La crisi della scienza

Liceo Scientifico Statale A. Tassoni

La crisi della scienza

Lorenzo Baraldi

Tesi di Maturità Scientifica

Anno Scolastico 2007/2008

La domanda se sia necessaria la verità, non soltanto deve avere avuto già in precedenza risposta affermativa, ma deve averla avuta in grado tale da mettere quivi in evidenza il principio, la fede, la convinzione che niente è più necessario della verità e che in rapporto a essa tutto il resto ha soltanto un valore di secondo piano.

Friedrich Wilhelm Nietzsche, La Gaia scienza §344

Contatti: baraldi.lorenzo@gmail.com

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Sommario

Lo sviluppo delle discipline scientifiche dalla seconda metà del XIX secolo ha causato profonde ripercussioni sull'immagine generale della scienza delineatasi a partire dal Seicento e consolidatasi con il positivismo. Sono entrati in crisi i fondamenti della matematica, la fondazione intuitiva della geometria euclidea, l'idea dello spazio, la completezza del modello meccanicistico: un secolare sistema di riferimento e di organizzazione del sapere si è dissolto. Si è affermato così un nuovo modello di scienza che ha rivalutato le funzioni del soggetto nella ricerca e la nozione di relatività delle teorie scientifiche, mettendo in dubbio la possibilità stessa, per la scienza, di conoscere in modo oggettivo la struttura del reale.

Come e perché è avvenuta questa frattura, e come ha cambiato la scienza? Ci si può fidare della scienza, ed è vero che essa spiega il mondo così come esso è per davvero? E infine, esiste veramente un mondo reale che è possibile indagare oggettivamente e indipendentemente dal soggetto?

Indice

1 Le trasformazioni nella matematica 2

1.1 La nuova geometria 2

1.2 La nuova logica matematica 3

1.2.1 Il logicismo 4

1.2.2 L'intuizionismo e il formalismo 5

2 Spazio e Tempo 6

2.1 Da Aristotele alla relatività Galileiana 6

2.2 La relatività ristretta 8

2.2.1 La fine dello spazio e del tempo assoluti 9

2.2.2 La dilatazione del tempo e la contrazione delle lunghezze 10

2.2.3 Effetti sulla permanenza della materia 11

2.3 La relatività generale 12

2.3.1 La massa è l'energia 12

2.3.2 Il nuovo spazio-tempo 13

3 Eresie cosmiche 15

3.1 I primi modelli cosmologici 15

3.2 Verso i nuovi modelli cosmologici 17

3.2.1 Il ruolo del principio cosmologico e delle equazioni di Friedmann 17

3.2.2 Tre modelli diversi 18

3.2.3 Le lacune del Big-Bang 19

3.3 Oltre la relatività generale 21

4 Dio gioca a dadi 24

4.1 I modelli atomici 24

4.1.1 L'atomo di Bohr 25

4.2 La meccanica quantistica 26

4.2.1 La fine del determinismo 26

4.2.2 Onda e corpuscolo 28

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5 La scienza della palude 29

5.1 La perdita della certezza: Popper 29

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Capitolo

Le trasformazioni nella matematica

Tra la fine del XIX secolo e i primi decenni del XX gli sviluppi delle matematiche misero in crisi i principi fondamentali della scienza moderna. Ancora ai tempi di Kant la geometria euclidea appariva come il modello del rigore scientifico: la sua struttura rispecchiava l'architettura stessa della realtà. Ora, cambiamenti rivoluzionari nella matematica portavano alla nascita di geometrie non euclidee.

Era necessario riconoscere il fallimento della ragione scientifica, incapace di cogliere le vere strutture del reale? Oppure si doveva ammettere che una particolare forma di scienza, cui era stato attribuito in precedenza un valore assoluto, era invece solo una rappresentazione particolare della realtà, valida entro certi limiti per lo studio di particolari sistemi? Il dibattito che si avviò nella filosofia e nella scienza a partire da queste domande è noto come crisi dei fondamenti.

