L'infinito

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L’infinito

Chi prenderà in mano questa “tesina”, se vogliamo chiamarla così, probabilmente si troverà a pensare che l’infinito, di per sé, sia un argomento forse banale e già sfruttato. Che poi sarebbe la stessa cosa che ho pensato io da principio. La trattazione, tuttavia, può avvenire attraverso molteplici (infinite, direi) vie: si può dare un’impostazione umanistica, scientifica, linguistica, artistica al lavoro che si svolge, a seconda della personalità e delle peculiarità del singolo individuo. E ognuna di queste impostazioni, fintanto che il lavoro resterà originale, avrà differenti caratteristiche.

Quella scientifica è una delle più interessanti e, per certi versi, innovative. La “promessa”, tuttavia, si è rivelata più difficile del previsto da mantenere, vuoi per il poco tempo a disposizione, vuoi per l’estrema complessità dell’argomento. E questo mi ha costretto a dirottare il mio lavoro su un’analisi forse più superficiale ma al contempo più allargata.

Divagazioni a parte, l’infinito è uno dei temi che quest’anno, indipendentemente dal lavoro scolastico, ho avuto modo di affrontare più volte, attraverso letture, riflessioni personali e con alcuni miei cari “compagni di pensiero”, addirittura attraverso i miei hobby (cosa che mai mi sarei aspettato). La mia decisione non è quindi solo legata all’apparente semplicità (come in un primo momento mi era parso) di questa idea, ma anche al mio stupore nel notare come un qualcosa che io avevo sempre considerato puramente matematico (non dico anche filosofico perché, si sa, matematica e filosofia sono quasi la stessa cosa) potesse entrare in un modo o nell’altro in ogni campo dell’esistenza.

Alla stessa maniera, la scelta di iniziare la trattazione proprio dalla matematica è volta allo scopo di dimostrare un’idea che mi ha praticamente “perseguitato” durante il periodo del liceo: all’interno della mia classe sono il solo a cui piace la matematica intesa come materia scolastica, e sono il solo che proseguirà gli studi iscrivendosi proprio in quella facoltà. Ogni volta che esprimo questo mio desiderio, la maggior parte degli ascoltatori mi guarda allibita quasi a chiedersi quale specie di bestia rara si ritrovi davanti. Più volte sento dire che la matematica non serve a niente, che è inutile, che in fondo basta saper fare le operazioni di base per procedere nella vita senza problemi. Ma io so che non è così.

Innanzitutto, la nostra società, di stampo economico/capitalistico, si basa interamente sulla matematica: portando un esempio che potrebbe sembrare stupido, anche il prezzo della benzina che paghiamo settimanalmente quando facciamo il pieno è il risultato di una relazione matematica tra i fattori domanda – produzione - periodo. Il funzionamento dei computer è il risultato della scrittura di un codice “binario” proprio della matematica, i programmi, i videogiochi, persino i video e le immagini disponibili su internet sono il risultato di algoritmi complessi studiati allo scopo di raccogliere e sintetizzare i dati nella maniera più semplice e veloce possibile. Eppure la matematica non è solo questo.

La matematica è anche la storia di quei pensatori che hanno avuto il coraggio di addentrarsi nei meandri del ragionamento e della logica da soli, armati solo delle proprie capacità, pronti a sfidare i labirinti dei numeri fossero essi infiniti, reali, o quant’altro.

L’infinito è stato una delle più grandi dispute mai avvenute sia in campo matematico che in campo filosofico. Il tema è stato trattato da ogni angolazione, da ogni arte, lo troviamo in ogni scienza. Vediamo come.

Le concezioni dell’infinito

Esistono differenti concezioni di infinito: la concezione matematica, fisica, astronomica, filosofica, letteraria. Ma non solo. Potremmo dire che le concezioni di infinito sono, appunto, infinite. Esse variano con il tempo, con la società, con il singolo individuo. Ognuna di queste concezioni ha attraversato momenti facili e momenti difficili, trasformazioni, cancellazioni, modifiche, che vanno avanti tutt’ora senza che si possa dire di aver raggiunto un traguardo.

