L'ordine matematico dell'universo

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Istituto di istruzione superiore

Liceo scientifico “Eugenio Balzan”

Progetto assistito “Scientifico tecnologico”

Anno scolastico 2005/2006 di Francesca L.

“Quando considero l’ordine matematico che si rivela al cuore del reale, la ragione mi obbliga a dire che questo

sconosciuto che si nasconde dietro il Cosmo è almeno un’intelligenza ipermatematica, calcolante e,

anche se la parola non è molto bella, relazionante, cioè in grado di fabbricare relazioni,

di modo che deve appartenere ad un genere astratto e spirituale.

Sotto il vuoto visibile del reale c’è dunque quello che i Greci chiamavano Logos, un elemento

intelligente, razionale, che regola, dirige e anima il Cosmo, e fa sì che questo Cosmo non sia caos ma

ordine”.

Jean Guitton, “Dio e la Scienza”

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12:45 Enuncio di nuovo le mie teorie

• La natura parla attraverso la matematica
• Tutto ciò che ci circonda si può rappresentare e comprendere attraverso i numeri
• Tracciando il grafico di qualunque sistema numerico ne consegue uno schema, quindi ovunque, in natura, esistono degli schemi.

Ecco le prove: la ciclicità delle epidemie, la crescita e la riduzione delle mandrie di caribù, la ciclicità delle macchie

solari, le piene e le secche del Nilo.

Secondo il matematico Max Cohen, protagonista del film “Pi greco – Il teorema del delirio”,

• La natura parla attraverso la matematica,
• Tutto ciò che ci circonda si può rappresentare e comprendere attraverso i numeri,
• Tracciando il grafico di qualunque sistema numerico ne consegue uno schema, quindi ovunque, in natura, esistono degli schemi.

Partendo da queste affermazioni, dopo aver presentato il film e i suoi temi principali, ho indagato:

• In matematica, l’esistenza di numeri ricorrenti in natura (soffermandomi in particolare sul pi greco);
• In fisica, la continua ricerca di leggi che possano rappresentare uno “schema” il più semplice e completo possibile della natura.

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Il film “Pi greco – Il teorema del delirio”

Titolo originale: PI

Regia: Darren Aronofsky

Sceneggiatura: Darren Aronofsky

Interpreti: Sean Gullette (Max Cohen), Mark

Margolis (Sol Robeson), Ben Shenkman (Lenny

Meyer), Pamela Hart, Stephen Pearlman, Samia

Shoaib, Ajay Naidu

Durata: h 1.24

Nazionalità: USA 1998

Fotografia: Matthew Libatique

Scenografia: Matthew Marraffi

Musica: Clint Mansell

Suono: Brian Emrich

Montaggio: Oren Sarch

Produzione: Eric Watson

Distribuzione: Cecchi Gori Distribuzione

Durata: 85 minuti

Formato: 35 mm., bianco e nero

Trama

Max Cohen, un giovane genio matematico che vive rinchiuso notte e giorno nel suo misero appartamento di Chinatown, è

ossessionato dall'idea di poter trovare un modello numerico che consenta di interpretare il reale e, nello stesso tempo, di

prevederlo e dunque dominarlo. Vuole scoprire cosa si cela dietro le cifre, cosa rappresentano i numeri e che relazione

esiste fra di essi.

L’unica persona con cui ha veri contatti umani è il suo ex professore d'università, Sol, il suo “maestro”.

La vita di Max, già difficile per la malattia che lo affligge (l'epilessia), è ulteriormente complicata dalla persecuzione da

parte di una società finanziaria che spera di ottenere da lui un modello matematico per controllare il mercato e

dall'insistenza di una setta ebraica che gli sottopone i testi della Torah nella speranza che il ragazzo trovi per loro il codice

interpretativo o, ancora meglio, il vero nome di Dio che sarebbe composto da 216 numeri e darebbe l'avvio, una volta

decifrato, ad una nuova era messianica.

