La tensione finito-infinito

LA TENSIONE

FINITO-INFINITO:

un dualismo che attraversa l’umanità

dalla sua dimensione spirituale, nel

binomio uomo-Dio del Paradiso dantesco,

alla sua anima razionale, negli insiemi di

Cantor e nelle teorie sull’espansione

dell’universo

Giovanni Miceli VC

Anno scolastico 2006 - 2007

Liceo scientifico statale Guido Castelnuovo - Firenze analizzata in prospettiva umanistica

La tensione

Finito - Infinito NON TUTTI GLI

INSIEMI INFINITI questo numero

IL NUMERO

analizzata in prospettiva SONO NUMERABILI e chiama cardinale di R,

TRANSINFINITO dei

scientifica POTENZA DEL

MATEMATICA e REALI RISULTA

SPERIMENTALE e CONTINUO

RAZIONALE MAGGIORE di ℵ 0

ASTRONOMICA ne consegue che

ripercorrendo le tappe che hanno per merito di e dimostra che

portato alla formulazione della gli insiemi Z e Q LA POTENZA DEL

che

riesce a definire un sono numerabili,

Georg definisce e verifica che CONTINUO E’ MAGGIORE

insieme INFINITO, senza l’insieme R no

LEGGE di HUBBLE CANTOR DELLA POTENZA DEL

partire da quello finito L’INSIEME DELLE PARTI

NUMERABILE DI UN INSIEME HA

insieme NUMERABILE

verifica dell’allontanamento delle POTENZA MAGGIORE

come ogni insieme

galassie attraverso DELL’INSIEME STESSO

equipotente a N

vengono rielaborate e ne indica la POTENZA del

equazioni di Einstein NUMERABILE espressione del

TEORIA UNIVERSO una peculiare proprietà: con ℵ

se si espande, come è nato? 0

INFLAZIONARIO l’EQUIPOTENZA A TEOREMA

basata

QUALCHE SUA di CANTOR

PARTE PROPRIA sulla CARDINALITA’

in parte modificata dalla cioè la sua

TEORIA del degli insiemi

BIG BANG SPIRITUALE e

verificata dalla scoperta della TEOLOGICA

due insiemi sono legati cioè quando E’ GUIDATO DALLA FEDE:

da una CORRISPONDENZA

Conduce a considerare da due L’IMMAGINE DI DIO

RADIAZIONE COSMICA BIUNIVOCA

diversi punti di vista l’UNIVERSO: COME PRINCIPIO E attraverso il viaggio di Dante in una dimensione

DI FONDO FINE, “colui che move ultraterrena nel XXXIII canto del Paradiso

il sole e l’altre stelle”

ma, in realtà, DESCRIVE UN UNIVERSO DICOTOMIA ESPPRESSA IN GESU’

poiché la velocità della luce è

SICURAMENTE sembrerebbe INFINITO RACCHIUSO e MARIA: UMANO E DIVINO,

“POTENZIALMENTE” una grandezza finita

FINITO quello allontanarsi dalla NELL’ETERNITA’ DI DIO FATTORE E SUA FATTURA.

INFINITO OSSERVABILE teoria geocentrica UNIONE FINITO-INFINITO

tolemaica

consente di

studiando la sua evoluzione attraverso poiché è entrato

stimarlo in circa dal momento che

il rapporto tra dunque

DENSITA’ MEDIA

cioè

il PARAMETRO Ω 50 miliardi di anni luce

della MASSA TOTALE nell’EMPIREO dove si

DI DENSITA’ e DENSITA’ CRITICA ABBANDONA la

CONCEZIONE RAZIONALE

è possibile ottenere tre modelli di DIO

di SPAZIO e TEMPO

evoluzione universale: il più attendibile poiché ha creato

verificato dall’esperimento rappresentato

BOOMERANG

Ω<1 universo Ω>1 universo attraverso

Ω=1 universo L’UOMO PER AMORE,

mistero della

APERTO CHIUSO considerato

PIATTO poiché LA PERFEZIONE

TRINITA’

(curvatura negativa) (curvatura positiva) (curvatura nulla) HA GENERATO DELLE

la COSTANTE CREATURE PECCATRICI

dunque mistero della

COSMOLOGICA REALTA’ del

di Einstein era corretta

che possiede una ci si domanda

MOLTEPLICE dunque

ESPANSIONE che racchiude in sé

massa sufficiente per qual è il rapporto

DELLE GALASSIE

fermare l’espansione uomo-Dio: finito-

STA ACCELERANDO infinito?

l’UNIVERSO VERREBBE ESSENZA di tutto

FRANTUMATO l’UNIVERSO

ma soltanto (Teoria del BIG RIP) lo risolve

è stato osservato che mostrando che

dopo un TEMPO INFINITO, e che se

considerando la presenza

raggiungendo lo zero DIO SI TROVA IN TUTTI GLI

AUMENTASSE

dell’ENERGIA OSCURA

però

asintoticamente UOMINI, PER QUESTO NE HA

dell’

INCARNAZIONE VISTI I VOLTI, anche se non

comprende l’eterno mistero

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Obiettivo di questo lavoro è stato quello di analizzare il rapporto finito–

infinito in chiave pluridisciplinare, collegando due argomenti come l’evoluzione

dell’universo ed il Paradiso di Dante, apparentemente molto distanti tra loro.

Ho voluto poi approfondire in particolare il concetto di infinito rivisitato

da Georg Cantor, che ne ha completamente stravolto il significato matematico

riuscendo, a partire dalle proprietà degli insieme infiniti, a descrivere quelle

degli insiemi finiti.

1) Pensando all’universo, l’uomo si è sempre domandato se sia finito

oppure infinito ma, fino a questo momento, si può trovare una risposta solo

distinguendone due aspetti.

