La sfida della complessità

“- qfwfq, hai visto che il faraone Amenhotep IV non ha avuto figli

maschi? Ho vinto io! -

- qfwfq, hai visto che Pompeo non ce l’ha fatta, con Cesare? Lo

dicevo! -

Eppure io i miei calcoli li avevo seguiti fino in fondo, non avevo

trascurato nessuna componente.”

Anche Calvino voleva quindi dimostrare che Le informazioni e le prevedibilità si perdono

quando un sistema diventa più complesso.

La peste di Atene

L’esito di un fenomeno può essere determinato da un evento imprevedibile, come nel caso

della guerra del Peloponneso, le cui sorti furono sconvolte dalla epidemia di peste che si

imbatté su Atene e contò tra le sue vittime lo stesso Pericle. La peste viene descritta in

modo preciso e quasi “scientifico” da Lucrezio nel De Rerum Natura:

Haec ratio quondam morborum et mortifer aestus

finibus in Cecropis funestos reddidit agros

vastavitque vias, exhausit civibus urbem.

nam penitus veniens Aegypti finibus ortus,

aeëra permensus multum camposque natantis,

incubuit tandem populo Pandionis omni.

inde catervatim morbo mortique dabantur.

Un tempo questo tipo di malattie e aria portatrice di morte rese funerei i campi nei territori

di Cecrope e invase deserte le vie, svuotò la città di abitanti.

Infatti, arrivando all’interno dopo essere sorta nei territori d’Egitto, percorso un grande

spazio di cielo e i campi del mare, si abbatté infine su tutto il popolo di Pandione.

Da qui (da allora) a mucchi furono dati alla malattia e alla morte.

The Huxley’s deterministic world

Aldous Huxley was born in Godalming, on July 26, 1894, into upper-middle class family.

His father, Leonard Huxley, was a biographer, editor, and poet; his grandfather was one of

the foremost supporters of the Darwinian theory of evolution; his brother won the Nobel

prize for physiology and medicine. The family’s background influenced the thought and

writings of Huxley. He first studied at Eton College, Berkshire, but when he was fourteen

his mother died. At the age of 16, Huxley suffered an attack of keratitis punctata and

became for a period of about 18 months totally blind. In the same period his brother

Trevenen committed suicide. However Huxley continued his studies at Balliol College,

Oxford (1913-15), taking his degree in English in 1916. In1919 He married Maria Nys, a

war refugee, and the couple started to travel. He often went in Italy to visit his friend D. H.

Lawrence, . In 1930 Lawrence died and Huxley moved to New Mexico and finally he lived

in California until his death in 1963.

In 1932 he wrote his most important novel, “Brave New World”.

It tells about a futuristic world where the State controls every aspects of the human life,

from genetic one to feelings, systematically conditioned and organized from ten World

Controllers. The motto is “Community, Identity, Stability”. The people are in an everlasting 5

state of happiness for the effect of a drug called “soma”. Everything is predestined; the

conditioning is both genetic, through the creation of artificial life, and cultural, through the

abolition of books, that make to think, and art, that create emotion, and social, through the

caste stratification (Alphas, Betas, Gammas, Deltas and Epsilons). The rebel against this

standardization (John) is destined to fail (suicide).

Huxley, as George Orwell in 1984, wants to critic an utopian world, in which everything is

determinate, controlled and expectable; for this reason his novel isn’t a dystopia but an

anti-utopia. “Brave New Wold” is one of the first example of science fiction novel, a kind of

novel that develops itself in the XX century.

The unexpected event: the Mule

One of the most important writer of science fiction is Isaac Asimov. In the “Foundation

series” he imagines a deterministic world too. The main character, Hari Seldon, develops

psychohistory allowing him to predict the future, included the crisis of his Empire. In the

same time, Asimov demonstrates that this plane is a failure tentative when something

unexpected appears. In a complex system a little variation cans change all the future

events. The unexpected is represented from the figure of the Mule: with his ability to

manipulate human emotions disrupts Seldon's plan and conquers the Foundation.

Effetto farfalla

Tutti gli esempi finora riportati si possono riassumere nella famosa locuzione “effetto

farfalla”, nota per il racconto “Sound of Thunder” di Ray Bradbury e il film del 2004 “The

butterfly effect”, anche se il nome deriva dal titolo di una conferenza di Lorenz,

meteorologo americano che si interessò a questi studi:

“Il battito di ali di una farfalla in Brasile può far scatenare un tornado nel Texas”.