Nel corso del XIX secolo, nell'ambito delle discipline matematiche, si erano registrati grandi progressi e si era avviata una discussione sui fondamenti della matematica. Questi progressi apparivano, infatti, difficilmente inquadrabili entro il modello classico di questa scienza, che era ancora essenzialmente fondata sull'intuizione e su una forma logica ambigua e imprecisa, ricalcata sul linguaggio comune. Filosofi e scienziati, di fronte a tali difficoltà, si chiesero se denunciare il fallimento della matematica in quanto tale, oppure se riconoscere apertamente i limiti del modello classico di scienza, per approfondirne i concetti e i metodi. La seconda strada fu intrapresa da matematici e logici, quali Frege, Hilbert, Brouwer. Questi autori tracciarono una netta delimitazione tra la matematica e le altre scienze a cui il positivismo aveva affidato in precedenza il compito di definire i principi della razionalità scientifica.

La nuova geometria

La geometria euclidea, con la sua struttura deduttiva, aveva rappresentato per secoli il modello del rigore scientifico. Essa si basava su un ristretto numero di principi o di postulati, assunti come veri in modo evidente: essi erano, in questo senso, fondamenti intuitivi di questa geometria, e da essi venivano dedotte, dimostrate, tutte le altre proposizioni.

Tra questi principi, il quinto postulato appariva meno evidente degli altri. Esso affermava che, per un punto esterno a una retta, passa una e una sola parallela alla retta data. Consapevoli del carattere non intuitivo di questo postulato, già i matematici tardo-antichi avevano cercato di trasformarlo in un teorema, fornendone cioè una dimostrazione. Nel XVIII secolo, il gesuita Gerolamo Saccheri, per esempio, aveva scoperto una dimostrazione per assurdo.

Da un punto di vista cronologico, la crisi del modello scientifico ottocentesco si manifestò, prima di tutto, nella geometria, cioè nella scienza dello spazio, con la scoperta delle geometrie non-euclidee. Nel XIX matematici come Gauss, Bolyai e Riemann sostituirono al quinto postulato dei postulati non-euclidei: i primi assunsero che per un punto esterno a una retta passano più parallele alla retta data (geometria iperbolica); Riemann affermò invece che non ne passa alcuna (geometria ellittica).

Con l'intento di fondare una geometria alternativa a quella classica di Euclide, vennero così create le cosiddette geometrie non-euclidee, in cui venivano dimostrate proposizioni apparentemente strane e controintuitive e a cui venne, tuttavia, ben presto riconosciuta pari dignità scientifica rispetto alla geometria euclidea.

Sulla loro interpretazione si accese un vivace dibattito filosofico: si trattava di diverse ipotesi sulla struttura dello spazio reale? E in questo caso era possibile decidere quale fosse vera e in che modo? Oppure si doveva parlare di convenzioni teoriche che descrivevano in modo diverso la stessa realtà? Quale che fosse la soluzione di questi problemi, la geometria non poteva più essere considerata una scienza apodittica: la certezza millenaria dell'unicità e dell'assolutezza dello spazio era stata ormai messa in discussione.

Esclusa l'evidenza intuitiva, l'unica garanzia della legittimità scientifica dei vari sistemi geometrici era rappresentata dalla correttezza logica delle dimostrazioni, mediante le quali i teoremi venivano dedotti dai postulati.

La nuova logica matematica

A partire dalla metà dell'Ottocento, gli sviluppi della logica e quelli della matematica si intrecciarono strettamente. La logica, servendosi degli strumenti matematici, si emancipa dalle ambiguità del linguaggio comune e raggiunge un rigore formale mai raggiunto prima. Essa, d'altra parte, fornendo alla matematica problemi nuovi e stimolanti, apre la discussione sui fondamenti della matematica stessa, con l'obiettivo di dare una dimensione formalmente rigorosa a una disciplina dalle enormi applicazioni pratiche, ma ancora basata su concetti intuitivi, come il criterio di evidenza.