Infatti, l’universo visibile è sicuramente finito dal momento che il Big

Bang è avvenuto 13,7 miliardi d’anni fa e che la velocità della luce, la massima

possibile, ha un valore, che seppur elevato è finito.

Allo stesso tempo, però, è potenzialmente infinito, in quanto potrebbe

continuare ad espandersi per un tempo infinitamente lungo.

Per quanto concerne le teorie astronomiche, queste sono ancora tutte

ipotesi di quella che potrebbe essere la futura evoluzione dell’universo. Infatti,

questa dipende dal cosiddetto parametro di densità Ω, cioè il rapporto tra

densità totale di massa dell’universo e la densità critica.

Mentre il valore della densità critica è stato calcolato matematicamente,

è molto difficile complesso determinare Ω con precisione. La difficoltà sorge dal

riuscire a calcolare la massa dell’intero universo, considerando anche la

presenza della materia oscura.

Dai più recenti studi il valore di Ω si attesta tra 0,9 e 1,1, quindi è con

buona approssimazione vicino ad 1. Questo fa pensare ad un universo piatto

che dunque è destinato a terminare la sua evoluzione ma in un tempo

infinitamente lungo, tendendo asintoticamente a zero.

La presenza dell’energia e della materia oscura sta però facendo sorgere

nuovi problemi, dal momento che, nel 1998, è stato osservato che

l’allontanamento delle galassie sta aumentando. Proprio la densità di questa

materia sarà indicatrice del futuro dell’intero universo che nei prossimi 20

miliardi d’anni potrebbe essere destinato alla morte termica.

2) Guardando al XXXIII Canto del Paradiso, anche Dante, che fa

coincidere il Paradiso con il suo universo, sembra incredibilmente presentare

un universo infinito, concezione che sembrerebbe analoga a quella delle più

moderne teorie astronomiche.

Infatti, una volta compiuta una seconda trasumanazione (dopo quella

avvenuta nel canto I), egli giunge nell’Empireo, dove è presente il vuoto e non

esiste più una razionale concezione di spazio e tempo.

1

Dal momento che Dio, infinito, raccoglie in sé tutti i cieli, in quanto causa

prima e fine di tutto, si delinea una forma di universo che non rispetta

certamente le teorie di un cosmo finito così fortemente portate avanti dalla

Chiesa.

Trattandosi però di un uomo del Trecento, dotato di una così grande fede

religiosa, la spiegazione di questa analogia si trova proprio in questa sua

certezza del disegno divino, di perfezione ed infinita bellezza.

Allo stesso tempo Dante, nell’ultimo canto del Paradiso mostra la

tensione finito- infinito anche nel rapporto uomo-Dio, creatura e creatore.

Il Signore, infatti nella sua perfezione, ha creato l’uomo guidato solo

dall’amore, incarnandosi e sacrificandosi per redimerlo dal peccato. Allo stesso

tempo l’uomo, attraverso il Sommo Poeta che compie questo viaggio non solo

per se stesso ma per tutta l’umanità, tende sempre a Dio, all’infinito.

3) Il matematico Georg Cantor è riuscito, tra la seconda metà e la fine

del XIX secolo, a definire gli insiemi finiti a partire da quelli infiniti anziché il

contrario.

Egli, inizialmente, dà questa definizione: un insieme infinito se è

equipotente a qualche sua parte propria; nel caso opposto si chiama finito.

Questo percorso è basato sul concetto di cardinalità degli insiemi, cioè la loro

equipotenza.

Introducendo poi la nozione di insiemi numerabili, quelli equipotenti

all’insieme N dei numeri naturali, dimostra attraverso l’esempio dell’insieme R

dei reali che non tutti gli insiemi sono numerabili. ℵ

Chiamando potenza del numerabile la cardinalità di un insieme con 0

ℵ

mostra che il numero transinfinito dei reali risulta maggiore di e chiama

0

nello specifico questo numero cardinale di R potenza del continuo

Riesce a dimostrare che la potenza del continuo è maggiore di quella del

numerabile e che l’insieme delle parti di un insieme ha potenza maggiore

dell’insieme stesso, espressione del Teorema di Cantor.

2

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1. Introduzione al rapporto Dio-Dante

2. L’infinito nella cosmologia dantesca: modernità nascosta dalla fede

religiosa

3. Gesù Cristo e Maria: intermediario tra finito ed infinito

4. Il mistero della realtà del molteplice: l’essenza dell’universo

5. Dio: l’espressione dell’infinito ed il mistero della trinità

6. L’eterno mistero dell’incarnazione

Introduzione al rapporto Dio - Dante

“…E’ mi ricorda ch’io fui più ardito

per questo a sostener, tanto ch’i’ giunsi

l’aspetto mio col valore infinito”

[XXXIII, 79-81]

“Mi ricordo che proprio per questo (cioè per questo timore) io ebbi il coraggio di sostenere

quel bagliore più a lungo (tale acuta luce), fino a che congiunsi la mia vista (aspetto) con

l’infinito valore (cioè Dio).”

Dante, nell’ultimo canto del Paradiso, conduce l’uomo a vedere com’è

fatto Dio, tentando di descriverlo con grande umiltà: è un dono per tutti noi; è

necessario credere che ci sia stato veramente, come un mistico, perché dalle

sue parole non sembra averlo soltanto sognato.

Nessuno mai, attraverso un cammino così arduo, era riuscito in questo

intento: portare l’uomo dai più profondi e oscuri gironi infernali, passando per

la faticosa scalata della montagna del Purgatorio, fino al completamento della

sua redenzione, al cospetto di Dio, termine ultimo