetto ad una forza esterna permane nel suo stato di quiete o di moto

rettilineo uniforme”. Il senso comune ci porta a pensare che questa legge sia

sbagliata, infatti, siamo abituati ad osservare oggetti in moto che dopo un

certo tempo si fermano.

Si è quindi visto che in natura esiste una velocità limite insuperabile.

La fisica classica ammette l’ipotesi (smentita dall’osservazione e dalle leggi

della fisica moderna) che si possano inviare messaggi a velocità infinita. La

tecnica e poi l’esperienza insegnano invece che c è questa velocità limite. La

velocità della luce gioca nella relatività lo stesso ruolo dell’infinito nella

fisica classica. Si può quindi affermare che la velocità finita della sorgente

di luce non può influenzare il valore della velocità di un segnale emesso già

con il valore limite della velocità. 9

Figura 3.1 – Interpretazione Artistica della relatività di Escher

La meccanica newtoniana si manifesta come un caso particolare della

Relatività ristretta per fenomeni a basse velocità. Nella meccanica newtoniana

le relazioni tra fenomeni appartenenti a due sistemi inerziali (non accelerati)

in moto relativo tra loro lungo l’asse x con velocità v sono regolati dalle

trasformate galileiane rappresentate seguenti relazioni:



 

x x vt (1)





y y (2)





z z (3)





t t (4)

10

Queste trasformazioni, pur essendo del tutto corrette quando v << c,



perdono di significato quando v c. Le equazioni corrispondenti usate quando

la velocità di traslazione tra i due sistemi è confrontabile con c, dette

trasformate di Lorentz, sono: 

x vt





x 2 (5)

v

 



1  

c

 

 

y y (6)

 

z z (7)

v

 



t x

 

2

c

 





t 2

v

 



1  

c

  (8)

y y’ = y 1

 

 t 2

v

  

(t-vx/c 2

t’ = ) 

1  

S c

 

S’ v

O O’ x (x-vt)

x’ =

z z’ = z

Figura 3.2 – Per due sistemi di riferimento inerziali S e S’, che si

muovono l’uno rispetto all’altro con velocità v lungo l’asse x, le

trasformate che permettono di passare dalle coordinate di un sistema

all’altro sono le trasformate di Lorentz che tendono alle trasformate

Galileiane per v<<c. 11

Si notino ora alcune proprietà di queste equazioni.

1. Il tempo non è lo stesso per due osservatori solidali con i due

sistemi di riferimento.

2. Se facciamo tendere c all’infinito le trasformazioni di Lorentz si

riducono a quelle di Galileo.

3. La velocità deve infine essere sempre v < c altrimenti le quantità x’

> c).

e t’ diventano indeterminate (per v = c) o immaginarie (per v

La velocità della luce costituisce un limite superiore alle

velocità dei corpi materiali.

Cinematica relativistica

Prendiamo ora in considerazione due sistemi di riferimento S ed S’. Un

osservatore in S’ osserva due avvenimenti che avvengono nello stesso luogo nel

sistema di riferimento S’. la posizione di questi due eventi può essere chiamata

t’

x’. L’osservatore misura un intervallo di tempo tra questi eventi. Un

osservatore in S, per il quale i due eventi appaiono in moto osserva gli stessi

t,

eventi e misura un intervallo di tempo diverso dato dall’equazione:





t

 

t 2 (9)

v

 



1  

c

 

Ricavata dalla (8). t t’

Il fenomeno per il quale > è chiamato dilatazione dei tempi.

L’osservatore fermo (nel nostro caso l’osservatore in S) misura un intervallo di

tempo più lungo rispetto a quello misurato dai cronometri in moto.

Ora consideriamo una sbarra parallela agli assi x e x’ in quiete rispetto

al sistema di riferimento S’. l’osservatore in S’ misurerà per tale sbarra una

12

x’;

lunghezza l’osservatore in S misurando la lunghezza della stessa sbarra che

x

a lui appare in moto troverà un’equazione data dall’equazione:

2

v

   (10)

   

x 1 x

 

c

 

Ottenuta dalla (5). x x’

Questo fenomeno per il quale < è chiamato contrazione delle

lunghezze. Le dimensioni y e z perpendicolari alla direzione del sistema di

riferimento non cambiano. Diverso è il comportamento delle velocità: anche le

componenti delle direzioni y e z subiscono delle variazioni che seguono le

trasformate di Lorentz per il fatto che il tempo si contrae indipendentemente

dalla direzione.

Dinamica relativistica

Abbiamo osservato il comportamento di tempi e lunghezze nell’ambito

relativistico; ora analizziamo il comportamento della massa. La relatività

ristretta afferma che la massa relativistica m di un corpo in moto con velocità

v è: m 0



m 2 (11)

v

 



1  

c

 

In questa equazione m è la massa a riposo, cioè la massa misurata quando

0

la particella è in quiete rispetto all’osservatore.

Di conseguenza la quantità di moto sarà data dalla seguente equazione.

m v

0

 

p mv 2 (12)

v

 



1  

c

  13

Il risultato più noto della relatività ristretta è il principio di

equivalenza massa energia. Massa ed energia sono equivalenti e la relazione che

lega queste due grandezze è diventata il simbolo della relatività ristretta.

2 (13)



E mc

L’equivalenza tra massa ed energia forma un'unica grandezza che possiamo

chiamare massa-energia che si può ricavare dalle formule e dalle conoscenze

esposte sopra. Questa nuova grandezza può essere espressa indifferentemente in

unità di massa o in unità di energia.

Cenni di relatività generale

Anche la relatività generale ha un ruolo fondamentale nella nuova

concezione di spazio tempo e prima di addentrarci nelle problematiche legate al

viaggio nel tempo occorre trattare di alcune conseguenze di questa teoria.