Tale affermazione vuole indicare che una piccolissima variazione delle condizioni iniziali di

tutti i sistemi il cui stato si evolve nel tempo, può avere delle conseguenze del tutto

imprevedibili. La complessità può inoltre essere intrinseca a un sistema e non apparire

come un carattere accidentale legato a una moltitudine di cause.

Un esempio concreto: il modello non lineare di Verhulst

Nel 1838 il biologo Pierre F. Verhulst introdusse una variante al modello di crescita

esponenziale. Egli propose di sostituire il fattore di crescita costante con una fattore di

crescita variabile in funzione del numero di individui della popolazione, assumendo una

legge di variabilità lineare: con m>0

( ) = − +

a x mx q

Sotto tali assunzioni, il tasso di crescita della popolazione è espresso dalla legge:

( ) n=1,2,…

∆ = − = − +

x x x mx q x

+1

n n n n

Cui corrisponde il processo iterativo

 x start

0

 ( )

2

= − + 1 +

x mx q x

 +

1

n n n 6

Il modello è pertanto governato dalla trasformazione non

lineare ( ) ( )

2

= − + 1 +

T x mx q x

n ( )

> − 1 0 ≤ ≤ 1 + /

con q ed x q m

Adottando un’opportuna trasformazione di coordinate, è

possibile normalizzare l’intervallo “base” dell’arco di

parabola, ovvero ricondurlo all’intervallo unitario [0,1].

Precisamente è sufficiente considerare un riscalamento

dell’asse delle ascisse x=hX che lasci fissa l’origine degli assi e muti il punto ((1+q)/m,0) in

(1,0).

Si prova facilmente che deve essere h=(1+q)/m, da cui la trasformazione T diventa

( ) 2

= − +

T x kx kx

2

( )

1 + q

ove si è posto =

k m

Di conseguenza il processo iterativo assume la forma

 x start

0

 2

= − + = 1

, 2

,...

x kx kx n

 +

1

n n n

.

Ove 0 ≤ ≤ 1

x n ( ) 2

Poiché l’ordinata del vertice della parabola è pari a k/4, in virtù del vincolo

= − +

T x kx kx

(le iterate devono essere non negative)

0 ≤ ≤ 1

x

Il campo di variabilità del parametro k si riduce

all’intervallo ] ]

0

, 4

La trasformazione T ammette due punti fissi, soluzione

della equazione T(x)=x precisamente i punti

1

= 0 = 1 −

x x k

A differenza del modello lineare, in generale non è

( ) attraverso una

possibile descrivere le orbite ∈

x n N

n

formula chiusa.

Evoluzione delle orbite

Le orbite presentano un comportamento molto variabile.

Al crescere del parametro k si assiste ad una difficoltà crescente di predizione

dell’evoluzione del fenomeno, che dipende anche dallo start .

x 0

I diagrammi seguenti forniscono un campionario dei possibili comportamenti delle orbite, al

variare dei valori del parametro 0<k≤4.

Come si vede, di particolare interesse è lo studio dell’orbita del processo quando il

] ]

coefficiente k varia nell’intervallo 3

, 4 7

Se 0<k≤1 l’orbita decresce al punto di equilibrio , ossia la popolazione si estingua

= 0

x

Decrescita

esponenziale

K=0.8 =0.4

x 0

1

Se 1<k≤2 l’orbita tende al punto di equilibrio = 1 −

x k

Le iterate evolvono seguendo una curva logistica

Crescita logistica

K=1.8

− 6

= 10

x 0 1

Se 2<k≤3 l’orbita tende oscillando al punto di equilibrio = 1 −

x k 8

-6

=10

K=2,97 x

0 n

Quando k cresce oltre il valore 3, l’orbita presenta oscillazioni di periodo , n≥1. In altri

2

n

termini la popolazione oscilla assumendo solo valori distinti. In particolare si ha

2

orbita di periodo 2

3<k≤3.449

3.449<k≤3.554 orbita di periodo 4

3.554<k≤3.564 orbita di periodo 8

3.564<k≤3.570 n

orbita di periodo n≥4

2

− 6

K=3.2 orbita di periodo 2

= 10

x 0

Infine se 3.57<k≤4 il comportamento delle orbite è oscillante, aperiodico e molto sensibile

alle variazioni dello stato iniziale , anche trascurabili.

x 0

La figura seguente mostra il diagramma di Web e le orbite per k=4 a partire da due dati

iniziali differenti 9

Le due orbite sono pressoché coincidenti per le prime 20 iterazioni, ma successivamente

subiscono uno sfasamento notevole, come è messo in luce nell’ultimo diagramma, che

evidenzia la differenza o sfasamento delle orbite.

