Numeri che Ingannano

Liceo Classico E. Torricelli

Sezione Scientifica Annessa

Numeri che ingannano

Giada Nicola

3^B

A.S. 2008/2009

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Indice generale

Presentazione...................................................................................................3

Latino...........................................................................................................6

Svetonio......................................................................................................6

Italiano........................................................................................................8

Italo Calvino.................................................................................................8

Umberto Eco...............................................................................................10

Inglese........................................................................................................12

Edgar Allan Poe...........................................................................................12

Lewis Carroll ..............................................................................................15

Scienze........................................................................................................17

Introduzione al rapporto tra crittografia e DNA................................................17

Il DNA........................................................................................................18

Verso il futuro, il computer a DNA..................................................................18

Matematica..................................................................................................19

Macchine di Turing e concetto di computabilità................................................19

Impostazione formale di una MdT1n5i (1 nastro, istruzioni a 5 campi)................20

Storia.........................................................................................................21

1941 Battaglia di capo Matapan: (27 - 28 marzo 1941)....................................21

1944 Sbarco in Normandia (6 giugno 1944)....................................................21

Enigma......................................................................................................22

Bibliografia.....................................................................................................24

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Presentazione

Narrano Le vite dei dodici Cesari di Svetonio che Cesare Augusto scriveva i suoi messaggi sostituendo ogni lettera con quella seguente nell'alfabeto, così che per esempio "cesare" diventava "dftbsf". Giulio Cesare, leggermente più sofisticato, sostituiva ogni lettera con quella che segue tre posti più in là nell'alfabeto, così che questa volta "cesare" diventava "fhvduh". Oggi questi trucchi fanno ridere i polli, e forse già allora facevano ridere i Galli.

I primi tentativi di scritture “misteriose” leggibili solo da alcuni iniziati sono rintracciabili in geroglifici egizi su monumenti dell'Antico Regno (4500 a.C. circa), ma il primo utilizzo sistematico della crittografia si ebbe in ambito militare, con la Scitala spartana, un bastone su cui veniva avvolta una pergamena su cui scrivere.

Per poter leggere il messaggio il destinatario doveva utilizzare una scitala del medesimo diametro.

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La scitala è interessante perché si tratta di uno dei primi strumenti creati per cifrare i testi. Come si vede in figura, si avvolge un nastro intorno a un cilindro, e si scrive lungo l'asse dello stesso. Svolgendo il nastro le lettere, se lette di seguito, formano una frase senza alcun senso.

La codificazione cambia a seconda di quante volte si avvolge il nastro.

Costruiamo un modello matematico semplificato della scitala. Supponiamo di avvolgere il nastro 9 volte. Ecco allora quello che accade nel processo di cifratura:

La Scitala Spartana 1) La Frase (che ha 45 lettere) viene divisa in blocchi di 9 lettere, scritti in righe successive (se il testo contiene un numero di caratteri non divisibile per 9, si aggiungono spazi alla fine):

non ne po ssiamo pr oprio pi ù di quest o governo

Questa è la situazione del nastro avvolto.

2) Svolgere il nastro corrisponde a scrivere il messaggio per colonne. Si ottiene così il testo in cifra: nso oospd nirig ai onmoqveo ue perppisnorùto

Se codifichiamo la Frase con blocchi di 10 lettere otteniamo una cifratura completamente diversa: nsr voiiqenaour m ennopsoe it piùo pr oodg spio

La scitala, pur nella sua ingenuità, contiene una idea nuova rispetto ai codici di sostituzione: permutare le posizioni delle lettere. Il processo di permutare le posizioni viene detto trasposizione. I migliori risultati si ottengono alternando sostituzioni e trasposizioni.

Si deve, però, a Giulio Cesare l'invenzione di un primo vero cifrario, monoalfabetico a scorrimento (o a sostituzione). Il cifrario di Cesare restò quanto di più avanzato in campo crittografico si ebbe per i successivi 15 secoli, ovvero fino all'invenzione di un cifrario polialfabetico da parte di Leon Battista Alberti alla fine del XV Secolo. Il cifrario di Alberti non fu certo il primo polialfabetico, ne abbiamo notizia di altri in manoscritti arabi del IX Secolo, ma il primo a non essere vulnerabile agli attacchi dei critto analisti con la tecnica dell'Analisi della Frequenza, ovvero la ricerca della chiave di cifratura utilizzando la frequenza delle lettere (E. A. Poe, Lo Scarabeo d'oro).

V. M. Manfredi, Lo Scuro di Talos a cura di Daniela Ciocca e Tina Ferri, 1992 nota pag. 218

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Nel XVI Secolo, sotto la spinta di una sempre maggior necessità di comunicare in maniera nascosta comparve un'evoluzione del cifrario di Cesare la cui formulazione fu erroneamente attribuita a Vigenére: il meccanismo di sostituzione variava per ogni lettera secondo lo schema di una parola chiave, “verme”.