La storia della moderna logica matematica prende avvio a metà dell'Ottocento, attraverso il contributo di George Boole. Applicando l'analisi matematica allo studio delle operazioni del pensiero, Boole è il primo ad avere piena consapevolezza dell'applicabilità dell'algebra agli oggetti del linguaggio comune. Il metodo simbolico viene per la prima volta esteso così alle proposizioni del linguaggio naturale. La logica si avvia quindi verso la sua formalizzazione. Nella seconda metà del XX secolo, il matematico tedesco Georg Cantor elabora una rivoluzionaria teoria degli insiemi, basata sull'intuizione che i numeri naturali sono definibili in termini di insiemi, di elementi finiti o infiniti. Egli si propone di fondare in modo rigoroso l'intera matematica sulla teoria degli insiemi, una volta stabilite per mezzo di assiomi le relazioni intercorrenti fra gli insiemi stessi.

Il logicismo

Frege tenta di pervenire alla definitiva fondazione della matematica sulla logica, alla logicizzazione della matematica, cioè. Convinto che la matematica abbia i caratteri di un sapere certo, egli si propone di fondarla sulle verità apodittiche della logica. In particolare, si propone di definire in termini puramente logici i concetti fondamentali della matematica, primo fra tutti quello di numero naturale, e di dimostrare a partire dai principi logici le verità della matematica, a cominciare dagli assiomi dell'aritmetica. La sua posizione è quella del cosiddetto logicismo, che sostiene che non vi sono differenze essenziali tra logica e matematica.

Per realizzare il programma logicista è necessario poter condurre dimostrazioni rigorose, esplicite in ogni passo. A questo scopo non ci si può servire del linguaggio ordinario: Frege costruisce così un linguaggio simbolico, corredato da esplicite regole logiche nella sua Ideografia (1879), testo in cui riscrive senza ambiguità tutta la logica e la matematica.

Frege si confronta anche con la filosofia kantiana. Per Kant la matematica si fonda non solo sulla logica, ma anche sull'intuizione pura: i suoi giudizi quindi sono sintetici a priori. Frege ritiene, invece, che le verità matematiche siano soltanto analitiche: nella loro dimostrazione si fa esclusivamente uso di leggi logiche generali e di qualche definizione precisa.

Nel pensiero di Frege le classi sono sostanze, nel senso che esse, non meno degli individui, possono godere di attributi: è possibile formare classi di classi, cioè riunire in una tutte le classi che soddisfano particolari condizioni. Le classi hanno quindi un'esistenza in sé, indipendentemente dal fatto che noi le pensiamo oppure no: questa è la componente platonica del pensiero di Frege. Le classi, come le idee di Platone, sono sostanze, soggetti di attributi, esistenti indipendentemente dal pensiero umano, che non le costruisce, ma le scopre e le descrive.

Il programma logicista, ossia la fondazione della matematica sulla logica, viene messo in crisi dalla scoperta dei paradossi e antinomie direttamente derivabili dai principi su cui Cantor e Frege si erano basati. Questi principi erano apparsi ai due matematici semplici e naturali. Bertrand Russell, presentando una serie di paradossi, apre la crisi dei fondamenti: egli aveva scoperto che dall'assioma di astrazione, per cui ogni proprietà individua l'insieme degli oggetti che ne godono, è derivabile una contraddizione.

Russell espresse l'antinomia anche in un modo intuitivo: un certo villaggio ha tra i suoi abitanti un solo barbiere. Egli è un uomo ben sbarbato, che rade tutti e solamente gli uomini del villaggio che non si radono da soli. Ora: chi rade il barbiere? È plausibile sostenere che egli si faccia la barba da solo. Se così fosse, però, sarebbe violata la premessa secondo cui il barbiere rade tutti coloro che non si radono da soli. Però, se non si rade da solo, dovrà essere rasato dal barbiere, cioè si raderà da sé stesso: il che è ancora contraddittorio.

L'impatto dell'antinomia di Russell è fortissimo. Russell individua la causa delle antinomie nell'autoriferimento, vale a dire nella possibilità di definire classi che includano se stesse come propri elementi. Da queste premesse, Russell elabora la teoria dei tipi, secondo la quale una classe non può appartenere a se stessa ma solo a un'altra classe superiore ad essa per estensione.

