Infinito e finito: il bivio

determina l’intensità della forza di attrazione gravitazionale che è l’unico

fattore che può impedire

l’espansione dell’universo. Gli scenari futuri possibili potrebbero essere quattro:

1- Universo chiuso

2- Universo aperto

3- Universo piatto

4- Universo in accelerazione

Se la densità dell’universo è sufficiente per generare una forza gravitazionale in

grado di fermare la spinta all’espansione,

l’universo cesserà di espandersi e ricadrà su

se stesso contraendosi. Il gigantesco

collasso prende il nome di big crunch e

quindi quando la densità media è maggiore

universo

della densità critica si parla di

2

chiuso. Quest’universo è caratterizzato da

una geometria chiusa come quella di una

sfera ed è simile a un’ellisse.

Se, invece, la densità dell’universo è troppo

piccola e non genera una forza

gravitazionale sufficiente per impedire

l’espansione, le galassie si allontaneranno

sempre di più e le stelle si esauriranno fino a

universo

spegnersi. L’universo, detto

aperto diventerebbe sempre più freddo,

oscuro e vuoto. Si parla quindi di universo aperto quando la densità media

risulta minore della densità critica. In questo caso la geometria sarà aperta con

curvatura negativa.

Se la forza gravitazionale non sarà sufficiente per causare una contrazione ma

riuscirà a contrastare l’espansione tanto da rallentarla sempre più, senza

universo piatto.

provocare un collasso, si parlerà di Secondo questa ipotesi la

densità media dell’universo è esattamente uguale alla densità critica e la

geometria è giustamente piatta.

universo in accelerazione

Il quarto tipo di universo: , esprime l’idea che il

nostro universo sia in fase di rapida espansione e che il ritmo di questa

espansione stia aumentando. Questa idea o teoria, come si preferisce

chiamarla, viene associata proprio al fatto che le galassie siano in continuo

allontanamento tra loro così come ha dimostrato Hubble, argomento trattato

all’inizio del paragrafo.

L’infinito matematico: dagli insiemi all’energia

potenziale

2 Per densità critica (solitamente indicato con il simbolo Ω) s’intende un ipotetico valore critico

dal quale dipende la curvatura dell’universo; secondo esso, infatti, può esistere una curvatura o

negativa o positiva. 6

Il concetto di infinito è sicuramente uno dei concetti più affascinanti di tutta la

matematica, la nostra normale intuizione, infatti, non è in grado di studiare

correttamente l'infinito, anche la matematica lo fa entro certi limiti, vediamo

come.

• La teoria degli insiemi

Quando la nostra mente pensa all'infinito quasi sempre prende come riferimento il

mondo dei numeri. L'insieme più semplice di numeri che possiamo immaginare è

quello dei numeri naturali, esso è chiaramente infinito infatti la successione crescente

dei numeri naturali non ha fine perché fissato comunque un numero naturale è

sempre possibile trovare un numero maggiore di esso. Tuttavia noi diciamo che

anche l'insieme dei numeri pari o quello dei numeri dispari è infinito, questo ci pone

davanti alla questione di valutare se sono di più i numeri pari o quelli dispari, oppure i

naturali e i pari. Alla prima questione viene naturale rispondere che ci sono tanti pari

quanti dispari, perché quando contiamo troviamo un pari e un dispari, alternati; la

seconda domanda pone maggiori difficoltà, infatti ci verrebbe da rispondere che ci

sono più naturali che pari, dato che l'insieme dei numeri pari è contenuto in quello dei

numeri naturali, ma allora in che senso sono entrambi infiniti?

Qualcuno potrebbe rispondere che sono domande senza senso, ma in realtà la

matematica è riuscita a rispondere in maniera rigorosa a queste domande grazie alla

teoria degli insiemi del matematico tedesco Georg Cantor. In questo contesto, un

insieme si dice infinito o finito a seconda che si possa o meno stabilire una

corrispondenza biunivoca (uno a uno) tra i suoi elementi e quelli di un suo

A B

sottoinsieme proprio (un insieme è un sottoinsieme proprio dell'insieme se tutti gli

A B, B

elementi di appartengono a ma ha almeno un elemento che non appartiene ad

A).

