Nascita dell'elettromagnetismo tesina

Percorso colloquio orale

Argomento Generale

Le Equazioni di Maxwell

Elettrotecnica

Circuiti Magnetici

Impianti

Induttanza e Reattanza di servizio

Matematica

Derivata prima, definizione e significato geometrico

Sistemi

Trasformata di Laplace

Storia

Il Radar nella II Guerra Mondiale

Italiano

Italo Svevo

Diritto

La proprietà intellettuale

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Elettrotecnica: Circuiti Magnetici

Effetto magnetico della Corrente

Ogni conduttore percorso da corrente crea intorno a sé un campo magnetico, cioè una

perturbazione di tipo magnetico in grado di far deviare dei piccoli aghi magnetici posti vicino al

conduttore. Il campo magnetico si può rappresentare graficamente utilizzando le linee di campo,

che sono le linee lungo le quali si orientano gli aghi magnetici. Il campo magnetico prodotto da un

conduttore rettilineo si può rappresentare con delle linee di campo aventi la forma di

circonferenze perpendicolari al filo e aventi il centro sul filo stesso. Questo campo magnetico è

presente per tutta la lunghezza del conduttore, ed è più intenso vicino al conduttore e più

debole lontano dal conduttore. Il verso del campo magnetico dipende dal verso della corrente. Per

stabilire il verso del campo magnetico si può utilizzare la regola della vite destrorsa:

immaginando che una vite deve avanzare nel verso della corrente, il senso di rotazione della vite

coincide con il verso del campo magnetico. Il campo magnetico prodotto da un conduttore

rettilineo è molto debole; per aumentare l’intensità si può piegare il filo a forma di circonferenza,

realizzando una spira. Al centro della spira tutti i campi magnetici prodotti da ogni pezzo di filo si

sommano tra loro e si ottiene un campo magnetico complessivo un po’ più intenso. Per aumentare

ancora l’intensità del campo magnetico, si può realizzare un solenoide, cioè un insieme di spire

affiancate. Se il solenoide è percorso da corrente, i campi magnetici prodotti dalle varie spire

si sommano tra loro, generando un campo magnetico complessivo più intenso.

Se all’interno del solenoide si trova aria, o qualsiasi altra sostanza non avente particolari proprietà

magnetiche, il campo magnetico prodotto non risulta particolarmente intenso. Se invece si pone

all’interno un cilindro di sostanza ferromagnetica, detto nucleo magnetico, il campo magnetico

generato risulta molto più intenso. Dispositivi di questo tipo si chiamano elettrocalamite e si

trovano all’interno di varie apparecchiature elettriche (relè ad impulsi, elettrovalvole, interruttori

automatici …).

Il campo magnetico prodotto da una elettrocalamita è simile al campo magnetico prodotto da un

magnete naturale e presenta il polo N ad una estremità e il polo S all’altra estremità. In una

elettrocalamita, il campo magnetico è concentrato ai poli e si disperde nell’aria circostante.

Realizzando un nucleo magnetico chiuso è possibile confinare il campo magnetico all’interno del

nucleo evitando di farlo disperdere. Un dispositivo di questo tipo si chiama circuito magnetico.

Grandezze Magnetiche

Il campo magnetico che si trova all’interno di un circuito magnetico dipende sia dal numero di spire

del solenoide sia dalla corrente che passa nel solenoide. Per questo motivo si chiama forza

magnetomotrice e si indica con F il prodotto tra il numero di spire N e la corrente I.

La forza magnetomotrice rappresenta la causa che produce il campo magnetico; si

misura in Amperspire (Asp), che equivale ad Ampere (A).

Il campo magnetico prodotto dipende anche dalla lunghezza l del circuito magnetico, poiché se il

circuito è corto il campo magnetico è più concentrato mentre se il circuito è lungo il campo

magnetico è più debole.

Si chiama intensità del campo magnetico e si indica con H il rapporto:

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L’intensità del campo magnetico si misura in

Ora consideriamo un solenoide toroidale la cui principale caratteristica è quella di contenere tutto

il campo al proprio interno. Se N è il numero di spire, r è la lunghezza del raggio medio ed I

l'intensità della corrente, sarà

In ogni caso, qualsiasi sia il circuito, tra il verso della corrente nel circuito ed il verso del campo

magnetico generato dalla corrente, esiste sempre la stessa relazione che si riscontra tra il verso di

rotazione di una vite ed il verso di avanzamento della vite stessa.