− 6

= 10

x 0

−

6 − 10

= 10 + 10

x 0 effetto farfalla.

Quest’ultimo esempio è un caso concreto di

Quindi, se la maggior parte dei fenomeni fisici risulta complesso ed essi risultano

imprevedibili per l’incertezza delle condizioni iniziali, ci si chiede: Non si può dire nulla del

futuro di un fenomeno?

L’attrattore di Lorenz

Innanzitutto, per molti sistemi caotici l’impredicibilità è molto lontana nel tempo.

In secondo luogo i sistemi caotici sono caratterizzati da insiemi, detti attrattori, di stati

vicini tra loro che sono stabili di modo che quando il sistema vi si avvicina, tende poi a

ritornarvi periodicamente.

Un esempio è l’attrattore di Lorenz, applicata ai movimenti dei fluidi, la cui legge è data da

tre equazioni differenziali a tre incognite: 10

dove x, y e z sono le variabili di stato che servono a descrivere le modalità di movimento

del fluido mentre S, R e B sono parametri legati a proprietà del sistema (quali temperatura,

viscosità, densità). Il grafico generato al computer assume la caratteristica

forma a farfalla. L’attrattore di Lorenz è adoperato per lo

studio dei moti convettivi di un fluido e in meteorologia.

I cambiamenti climatici

I cambiamenti climatici sono infatti fenomeni complessi, l’atmosfera della terra è un

sistema non lineare e la prevedibilità è limitata dalle informazioni di partenza

approssimative, dalla sensibilità delle equazioni del moto dell’atmosfera alle fluttuazioni dei

dati, in quanto non si tratta di un sistema isolato. Nonostante i super calcolatori di oggi

siano estremamente precisi, non è possibile fare una previsione meteorologica con

certezza oltre qualche giorno.

L’attrattore di Henon

Michel Hénon, astronomo all'Osservatorio di Nizza, costruì uno degli attrattori strani più

interessanti. Egli osservò infatti che per determinati valori di energia le intersezioni tra le

orbite degli oggetti celesti ed un piano immaginario davano luogo ad una forma

geometrica abbastanza regolare, mentre per energie più elevate, tali orbite erano caotiche

11

La caratteristica più sorprendente tuttavia era rappresentata dal fatto che quelle linee che

apparivano uniche, se ingrandite, erano in realtà costituite da due linee distinte, che a loro

volta, ad ingrandimenti maggiori, diventavano quattro, otto, e così via…

Si tratta di frattali.

Benoit Mandelbrot Colui che ha scoperto e studiato i

Benoît Mandelbrot.

frattali è Nato il

1924 in Polonia ha vissuto in Francia

per buona parte della sua vita, dove la

famiglia si rifugiò per sfuggire il regime

nazista. A Parigi venne iniziato alla

matematica da uno dei suoi due zii;

sviluppò la matematica di Gaston Julia

e cominciò la rappresentazione grafica

di equazioni su computer. Mandelbrot è

il fondatore di ciò che oggi viene

chiamata geometria frattale e ha dato il

proprio nome ad una famiglia di frattali

e ad un particolare insieme. Mandelbrot

scoprì il suo frattale quasi per caso nel

1979, mentre conduceva degli esperimenti per conto del Watson Research Center

dell'IBM. L'applicazione della geometria frattale a questioni economiche ha condotto

Mandelbrot a mettere in discussione alcuni consolidati fondamenti dell'economia classica

e della finanza moderna, quali l'ipotesi di razionalità dei comportamenti degli agenti

economici, l'ipotesi dell'efficienza del mercato, e quella secondo cui i movimenti dei prezzi

di mercato sono descrivibili come un cammino casuale (random walk) in analogia al moto

browniano di una particella in un fluido. Dimostrò, inoltre, che i frattali possono essere la