Ad esempio, gli elementi dell'insieme [1, 2, 3] non possono essere messi in alcun

modo in corrispondenza biunivoca con gli elementi di un sottoinsieme proprio di esso;

un insieme di questo tipo è detto insieme finito. Al contrario, è possibile stabilire una

n,

corrispondenza biunivoca tra gli elementi dell'insieme [2, 4, 6, ..., 2 ...] e quelli del

n

suo sottoinsieme proprio [6, 8, 10, ..., 2 + 4,...] facendo corrispondere, per ogni intero

n, 2n 2n

positivo l'elemento del primo insieme con l'elemento + 4 del secondo. Un

insieme che goda di questa proprietà si dice insieme infinito.

Persino lo stesso Cantor rimase allibito dalle sue scoperte, che qui non tratteremo

oltre, al punto che, è noto, pronunciò, riguardo le sue scoperte: "Lo vedo ma non lo

credo."

• Il concetto di limite

I termini infinito e infinità assumono nell'analisi matematica un significato

leggermente diverso, che può essere precisato ricorrendo al calcolo infinitesimale che

è quel ramo della matematica che impiega in modo sistematico l’operazione di

passaggio al limite. f(x) x c

Si dice che la funzione , per tendente ad un punto , ha

 per 7

ℓ

limite il numero , e si scrive:

( ) =l

lim f x

x→ c ε

quando scelto un arbitrario numero positivo piccolo a piacere

H

si può sempre determinare un intorno completo

c x

del punto tale che per ogni di tale intorno, escluso

c

eventualmente risulti soddisfatta la disequazione:

| f(x)- | ‹ ε

l

Cioè le disequazioni: - ε ‹ f(x) ‹ + ε

l l

Da questa definizione generale di limite si possono ricavare le restanti definizioni di:

limite destro e sinistro di una funzione; limite finito per una funzione che

tende all’infinito; limite infinito per una funzione che tende all’infinito e

limite infinito per una funzione che tende al finito.

• Limite destro e sinistro di una funzione

x→

f(x) c,

Può accadere che non esista il limite di per ma un tale limite esista

❑

f(x)

quando si considerano soltanto i valori di che appartengono ad un intorno

c ‹ x ‹ c + δ c c – δ ‹ x ‹ c.

destro: del punto ,oppure ad un intorno sinistro:

Si dà, quindi, la seguente definizione: destro f(x) x

Si dice che il numero è il limite della funzione per

 l

c

tendente ad un punto , e si scrive:

( )=l

lim f x

x → c⁺ ε

quando, in corrispondenza a un arbitrario numero positivo ,si

destro H c

può sempre determinare un’intorno del punto tale che

x H, c

per ogni di escluso eventualmente , risulti soddisfatta la

disequazione: | f(x)- | ‹ ε

l l

sinistro ε,

Se l’intorno H, invece, è un intorno del punto allora si dice che il numero

x→

f(x) c

è il limite sinistro di per , e si scrive:

❑ 8

( )=l

lim f x

x → c⁻

• Limite finito per una funzione che tende all’infinito

y = f (x) x

Si dice che una funzione per tendente all’infinito ha per

 ℓ

limite il numero e si scrive: ( )=l

lim f x

x→∞ ε›0

Se fissato un numero arbitrario , piccolo a piacere, in x₀ 0

corrispondenza di questo si può determinare un numero ›

x |x|› x₀

tale che per ogni soddisfacente la relazione si abbia:

| f(x)- | ‹ ε

l

• Limite infinito per una funzione che tende all’infinito

y = f(x) x

Si dice che la funzione per che tende all’infinito ha per

 limite l’infinito e si scrive: ( )=∞

lim f x

x→∞ M›0

se fissato un numero arbitrario , grande a piacere è possibile

x₀ ›0

in corrispondenza di questo determinare un numero tale che

x |x|› x₀

per ogni soddisfacente la relazione si abbia:

| f(x) › M

¿

Rappresentazione grafica di alcuni limiti

• Limite infinito per una funzione che tende al finito

y = f(x) x x₀

Si dice che una funzione per tendente a un punto ha

 per limite l’infinito e si scrive:

( ) =∞

lim f x

₀

x→x 9 M › 0

quando scelto un numero arbitrario , grande a piacere, è

possibile determinare nel campo di esistenza un intorno

H x₀ x

completo di tale che per tutti i valori di di tale intorno

x₀

escluso al più si abbia: | f(x) › M

¿

Da questa definizione possiamo distinguere due condizioni:

( ) =+

lim f x ∞ ;

f(x) › M

Se , si dice che ₀

x→x ( ) =−∞

lim f x

f(x) ‹ - M

Se , si dice che ₀

x→x

esempio:

la funzione :

1

( )=

f x (1−x) ² x x

diventa infinita, quando tende a 1, e tende a diventare 0 quando tende a infinito.