Questa evoluzione fu ritenuta inattaccabile per secoli, anche se in realtà la sua inattaccabilità fu dimostrata appena due secoli dopo da Charles Babbage e poi pubblicata nel 1800 con la formalizzazione del metodo di forzatura delle tavole a cura di Kasiski (Metodo Kasiski).

Fu però proprio un'evoluzione delle tavole di Vigenére, ottenuta cifrando la parola chiave col metodo di Leon Battista Alberti, variando la cifratura della stessa 3 volte (in seguito si arrivò fino a 7) in ogni crittazione, a dare tanti grattacapi agli Alleati nella 2^ Guerra Mondiale.

La macchina, Enigma, risultò impenetrabile a tutti i crittanalisti per anni, fino a quando furono sottratti una copia del cifrario e una macchina nell'operazione PRIMROSE e sotto la guida di Alan Turing a Betchely Park fu costruito il un calcolatore in grado di forzare la cifratura stessa (il Colussus). La fine della 2^ Guerra Mondiale segnò l'inizio di un'altra Guerra, la Guerra Fredda che aveva nella segretezza e nella sicurezza delle trasmissioni il suo fondamento.

Saranno gli studi di Alan Turing a dettar legge da questo momento ai giorni nostri nella disciplina nata con la costruzione del Colussus prima e dell'ENIAC poi, nota come Informatica.

Dopo la fine del conflitto, gli studi di Turing si concentrarono prima sulla progettazione di un calcolatore programmabile (ACE), poi sulle relazioni tra macchine e natura ed infine sull'intelligenza artificiale. Nei decenni successivi alla sua morte (si suicidò nel 1954 mordendo una mela intinta nel cianuro per emulare il cartone animato della Disney “Biancaneve ed i Sette Nani”,) le basi gettate dai suoi studi porteranno alla nascita del Computer, ovvero di un calcolatore programmabile: il grande sogno di una vita che non ebbe la possibilità di vedere realizzato.

“Per ora, gli unici computer che abbiano passato il test di Turing di cui si abbia esplicita notizia si trovano in romanzi di fantascienza, da 2001: Odissea nello spazio di Arthur

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Clarke (1968) a L'uomo di Turing di Harry Harrison e Marvin Minsky (1992).”

L'era digitale e la comunicazione via internet ha reso possibile la comunicazione anonima, la rete è il luogo dove chiunque può divenire chi non è celandosi dietro uno o molteplici nickname. Ma la rete è per molti anche uno strumento di lavoro e lo stesso anonimato che per molti rappresenta il grande pregio della rete per altri è uno scoglio.

Crittografare i messaggi è parso fin da subito il metodo migliore per superare questa problematica, ma ne ha introdotta un'altra: la trasmissione della chiave di cifratura: trasmetterla in chiaro avrebbe reso tutti i successivi accorgimenti del tutto nulli e non sempre è possibile tra le due parti scambiarsi la chiave per altre vie “sicure”. Tale scoglio fu superato con l'introduzione della crittografia asimmetrica.

Il principio generale della crittografia asimmetrica ha una solida base matematica che lo giustifica; essa si fonda sull'uso di un problema complesso, ovvero un'operazione matematica semplice da eseguire ma difficile da invertire, cioè dal cui risultato è difficile risalire agli argomenti di partenza. L'esempio classico è il problema della fattorizzazione di un numero (trovare i numeri primi che lo producono se moltiplicati tra loro, ad esempio è facile moltiplicare 17*23 ottenendo 391, ben più difficile è per esempio fattorizzare il numero 377 nei fattori primi 13 e 29) usata nel primo e più famoso sistema crittografico a chiave pubblica: RSA. (dai nomi dei 3 matematici del MIT che nel

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1978 lo svilupparono, Ronald Rivest, Adi Shamir e Leonard Adleman).

P. Odifreddi, Alan Turing: informatica, spionaggio e sesso. - Gennaio 1992

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Clifford Cocks, un matematico britannico che lavorava per un dipartimento di spionaggio, descrisse un sistema equivalente in un documento datato 1973. Il documento fu posto sotto segreto e, visto il costo relativamente alto delle macchine necessario a quel tempo per implementarlo, non ci furono ulteriori indagini né prove pratiche, tale scoperta fu considerata come semplice curiosità e resa pubblica nel 1997.

Fonte: Wikipedia 4

Le conoscenze di matematica pura sviluppate dall'uomo negli ultimi secoli hanno reso sempre più efficiente fattorizzare, ma nessuno è mai riuscito a far fare quel "salto" che porta il problema da complesso a non essere più complesso; il problema diventa quindi

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intrattabile per numeri oltre una certa dimensione.

Attualmente, per la crittografia RSA vengono considerati "sicuri" numeri che in base 10 hanno almeno 300 cifre, il che significa chiavi di 1024 bit e oltre.

Altro esempio di problema complesso è il logaritmo discreto, usato nella nascente crittografia ellittica e nella crittografia DSA, proposta come standard universale per la firma digitale.

Quella tra matematica e letteratura è una lunga storia che si perde nei secoli.