La storia dell’infinito matematico, oltre a dimostrare che la matematica non è soltanto numeri, è una delle più antiche e movimentate, e probabilmente anche quella che ha portato ai risultati più intricati e differenziati. La prima, vera definizione di infinito, per quanto possa sembrare strano, arriva nel 1800. Eppure ne avevamo già sentito parlare più volte con i Pitagorici, che scacciarono Ippaso di Metaponto per aver scoperto le grandezze incommensurabili; Zenone parla di infinite divisioni di spazio e tempo; Nicola Cusano è uno dei primi a parlare di Dio come infinito. Ma è solo nel 1800 con gli studi di Georg Cantor che si ha una prima definizione precisa di cosa sia o non sia l’infinito.

Oggi, la definizione di infinito è la seguente: “Infinito è quel insieme una cui parte ha lo stesso numero di elementi del tutto.” Come si fa a sapere questo numero? Si mette in corrispondenza ciascun elemento della parte con un elemento del tutto. Quando questa corrispondenza biunivoca esiste, si dice che i numeri sono uguali. E quando la parte ha lo stesso numero di elementi del tutto, il tutto si dice “infinito”.

In precedenza ho parlato dei “risultati intricati” che la definizione di infinito in matematica ha raggiunto, eppure per ora abbiamo visto una definizione che, pur potendo risultare inizialmente di difficile comprensione, è tutt’altro che complicata. Cosa ci porta, allora, a sostenere tale affermazione? I fattori che lo permettono sono tantissimi, e la maggior parte di questi esula dalle ristrette conoscenze matematiche che vengono date al liceo.

Basti quindi sapere che dopo la formulazione del concetto matematico di infinito, due matematici (Russel e lo stesso Cantor) proposero le cosiddette Antinomie che determinarono una crisi nelle fondamenta della matematica. Questa crisi portò alla formulazione di diverse idee in proposito alla natura della matematica, generando così differenti correnti di pensiero in contrasto tra loro. La situazione si risolse solamente quando nel 1964 Paul Cohen dimostrò come fosse possibile creare diverse “Matematiche” allo stesso modo di come era stato possibile creare differenti “Geometrie”.

Al raggiungimento di questo traguardo corrispose anche la nascita della matematica moderna, nella quale gli assiomi non sono più verità indimostrabili nella pratica ma teorie riferite ad enti non definiti che, se dimostrate su enti concreti, diventeranno valide per logica. Ragion per cui, ad ogni ente assiomatico corrisponde anche una rappresentazione ed una dimostrazione concreta.

È da sottolineare, infine, che la perdita di questa unità (matematica >> matematiche) risulta quasi naturale se si considera l’evoluzione che in tutti questi anni ha avuto il pensiero umano. Un modello stretto e unitario sarebbe risultato quindi inadeguato allo studio e al raggiungimento di quegli obiettivi di progresso che l’umanità seguiva e segue ancora.

L’infinito e l’universo

Il discorso sull’infinito portato avanti dalla matematica è, comunque, fine alla materia in sé, per quanto il discorso possa lasciare adito a differenti interpretazioni e il suo utilizzo possa essere poi trasportato in differenti discipline. Se si va ad analizzare come il concetto viene strutturato anche in altre scienze ci accorgiamo che la questione viene trasferita dalla quantità di elementi allo spazio. E a questo proposito, il primo spazio che ci viene in mente parlando di “infinito” è indubbiamente l’universo.

Da intendersi come l’insieme completo di tutto quanto esista nello spazio e nel tempo, anche se non può essere analizzato direttamente o indirettamente ma solo supposto, l’universo è il nuovo traguardo che la scienza umana cerca di raggiungere e, se possibile, superare. La sua estensione è tale che nessuno strumento odierno, e probabilmente anche futuro, può vederne e analizzarne i confini. Ma è proprio sulla presenza di questi confini che la cosmologia moderna è, potremmo dire, spaccata.

I modelli che sono stati proposti fin’ora, infatti, non possono essere dimostrati e sono da ritenere, in un modo o nell’altro, validi. Alcuni di essi parlano di un universo finito, tanto piccolo da produrre immagini multiple di se stesso; altri di universo di volume finito, ma di superficie infinita (come la terra, per meglio capire); altri ancora di universo infinito in tutto e per tutto. Ognuna di queste teorie comporta differenti geometrie (locali e assolute) spaziali, differenti elucubrazioni sull’origine e sulla fine dell’universo, svariate teorie sulla presenza o meno della vita nell’universo.

La finitezza dell’universo lascia adito a riflessioni molto interessanti e, per certi versi, anche inquietanti. Ne ho individuate due, in particolare: la possibilità che l’universo sia finito in estensione ma infinito in superficie.