Il campo magnetico prodotto da un solenoide dipende anche dal materiale che costituisce il nucleo.

Si chiama induzione magnetica e si indica con B la quantità:

L’induzione magnetica si misura in Tesla (T). Il coefficiente μ si chiama permeabilità magnetica

assoluta del materiale che costituisce il nucleo, e risulta:

dove μ è la permeabilità magnetica dell’aria (o del vuoto), che assume un valore costante

o

mentre μ è la permeabilità magnetica relativa della sostanza che costituisce il nucleo.

r

Per tutte le sostanze non aventi particolari proprietà magnetiche risulta μ ˜ 1; queste sostanze

r

lasciano più o meno inalterato il campo magnetico prodotto dal solenoide. Per le sostanze

ferromagnetiche risulta invece μ >>1; queste sostanze intensificano notevolmente il campo

r

magnetico prodotto dal solenoide.

Se un campo magnetico di induzione B passa attraverso una superficie S perpendicolare alle linee

di campo, si chiama flusso magnetico e si indica con , il prodotto tra l’induzione B e la superficie

S. 1Wb=1T·1m

Il flusso magnetico si misura in Weber (Wb) 2

Partendo dalla definizione di flusso magnetico e utilizzando le espressioni delle varie grandezze

magnetiche, è possibile ricavare una relazione fondamentale per lo studio dei circuiti magnetici.

La grandezza R si chiama riluttanza del circuito magnetico, e rappresenta l’ostacolo che il nucleo

H

magnetico oppone alla presenza del flusso magnetico. La riluttanza si misura in .

-1

L’espressione valida per i circuiti magnetici, si chiama legge di Hopkinson; essa è simile alla

legge di Ohm valida per i circuiti elettrici. 7

Impianti: Induttanza e Reattanza di servizio

La corrente che circola in un conduttore rettilineo produce un campo magnetico le cui linee di forza

si sviluppano intorno al conduttore stesso: le linee di forza sono circolari e concentriche.

Le linee di flusso si concatenano con il conduttore che le ha prodotte; se il flusso è originato da

una corrente variabile è anch'esso variabile e induce nel conduttore una forza elettromotrice di

autoinduzione.

Nel caso di linee in corrente alternata sinusoidale la f.e.m. indotta è:

l X = l

Dove è il coefficiente di autoinduzione o induttanza propria ed la corrispondente reattanza.

l

Nel caso siano presenti più conduttori è da considerare anche la f.e.m. di mutua induzione dovuta

alla variazione del flusso prodotto da un conduttore e concatenato con un altro.

a b

Nel caso di due conduttori e si ha:

m

Dove è il coefficiente di mutua induzione tra i due conduttori.

Nel caso di tre conduttori posti ai vertici di un triangolo equilatero si ha una tensione indotta nelle

fasi a, b e c per l'effetto combinato dell'auto e mutua induzione:

Data la simmetria geometrica si può assumere:

Valutando solo la fase a:

Ma in un sistema trifase vale la relazione:

Quindi: 8

In questo modo gli effetti combinati di auto e mutua induzione vengono ricondotti ad una

autoinduzione equivalente: detta induttanza di servizio, a cui corrisponde la reattanza

di servizio:

Quindi otteniamo:

Nel caso di linea a due fili o a tre fili con disposizione simmetrica, di lunghezza unitaria , indicando

d D

con il diametro dei conduttori e con la loro distanza si dimostra:

Da cui si ottiene l'induttanza di servizio chilometrica di linea:

Infine:

Il termine rappresenta il contributo dato dal campo interno al conduttore, si può assumere:

per conduttori lisci

per conduttori cordati

i termini d e D devono essere espressi nella stessa unità di misura.

Nel caso di conduttori posti su un piano: Possiamo assumere:

e utilizzare la procedura sopra

descritta.