Fin dall'antichità il legame è molto stretto: si pensi al detto del sofista Protagora "L'uomo è misura [in gr. métron, nell'accezione matematica] di tutte le cose"; o al fatto che in latino il verso della metrica si chiami numerus.

I 9 libri delle Storie di Erodoto, come le nove Muse; i 12 libri dell'Eneide, metà esatta dei 24 omerici; Dante (le 100 cantiche della Divina Commedia, i 35 anni, i numeri 3, 5 e 7); Petrarca (le 366 poesie del Canzoniere); Boccaccio (il 10 che informa il Decameron, 10 novelle per 10 giorni, raccontate da 10 narratori).

Nel mondo anglosassone prevale la contaminazione, spesso ironica, tra cultura umanistica e scientifica, con citazioni dotte, allusioni e rielaborazioni. Precursore può essere considerato Lewis Carroll (1832-1898), di professione matematico con i giochi logico-verbali di Alice nel paese delle meraviglie.

Ma tutto era già cominciato a metà Ottocento coi racconti di Edgar Allan Poe(1809-1849) che nello Scarabeo d'oro addirittura introduce la crittografia utilizzando l'algoritmo di Cesare che diventerà un classico del poliziesco: un metodo per nascondere i messaggi tramite diverse tecniche combinatorie

Anche uno scrittore della indiscussa lucidità intellettuale come Italo Calvino è stato affascinato dalla fittissima rete di significati e di possibilità polivalenti frutto di infinite combinazioni cui possono dare vita i personaggi la cui prima simbologia è apparentemente una carta dei tarocchi come appunto nel Castello dei destini incrociati

Questo tipo di letteratura si concentra in un arco di tempo che va dalla seconda metà dell'Ottocento circa, fino ai primi anni del Novecento, poi tali racconti estrometteranno o accenneranno solo di sfuggita a un eventuale messaggio segreto senza però indicare il procedimento che si è adoperato per contraffarne gli alfabeti e/o per rimetterli in chiaro.

E anche se qualche enigma – per la verità molto meno articolato di quelli descritti – lo si osserva rinascere, intorno al 1980, in romanzi celebri come Il nome della Rosa di Umberto Eco c'è un vuoto non mai più colmato che riguarda le scritture segrete nella letteratura.

M. du Sautoy, L'enigma dei numeri primi, BUR

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Latino

Svetonio

Sulla biografia di Svetonio possediamo scarse notizie. Sappiamo che nacque intorno al 70 d.C. da una famiglia di rango equestre di modesta condizione.

Agli inizi svolse l'attività forense, poi, dopo aver iniziato gli studi eruditi, grazie alla protezione di personaggi importanti, gli fu affidata la cura delle biblioteche pubbliche, poi con Adriano fu addetto all'archivio imperiale e alla corrispondenza dello stesso principe. Dopo il rovescio politico del suo protettore, anche l'incarico di S. presso la corte non durò molto a lungo. Nel 122, Adriano lo allontanò con un pretesto, perché, a quanto pare, alcuni dignitari, e lui fra gli altri, avevano instaurato un'eccessiva familiarità. Trascorse gli ultimi anni della sua vita immerso negli studi ed attendendo alla pubblicazione delle sue vaste e numerose opere. . Svetonio è noto soprattutto come autore del "De viris illustribus" e del "De vita Caesarum" . L'importanza di queste opere sta nel fatto che attinge notizie da opere testi ormai perduti degli storici dell'impero. Ciò permette di ritrovare una prospettiva più giusta sugli avvenimenti e sugli uomini che sono stati oggetto a volte di appassionata ammirazione e altre volte di odio feroce. La data di morte non è conosciuta, ed è posta da alcuni attorno al 126, da altri una quindicina di anni dopo, attorno al 140.

De Vita Caesarum - Divus Iulius – 56-6

Epistulae quoque eius ad senatum extant, quas primum videtur ad paginas et formam memorialis libellis convertisse, cum antea consules et duces non nisi transversa charta scriptas mitterent. Exstant et ad Ciceronem, item ad familiares domesticis de rebus, in quibus, si qua occultius perferenda erant, per notas scripsit, id est sic structo litterarum ordine, ut nullum verbum effici posset; quae si qui investigare et persequi velit, quartam

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elementorum litteram, id est D pro A et perinde reliquas commutet.

(Rimangono anche le sue lettere a Cicerone e quelle ai familiari; quando doveva fare qualche comunicazione segreta, si serviva di segni convenzionali, vale a dire accostava le lettere in un ordine tale da non significare niente: se si voleva scoprire il senso e decifrare lo scritto bisognava sostituire ogni lettera con la terza che la seguiva nell'alfabeto, ad esempio la A con la D, e così via.)

Sebbene Svetonio menzioni solo uno spostamento di 3 lettere, è chiaro che si può estendere: impiegando qualsiasi spostamento tra 1 e 20 (nel caso dell'alfabeto italiano di 21 lettere), si possono ottenere 20 diverse cifrature. L'idea alla base è molto semplice: ogni lettera dell'alfabeto viene sostituita con quella che si trova 3 posizioni avanti nell'alfabeto stesso.