Il calcolo infinitesimale chiamato anche analisi infinitesimale, è essenziale per

la formalizzazione matematica dei fenomeni naturali e viene utilizzato come

strumento di lavoro in tutte le discipline di scienze fisiche.

Partendo da questo presupposto cercherò di spiegare il concetto di energia

potenziale elettrica applicata a due cariche puntiformi a distanza infinita tra

loro.

• Il concetto di energia potenziale

U forza conservativa 3

L’energia potenziale associata a una viene definita attraverso

una procedura composta di due passi:

B A

1- Se un corpo passa dal punto al punto sotto l’azione di una forza

conservativa si definisce la differenza di energia potenziale attraverso la

relazione: ∆U = U(B) – U(A) = –W(AB) = W(BA)

W A B

dove è il lavoro fatto dalla forza nel passare da a e viceversa.

2- Una volta scelta arbitrariamente una condizione di zero (in modo che in un

R U = 0), B

punto si abbia si chiama energia potenziale in un punto la

B R:

differenza di energia potenziale tra e

U(B) – U(R) = U(B) – 0 = U(B)

3 Una forza si dice conservativa se il lavoro fatto nell’andare da A a B non dipende dal

particolare cammino seguito nel corso dello spostamento

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• L’energia potenziale dipende solo dalla distanza

È importante sottolineare che tale energia potenziale non dipende in modo specifico

A B AB = r.

dai due punti e in cui si trovano le cariche, ma soltanto dalla distanza Q

Osservando la figura, la carica

A, q

(fissa) occupa il punto mentre

B,

(mobile) si trova nel punto a

r A.

distanza da Pensiamo di

q B′

spostare in un altro punto che si

r A

trova a distanza da e quindi

A

appartiene alla sfera di centro e

r.

raggio

In ogni punto del cammino, la forza

FF q

elettrica che agisce su (rivolta

lungo un raggio della sfera) è

perpendicolare allo spostamento

elementare ∆sF(tangente q

all’arco di circonferenza su cui si muove).

FF

Così il lavoro compiuto dalla forza nello

spostamento ∆sF è nullo. Di conseguenza,

essendo la somma di tanti contributi nulli, è uguale a zero anche il lavoro totale W(BB′)

B a B′.

compiuto dalla forza elettrica nel tragitto da La differenza di energia potenziale

q B q B′

tra la situazione in cui è in e quella in cui la stessa carica è in è uguale a

W(BB′), cioè a zero. q Q

Questo dimostra che nelle due condizioni il sistema formato da e ha la stessa

energia potenziale

• Energia potenziale elettrica di due cariche puntiformi a

distanza infinita

Dopo aver introdotto il concetto di energia potenziale e aver spiegato che essa

dipende soltanto dalla distanza tra le due cariche, ho deciso di prendere in

considerazione la condizione in cui due cariche puntiformi sono a distanza r

infinita tra loro.

Ponendo lo zero dell’energia potenziale in punti che si trovano a distanza infinita da

Q

una carica si ricava che l’energia potenziale di un sistema

così fatto è data dalla formula: 1 qQ

U ¿ + k

4 πε r

dove:

k è una costante arbitraria;

� è la costante dielettrica assoluta del mezzo considerato.

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Grafico della funzione

Per convenzione si pone uguale a zero l’energia potenziale di due cariche poste a

k

distanza infinita. Con tale scelta la costante risulta nulla. Ricorrendo a termini

k=0, U(r)

matematici è facile calcolare che, con l’energia potenziale si annulla quando

r diviene infinitamente grande, infatti: lim 1 qQ

r →+∞ =0

4 πε r r U(r)

Da quest’ultima osservazione si può affermare che e sono due grandezze

inversamente proporzionali infatti all’aumentare della distanza fra le due cariche

diminuisce l’energia potenziale, viceversa quando la distanza fra le due cariche è

minima, risulterà massima l’energia potenziale. r

Concludendo, l’energia potenziale di un punto che si trova a distanza dalla carica che

genera il campo si ottiene dall’espressione: 1 qQ

U (r )= 4 πε r

12

M’illumino d’immenso …