Prima importante conseguenza è la curvatura dello spazio tempo.

La massa di qualsiasi corpo influisce sullo spazio tempo circostante

curvandolo.

In questa formulazione della gravitazione viene superato il concetto di

forza di gravità come attrazione reciproca di due masse ma è analizzata come

conseguenza del movimento dei corpi all’interno dello spazio deformato dalla

presenza di una massa.

Quindi la causa diretta della caduta di un corpo verso un'altro di massa

maggiore o le traiettorie curve dei pianeti sono un effetto diretto della

curvatura dello spazio-tempo.

In pratica se ci si limita a considerare il comportamento di corpi massivi

non cambia nulla per quanto riguarda gli effetti e la discussione precedente

riguardo alla curvatura può sembrare solo un formalismo matematico. 14

Le cose si fanno interessanti quando invece dei corpi si considerano la

luce o in generale le onde elettromagnetiche che, essendo prive di massa,

secondo la teoria classica della gravitazione non dovrebbero essere influenzate

dalla presenza di massa. Secondo la teoria di Einstein invece anche le

radiazioni elettromagnetiche (e quindi anche la luce) subiscono le conseguenze

della curvatura spaziotemporale; Einstein fece notare questo fenomeno anche agli

scettici grazie all’osservazione dell’eclisse di sole del 29 maggio 1919.

Grazie a questo fenomeno è stato possibile osservare la posizione delle

stelle anche di giorno e in particolare quelle posizionate in prossimità della

posizione del sole. La posizione misurata durante l’eclissi di queste stelle era

diversa da quella delle stese, misurata di notte (6 mesi dopo) a causa della

deviazione subita dai raggi luminosi provenienti da queste stelle a causa della

presenza della massa del sole e della conseguente deformazione dello spazio-

tempo.

Il fenomeno può essere esemplificato; immaginiamo un telo elastico messo

in piano e teso con delle corde. Ora appoggiamo al centro del telo una biglia di

ferro; il telo si è curvato. Immaginiamo che il telo rappresenti l’universo e

che la biglia rappresenti un corpo celeste. Facciamo correre sul telo una biglia

più piccola che può rappresentare un piccolo corpo celeste o una particella

elementare (ad esempio un fotone). Facendo correre la biglia piccola sul telo ci

accorgiamo che il suo moto è deviato dalla curvatura del telo. Se la velocità è

minore la biglia piccola “cadrà” sulla biglia grande. Apparentemente il moto è

deviato dalla massa; in realtà a deviare il moto del nostro corpo celeste è la

curvatura del telo o, dello spaziotempo. È da notare un altro particolare: più è

alta la velocità della biglia meno essa sarà deviata dalla curvatura. Accade

così anche nello spaziotempo, infatti, i fotoni (che viaggiano a 300'000 Km/s)

vengono deviati dai grandi corpi celesti meno rispetto ai corpi celesti più

piccoli che viaggiano a velocità minore. 15

Figura 3.3 – Rappresentazione della traiettoria dei raggi luminosi

provenienti dalle stelle poste dietro la massa solare.

Le curve dello spaziotempo percorse da tutti i corpi e dalle particelle

elementari sono chiamate geodetiche.

Ogni particella di materia si muove a velocità costante lungo una

geodetica che in ogni momento può essere considerata retta. La curvatura

determina l'effettiva forma delle geodetiche e quindi il cammino che un corpo

segue nel tempo.

Un corpo libero si muove nello spazio-tempo sempre lungo una geodetica,

allo stesso modo in cui nella meccanica classica un corpo non sottoposto a forze

si muove lungo una retta. Se la struttura dello spazio-tempo in quel punto è

piatta, la geodetica sarà proprio una retta, altrimenti assumerà forme diverse.

La scoperta della curvatura dello spaziotempo cambia il concetto di

gravità; i corpi, infatti, non sono sottoposti alla gravità ma percorrono le

loro naturali geodetiche.

Avendo considerato lo spazio composto di 4 dimensioni; tre spaziali e una

temporale, e avendo paragonato la dimensione tempo alle altre tre risulta

abbastanza naturale dedurre che la curvatura dello spazio sia causata dalla

presenza di una massa. La curvatura spaziale agisce sul tempo rallentandolo.

16

Maggiore è la massa di una stella di una stella più lentamente il tempo scorre

nelle vicinanze del corpo celeste..

Alcuni riscontri sperimentali

Oltre all’effetto “lente gravitazionale” descritto nel paragrafo

precedente, molti altri effetti possono essere portati a supporto delle teorie

di relativistiche di Einstein. Tra queste una delle più note è la precessione

dell’orbita di Mercurio.

Tra tutti i pianeti del sistema solare, Mercurio è quello che presenta la

precessione del perielio più accentuata, essendo il più vicino al Sole.

Il fenomeno è previsto dalla teoria della gravitazione universale di Isaac

Newton, ma Mercurio avanza più velocemente di quello che prevede la teoria

stessa: dalle osservazioni, infatti, è risultato che

Mercurio

Sole

Figura 3.3 – L’entità della precessione dell’orbita di Mercurio è una

delle evidenze spiegate dalla relatività generale.

Questi 43” in più sono invece perfettamente previsti dalla teoria della

relatività generale che prevedeva una precessione del perielio dei pianeti anche

in assenza di interazione tra essi (mentre la meccanica classica prevede in tal

caso che l'orbita sia un'ellisse fissa e immutabile). 17

La precessione del perielio di Mercurio viene perciò considerata la prima

conferma sperimentale della teoria della relatività generale.

Oltre ad osservazioni di fenomeni naturali e astronomici, si sono eseguiti