Valori medi orientativi per l'induttanza di servizio per linee aeree:

A cui corrisponde, a 50 Hz:

Per le linee in cavo la variabilità è molto più estesa, dato che le distanze e le disposizioni dei

conduttori sono varie. In questo caso la reattanza non si calcola, ma viene fornita dal costruttore,

con rilievi sperimentali. Un valore medio orientativo, valido solo per un calcolo di massima, è:

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Matematica: Derivata prima, definizione e

significato geometrico

Per comprendere il significato di Derivata, dobbiamo considerare una funzione definita in (un

intorno) e un punto x appartenente al dominio della funzione.

0

A questo punto abbiamo bisogno di determinare l'equazione della retta tangente al grafico di

nel punto di ascissa X , che è data dalla seguente equazione:

0

Il problema è determinare il valore di m, serve una strategia che ci consenta di trovarlo conoscendo

solo e x . Si considerano i punti:

0 e

Calcoliamo il coefficiente angolare della retta secante a

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Dove è detto rapporto incrementale (per avere significato ).

Si calcola quindi:

Tale limite, se esiste ed è finito, è detto derivata di in e si indica con i seguenti simboli:

e la funzione si dice derivabile nel punto di ascissa .

Dal punto di vista geometrico, la derivata prima è il coefficiente angolare della retta tangente alla

funzione nel punto , ottenuta quando tende a zero. Quindi il coefficiente angolare

della retta secante si trasforma nel coefficiente angolare della retta tangente.

Riprendendo la relazione della retta tangente ad una funzione nel punto si ha:

La derivata è utile perché l'andamento dei coefficienti angolari ci consente di capire dove la

funzione che stiamo considerando è crescente e dove è decrescente, e ci consente inoltre di

stabilire le coordinate dei punti di massimo e di minimo della funzione che stiamo considerando.

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Sistemi: Trasformata di Laplace

I sistemi lineari (elettrici, meccanici, idraulici, termici ecc) sono descritti da modelli matematici

costituiti da equazioni differenziali e/o integro-differenziali, nelle quali la sollecitazione e la

risposta sono entrambe funzioni del tempo.

Considerato che la soluzione di tali equazioni non è sempre agevole, si preferisce ricorrere all'uso

della trasformata di Laplace che consente di trasformare le equazioni differenziali e integro-

differenziali in equazioni algebriche di variabile complessa s.

Successivamente risolvendo tali equazioni (algebriche) ed eseguendo l'operatore di

antitrasformazione, si ottiene la soluzione dell'equazione differenziale coincidente, nel caso

specifico, con la risposta del sistema alla sollecitazione applicata.

Risoluzione

Sollecitazione Risposta

equazione integro-

differenziale

i(t) u(t)

(dominio di t) Antitrasformata

Trasformata Trasformata di di Laplace

di Laplace Laplace

Risoluzione

equazione algebrica

I(s) U(s)

(dominio di s)

Data una funzione del tempo tale che per sia , si definisce trasformata

unilaterale di Laplace della funzione la relazione dove L è l'operatore

matematico che indica l'operazione di trasformazione sulla funzione f(t).

Nella trasformata bilaterale la è definita per .

Teoremi sulla trasformata di Laplace

Nome f (t) F(s)

Definizione

Teorema del prodotto

Teorema della linearità

Teorema della derivata

Teorema dell'integrale

Teorema del valore finale

Teorema del valore iniziale 12

Applicazione Trasformata e Anti-trasformata di Laplace

Considerando le condizioni iniziali:

Equazione alla maglia nel dominio del tempo;

Applichiamo alle equazioni la trasformata di Laplace:

L'equazione, quindi, diventa:

Ora possiamo tornare nel dominio del tempo grazie alla anti-trasformata, utilizzando la seguente

formula:

Quindi;

Ovviamente si poteva giungere alla stessa conclusione risolvendo l'equazione differenziale.

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Storia: Il Radar nella II Guerra mondiale

Sebbene lo sviluppo e messa a punto di apparati radar siano stati dovuti quasi esclusivamente

alle necessità imposte dalla seconda guerra mondiale, il principio di base della rivelazione di

oggetti metallici mediante riflessione di onde elettromagnetiche è vecchio almeno quanto

l'elettromagnetismo. A questo proposito va segnalato che un ingegnere tedesco di nome