la legge e l'ordine matematico dell'universo

La legge e l’ordine matematico dell’universo

Giacomini Alessandro

Liceo scientifico “Leonardo Da Vinci” Treviso classe V B 2008/2009

La legge e l'ordine matematico dell'universo

Nella letteratura Nella letteratura

In Matematica In Fisica Nella Filosofia

Italiana Latina

La sezione aurea e il numero d'Oro

Dante: il "Paradiso" della "Divina Commedia"

Lucrezio e la filosofia epicurea

Il positivismo: Comte

Le interazioni fondamentali

Interazione elettromagnetica

Le equazioni di Maxwell

Introduzione

La mia trattazione ha lo scopo di esporre come varie discipline trovino una legge ed un ordine all’universo.

La mia ricerca inizierà dall’ambito scientifico trattando Matematica e Fisica, proseguirà poi con l’ambito umanistico con la Letteratura Italiana, Letteratura Latina e Filosofia.

Matematica

Il numero d’oro e la sezione aurea

Matematica,

Dal punto di vista della a cominciare dai Greci, dai Pitagorici, poi Pacioli e Da Vinci e tanti altri, si riteneva che l’Universo fosse in “ordine” e fosse regolato da una legge, identificata nella sezione aurea e nel numero d’oro.

Keplero a riguardo scrive che questa proporzione servì da idea al Creatore per regolare l’Universo.

"Sono convinto che questa proporzione geometrica servì da idea al Creatore, quando Egli introdusse la generazione continua di forme simili da forme simili tra loro." Johannes Kepler (1571-1630)

« Il rapporto Aureo è una dimostrazione meravigliosa del fatto che l’uomo creatore e la natura si

S. Groenman –

servono degli stessi strumenti nel creare le forme per arrivare alla bellezza.»

Utrecht, 1969

In geometria

Partiamo dalla definizione classica di sezione aurea: dato il segmento AB si chiama sezione aurea di AB il segmento medio proporzionale tra l'intero segmento e la parte rimanente.

In figura indichiamo con C il punto che divide il segmento AB nelle due parti richieste

Dev'essere: AB : AC = AC : CB (1)

Si dice per questo che il punto C divide il segmento AB in media ed estrema ragione, cioè che il segmento AC, detto la media ragione ovvero la sezione aurea, è medio proporzionale tra l'intero segmento AB e la parte rimanente, CB, ovvero l'estrema ragione.

Il numero d'oro è il rapporto costante fra un segmento e la sua sezione aurea.

Possiamo riscrivere la proporzione (1) come

AB : AC = AC : (AB - AC) (2)

e quindi

Indichiamo con il numero d'oro, ovvero il rapporto AB/phi e quindi con AB/phi il segmento

phi

AC

Otteniamo: (3)

La radice positiva di questa equazione è il numero d'oro

Questa è l'espressione rigorosa diphi, mentre il valore approssimato più usato è 1,618.

Si osservi che l'equazione (3) ci consente di ricavare che può essere vista come

2 1 0

= φ + φ

φ

Cioè come successione

generalizzando per qualsiasi potenza del numero aureo l'equazione diventa:

+ 1 − 1

φ = φ + φ

n n n 

In generale possiamo dire che in una progressione geometrica di ragione phi, il termine (n+1) è uguale alla somma dei due termini che lo precedono (n) e (n-1).

Questa considerazione ci riporta alla più nota delle successioni di questo tipo, quella di Fibonacci, che riportiamo:

Ogni termine di questa successione, com'è facile verificare, è uguale alla somma dei due termini che lo precedono, dati i due termini iniziali, 1 e 1. Il rapporto fra un termine di questa successione e quello che lo precede si avvicina sempre più a phi. Ad esempio, 89/55 = 1,61818, come si vede, è già molto vicino a tale numero.

Dimostrazione

In termini matematici più precisi possiamo scrivere:

Supponiamo che le precedenti frazioni convergano ad un valore definito x.