L'intuizionismo e il formalismo

Al logicismo si oppongono in primo luogo i matematici intuizionisti. In Francia il matematico e fisico Poincaré rifiuta ogni possibile fondazione della matematica su basi logiche: la matematica è, a suo parere, un'attività costruttiva, mentre la logica ha solo la funzione secondaria di permettere la comunicazione dei risultati del pensiero creativo. Le antinomie russelliane, la cui natura è logico-linguistica, non mettono affatto in crisi la matematica reale. Quest'ultima non si basa sulla logica, ma sull'intuizione dello scorrere continuo del tempo. Questa intuizione rende possibile la costruzione successiva e indefinita degli enti matematici, che non hanno una realtà esterna, ma sono costruzioni mentali.

Diversa sia dall'impostazione logicista sia da quella intuizionista è quella di David Hilbert. La logica, che fa uso di nozioni aritmetiche come quelle di insieme e numero, non può essere considerata più fondamentale della matematica, ma deve essere sviluppata parallelamente ad essa. Le diverse teorie matematiche, come la teoria degli insiemi, la geometria elementare e l'aritmetica, sono strutture assiomatico-deduttive. Ciascuna di esse risulta fondata qualora se ne provi la non contraddittorietà. Hilbert concentra dunque la sua attenzione sulla coerenza di un sistema formale.

Anche il formalismo, tuttavia, conosce una crisi clamorosa, quando nel 1931 il matematico austriaco Kurt Gödel dimostra due teoremi di incompletezza, secondo i quali un enunciato relativo alla non-contraddittorietà di un qualsiasi sistema formale logico o matematico è in realtà, all'interno del sistema stesso, un enunciato indecidibile: esso non può venire mostrato né come vero né come falso, attraverso il riferimento alle proposizioni del sistema. In tal modo, la fondazione dei sistemi formali, obiettivo del formalismo, risulta impossibile.

Spesso i teoremi di incompletezza sono stati intesi come la dimostrazione dell'esistenza di insuperabili limiti per la ragione umana. Va notato che questi risultati sono stati ottenuti facendo uso della logica e della ragione e non contro di essa. Questi risultati di impossibilità, come analoghe dimostrazioni matematiche relative alla quadratura del cerchio o alla formula risolutiva delle equazioni di quarto grado, accrescono la nostra consapevolezza e il nostro controllo sui metodi logici e matematici di cui ci serviamo.

Infatti, Gödel dimostra che non è possibile un certo tipo di fondazione, ma non qualsiasi forma di giustificazione: se non è possibile fondare sul più semplice (l'aritmetica elementare) il più complesso (la matematica nel suo insieme), ciò non esclude, però, altre forme di giustificazione, ricorrendo a teorie più potenti di quelle che si vogliono fondare.

La scienza non è però più vista come un albero che cresce sulle salde radici della logica, ma come un complesso di teorie, che si sostengono a vicenda, che si giustificano reciprocamente in un processo circolare.

Capitolo

Spazio e tempo

Spostiamoci ora sulla fisica: il primo nucleo tematico che affronteremo dal punto di vista fisico è quello dello spazio e del tempo. Analizzeremo come è cambiata dal punto di vista scientifico la concezione di queste due entità, che hanno trovato una loro unità nel concetto di spazio-tempo, che combina le nostre classiche nozioni tradizionalmente distinte di spazio e di tempo in un solo costrutto unico e omogeneo. Singolarmente, si è scelto di condurre anche l'analisi delle concezioni di Aristotele e di Galileo secondo una prospettiva spazio-temporale: infatti, benché generalmente si pensi che la nascita dello spazio-tempo sia una conseguenza diretta della teoria della relatività ristretta, va ricordato che lo spazio-tempo non è un'idea originale di Einstein, e che anzi, anche le teorie relativistiche di Galileo e Newton avrebbero potuto trarre grande vantaggio da una prospettiva di tipo spazio-temporale, e proprio da questo punto di vista verranno analizzate in questa sede.

Da Aristotele alla relatività Galileiana

Nella fisica di Aristotele, lo spazio fisico era rappresentato da uno spazio euclideo tridimensionale, cosicché un qualsiasi punto dello spazio rimaneva lo stesso punto anche in un secondo istante, se l'oggetto situato in quel punto rimaneva fermo durante tale intervallo di tempo. Anche il tempo era rappresentato come uno spazio euclideo, ma ridotto ad una sola dimensione, qualcosa di simile a una retta dei numeri.