L'impegno nella ricerca e l'enorme tensione alla quale è sottoposto peggiorano le sue condizioni di salute, ed è difficile

distinguere, nel suo delirio, tra ciò che accade nella realtà e quello che avviene solo nella mente di Max, tanto che

razionale e irrazionale, genio e follia si confondono gli uni negli altri.

Mano a mano che le ricerche procedono, la sua attenzione va appuntandosi sul 3,14 che dà il titolo al film, sulla sezione

aurea e sul rapporto tra i vettori disposti in successione nella spirale logaritmica che sono l'espressione matematica della

crescita organica di ogni essere vivente, dall'albero alla conchiglia alle ossa umane.

Con uno sforzo sempre più strenuo, in una stanza che oramai è diventata l'estensione del suo cervello, Max scopre la

verità.

Gli squali di Wall Street lo braccano e gli ebrei tentano di convincerlo a dar loro il numero, ma nonostante le sue

incredibili scoperte in ambito finanziario e teologico, Max prenderà una strada del tutto inaspettata.

Temi

Spirale aurea

“La mia nuova ipotesi: se siamo costruiti I spirali e viviamo in una gigante spirale, è possible che ogni cosa che

prendiamo in mano sia fatta di spirali?” Max Cohen

La spirale aurea è una forma mistica che si trova sia nella matematica astratta e ordinata che nella natura caotica. Venne

scoperta per prima dai pitagorici, e la sua struttura deriva dal rettangolo aureo, diviso successivamente secondo la

proporzione aurea. La divisione può continuare all’infinito, e porterà sempre allo stesso risultato.

La spirale si costruisce tracciando delle curve che seguono gli angoli dei rettangoli concentrici. I pitagorici amavano

questa forma perché la ritrovavano dappertutto in natura: il latte nel caffè, i petali dei fiori, le impronte digitali, la forma

della via lattea…

Go

“Gli antichi giapponesi dicevano che questa tavola è il microcosmo dell’universo. Vedi? Quando è vuota, appare semplice

e ordinata, ma il numero delle mosse possibili in questo gioco è infinito. Secondo loro non possono esistere due partite

uguali, sono come fiocchi di neve, perciò secondo la cultura giapponese questa tavola rappresenta un universo

estremamente caotico e complesso, ed è questa la realtà del nostro mondo.” Sol Robeson

Il gioco Go nasce in Cina 4000 anni, e probabilmente ha origine nella divinazione e nell’astronomia. Nei secoli successivi

si è diffuso attraverso l’Asia e oggi viene giocato da 100 milioni di persone in tutto il mondo.

Per giocare serve la tavola, dove I giocatori si alternano posizionando pietre bianche e nere in modo da delimitare

un’aera. Chi alla fine del gioco ha un territorio occupato maggiore vince. Ci sono 90 righe orizzontali e 90 verticali che

formano una griglia di 361 intersezioni o punti. È un gioco semplice da imparare, ma a causa delle sue infinite possibilità

è un gioco più importante degli scacchi nell’informatica perché è difficile svolgere una ricerca esaustiva di come la mente

umana percepisce e ragiona durante il gioco.

Go è il gioco preferito da Max Cohen e dal suo mentore Sol.

Kaballah

“LaTorah è una lunga stringa di numeri. Qualcuno dice che sia un codice mandato da Dio.” Lenny Meyer

La Kabbalah è un antico aspetto del misticismo giudaico che consiste nella speculazione sulla natura della divinità, della

creazione e dell’anima, e si basa sulla credenza che la Kabbalah sia stata originata dalla legge orale che Mosè ha ricevuto

da Dio. La radice sta nella credenza nella divinità della Torah (il primo dei cinque libri della Bibbia), e che dal suo studio

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sia possible giungere al segreto della creazine.

Nel film compare anche la Gammantria, ovvero l’uso della matematica per scoprire Isegreti nascosti nella Torah.