I termini di questa serie sono uguali (per induzione) a

= F + F

F

(n + 1) (n) (n − 1)

Perciò si avrà che:

Cioè uguale a 1 più il reciproco della frazione, che ripassando per il passaggio a limite, di cui omettiamo i segni, possiamo riscrivere come segue.

che risolvendo darà φ.

Questa proprietà vale naturalmente per qualsiasi successione di questo tipo, per la quale cioè ogni termine sia uguale alla somma dei due che lo precedono.

Proviamo a prendere due numeri a caso, 7 e 10, e costruiamo la successione corrispondente:

7 => 10 => 17 => 27 => 44 => 71 => 115 => 186 => 301 => 487 => …

Prendiamo due numeri consecutivi della successione, ad esempio 301 e 186, 301 : 186 = 1,

61828…

Un valore già molto vicino al numero d'oro.

Rettangolo d’oro

Preso un rettangolo aureo, cioè il rettangolo i cui lati (base e altezza) sono in rapporto aureo, e tagliando da questo un quadrato, quello che rimane è ancora un rettangolo aureo, più piccolo.

L'operazione può continuare all'infinito, ritagliando quadrati che lasciano sempre rettangoli aurei.

Se uniamo poi i due vertici opposti dei quadrati successivi, com'è indicato in figura, otteniamo una spirale logaritmica, nota come la "spirale d'oro". La spirale logaritmica è caratterizzata dal fatto che le distanze fra i bracci della spirale aumentano secondo una progressione geometrica

La spirale si sviluppa intorno a un punto detto «occhio di Dio», ossia il punto d'incontro tra le due diagonali che si intersecano in ciascuna coppia di rettangoli.

Manifestazioni della spirale in natura

La spirale logaritmica, che si ritrova sovente in natura, è l'unico tipo di spirale che mantenga sempre la stessa forma, quando continua ad allargarsi. In botanica, fisica, zoologia, architettura, pittura e musica, oltre che in geometria in alcune relazioni riguardanti i poligoni regolari, la sezione aurea interviene in modo insistente. Essa, che non è altro che un semplice rapporto di numeri, si incontra ovunque, in natura, come nella scienza e nell'arte, e "contribuisce alla bellezza di tutto ciò che ci circonda."

Il rettangolo aureo nelle opere di Leonardo e nella Venere di Botticelli

Manifestazioni della spirale nell’Universo

La spirale logaritmica, costruita secondo questa successione di numeri, è riscontrabile nell’Universo e dona la forma a certi tipi di galassie.

Sono le galassie a spirale a essere caratterizzate dalla forma a spirale logaritmica. Queste hanno la forma di un disco, con un nucleo globulare (bulge) e alcuni bracci a spirale che si avvolgono attorno ad esso.

In fisica

Interazioni fondamentali

In natura sono state individuate quattro forze fondamentali, o interazioni fondamentali, che sono alla base degli scambi di energia tra le particelle e che sono responsabili della struttura dell'Universo.

Le interazioni sono descritte attraverso lo scambio di una o più particelle mediatrici di forza che sono chiamati: bosoni di gauge, oppure quanti del campo di interazione e sono dei bosoni mediatori

(ovvero hanno spin intero) vettori (ovvero hanno spin = 1, a parte il gravitone che dovrebbe avere spin = 2). Queste particelle, trasportatrici dell'energia dell'interazione, vengono emesse e riassorbite dalle particelle interagenti.

Magnitudine Andamento Raggio

Teoria Interazione Mediatore relativa asintotico d'azione

Cromodinamica 38 0 -15

Interazione forte gluone 10 1,4 · 10 m

r

quantistica Interazione 36 2

Elettromagnetismo fotone 10 1/r

elettromagnetica

Teoria Bosoni Z, 25 -18

dell'interazione Interazione debole 10 10 m

W+ e W-

debole

Teoria della relatività 0 2

Gravità gravitone 10 1/r

generale