Gli antichi ebrei infatti assegnavano a ogni lettera un valore numerico, creando corrispondenza tra sistema alfabetico e

sistema numerico. Partendo da queste basi, è possibile convertire l’intera Torah in una lunga serie di numeri. Quando

questi numeri vengono analizzati, emergono dei disegni….

Approfondimenti: http://www.joram.it/articoli/pigreco.htm

Pi greco

è sia la sedicesima lettera dell’alfabeto Greco che il simbolo che rappresenta il più antico mistero matematico: il

rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo raggio.

La prima testimonianza scritta della conoscenza di ci arriva dall’Egitto, dal 1650 a.C, in un atavola in cui uno scriba

valuta il suo valore come 3,16. oggi, anche se abbiamo metodi per calcolare numerosissime cifre di , il suo valore

vero e proprio rimane un mistero e nel 1794, venne provato che p è un numero irrazionale e infinito.

Come si vede nel film, può essere ritrovato in molti ambiti, dall’astronomia alla probabilità e alla fisica del suono e

della luce.

Teoria del caos

“È questa la realtà del nostro mondo, mio caro e giovane Max, non puoi riferire e ricondurre tutto alla matematica, non

esiste uno schema di base” Sol

La teoria del caos viene generalmente definita come lo studio del perpetuo cambiamento dei sistemi complessi. Scoperta

da un meteorologo nel 1960, prevede che complessi e imprevedibili risultati avvengano nei sistemi sensibili ai piccoli

cambiamenti rispetto alle loro condizioni iniziali. L’esempio più comune di questo è il “Butterfly Effect”, secondo cui il volo

di una farfalla in Cina potrebbe causare piccolissimi cambiamenti atmosferici che, dopo un certo periodo di tempo,

potrebbero modificare dei cambiamenti atmosferici a New York.

Anche se la teoria del caos sembra casuale, non lo è. Sotto l’apparente comportamento casuale emerge un ordine

nascosto. Riconoscendo che il mercato è non lineare, di manico, e caotico, Max Cohen applica i principi di questa teoria

alla borsa in modo da determinare il disegno dietro cui, in modo apparentemente casuale, si determinano i prezzi della

borsa.

La teoria del caos viene in generale utilizzata come modello per altri sistemi complessi, dalla crescita delle popolazioni

alle epidemie, alle palpitazioni del cuore. Quando si applica la teoria del caos, si rivela che anche se qualcosa sembra del

tutto casuale, in realtà nasconde un ordine.

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Matematica

“La struttura profonda della realtà ha una faccia conservatrice accanto a quella progressiva. Nonostante il mutamento e

la dinamica incessanti del mondo visibile, vi sono aspetti della struttura dell'universo che presentano una irremovibile

costanza. Sono questi misteriosi aspetti immutabili che rendono il nostro universo quello che è. C'è un filo

rosso che segna un elemento di continuità in tutta la natura”.

John D. Barrow “I numeri dell'universo”

Le regolarità presenti e osservate in natura ci dicono che i fenomeni naturali, fisici e biologici, possono essere descritti da

una adeguata struttura matematica.

Questo fatto fa pensare che, dietro la natura e i suoi processi - più o meno casuali - si nasconda qualcosa di “rigido”

(numeri, forme e funzioni) che continua a ricorrere e a presentarsi, e che regoli la natura stessa, ovvero che nel mondo ci

sia un “ordine matematico”.

Di questi numeri e geometrie ricorrenti in natura analizziamo:

• Il numero pi greco,
• La sezione aurea e le spirali,
• I numeri di Fibonacci.

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Pi greco

“Il numero pi greco, correttamente interpretato, contiene l’intera storia dell’umanità.”

Martin Gardner

“Esplorare pi greco è come esplorare l'universo.”

David Chudnovsky

Che cosa è?

, costante matematica, è un numero irrazionale (non può cioè essere scritto come quoziente di due interi) e

trascendente (ovvero non è un numero algebrico). Questo significa che non ci sono polinomi con coefficienti interi o

razionali di cui è radice. Di conseguenza, è impossibile esprimere usando un numero finito di interi, di frazioni e

delle loro radici.

Prima definizione geometrica di

In uno spazio euclideo , è il rapporto tra la circonferenza C di un cerchio e il suo diametro d (che corrisponde al

doppio del raggio r), qualunque sia la grandezza del cerchio considerato. Ovvero:

è quindi la misura in metri della circonferenza di un cerchio il cui diametro è lungo 1 metro.

Seconda definizione geometrica di

In uno spazio euclideo, p è il rapporto tra la superficie di un cerchio e il quadrato del suo raggio. Ovvero:

Quindi, è la superficie in metri quadrati di un cerchio di raggio 1 metro.

Altre definizioni geometriche di

Dalle prime due definizioni di ricava che:

• Dato dove V è il volume di una sfera di raggio r, =3/4 del volume di una sfera di raggio 1.
• Dato , dove S è la superficie di una sfera di raggio r, =1/4 della superficie di raggio 1.

Come trovare

Il metodo Montecarlo

Se si traccia un cerchio inscritto esattamente in un quadrato e si lanciano delle freccette sul bersaglio, tra quelle che

toccano il bersaglio una quantità pari a /4 si troverà nel cerchio. Lanciando una grande quantità di freccette, si

troverà quandi un’approssimazione di /4 e quindi anche di p.

Simulazione: http://polymer.bu.edu/java/java/montepi/MontePi.html

Gli aghi di Buffon

Se si lanciano aghi di lunghezza a su un parquet le cui assi hanno larghezza b, la probabilità che un ago tagli il bordo di

un asse è uguale a 2a/b .

Simulazione 1: http://www.angelfire.com/wa/hurben/buff.html

Simulazione 2: http://www.efg2.com/Lab/Mathematics/Buffon.htm

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Storia di

Il simbolo “ ” per la costante di Archimede è stato introdotto nel 1706 da William Jones quando pubblicò A New

Introduction to Mathematics. La notazione diventò standard dopo che la utilizzò Eulero. In entrambi i casi p è la prima

lettera di perimetros, che significa 'misura attorno' in greco.

http://www.valdosta.edu/~cbarnbau/math_demos_folder/menu_circle.htm

Cronologia di :

• 20º secolo AC: i Babilonesi usavano 3+1/8 per p
• 20º secolo AC: gli Egizi (Papiro di Rhind) usano p = (16/9)²
• 12º secolo AC: i Cinesi usano 3 per p
• 434 AC: Anassagora tenta la quadratura del cerchio con riga e compasso
• 3º secolo AC: Archimede scopre che 223/71 < p < 22/7, e trova inoltre l'approssimazione p = 211875/67441.
• 20 AC: Vitruvio usa 25/8.
• Bibbia: p=3 (Antico Testamento).
• 2º secolo: Tolomeo usa p = 377/120.
• 3º secolo: Chang Hong usa p = v10, Wang Fau usa p = 142/45 e Liu Hui usa p = 471/150.
• 5º secolo: Zu Chongzhi scopre che 3.1415926 < p < 3.1415927.
• 6º secolo: Aryabhatta e Brahmagupta, in India, usano rispettivamente il valore 62832/20000 e v 10.
• 9º secolo: Al Khwarizmi usa 3.1416.
• 1220: Fibonacci usa il valore 3.141818.
• 1430: Al Kashi calcola le prime 14 cifre di p.
• 1573: Valenthus Otho calcola le prime 6 cifre di p.
• 1593: François Vieta calcola 9 cifre di p e Dutch Adriaen van Roomen 15 cifre.
• 1596: Ludolph van Ceulen calcola 35 cifre di p.
• 1665: Isaac Newton, 16 cifre.
• 1699: Sharp, 71 cifre.
• 1700: Seki Kowa, 10 cifre.